Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37909

а) Решите уравнение sin 3x + sinx =2 cos2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
 − π-;π .
  2

Показать ответ и решение

а)

                2
sin 3x+ sinx = 2cos x

Раскроем sin3x  как синус суммы углов 2x  и x :

sin3x =sin(2x +x)= sin2x⋅cosx+ sinx ⋅cos2x =2 sinxcos2x+ sinx(2cos2x− 1)=
           =2 sinxcos2x+ 2sin xcos2x − sinx= 4 sinxcos2x− sinx

Подставим полученное выражение в уравнение.

                       2
       sin 3x+ sinx = 2cos x
(4 sinxcos2x− sinx)+ sin x− 2cos2x = 0
      4sin xcos2x − 2cos2x =0
       2cos2x(2sinx − 1)= 0

Выражение в левой части уравнения равно 0, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть

                                       ⌊
                        [cosx= 0       |x= π2 + πk, k ∈ℤ
2cos2x(2sin x− 1)= 0  ⇔    sinx = 1   ⇔   ⌈x= π6 + 2πk, k ∈ ℤ
                               2        x= 5π6 +2πk, k ∈ ℤ

б) Отметим отрезок [     ]
 − π;π
   2 на тригонометрической окружности:

PIC

В указанном промежутке находятся      π- π- π- 5π
x =− 2; 6; 2; 6 .

Ответ:

а) π+ πk; π+ 2πk; 5π+ 2πk, k ∈ℤ
2      6       6

 

б) − π-, π-, π-, 5π
   2 6  2   6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий. Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!