Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1674

a) Решите уравнение $2( 3π ) √- 2sin 2 + x = 3cosx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 7π − 2 ;− 2π .$

Показать ответ и решение

По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду

2 √ - 2(− cosx) = 3cosx 2cos2x = √3cosx ( √ -) cosx cosx− --3 = 0 2

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда $cosx= 0$ или $√- cosx = -3. 2$

Решения уравнения $cosx = 0$ имеют вид $x= π-+ πk 2$ , где $k ∈ℤ.$

Решения уравнения $cosx = a$ имеют вид $x= ±arccosa +2πk,$ где $k ∈ ℤ.$

Следовательно, решения уравнения $√3 cosx = -2-$ имеют вид $π x = ±6-+ 2πk,k ∈ ℤ.$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

7π π- − 2 ≤ 2 + πk ≤ − 2π ⇔ −4 ≤k ≤ −2,5

Так как $k ∈ℤ,$ то подходят значения $x$ при $k =− 4$ и $k =− 3:$ $7π x = −-2$ и $5π x= − 2-.$

− 7π≤ π-+ 2πn≤ − 2π ⇔ − 11 ≤ n≤ − 13 2 6 6 12

Так как $n ∈ℤ,$ то среди этих $x$ подходящих нет.

− 7π ≤ − π-+ 2πn ≤ −2π ⇔ − 10 ≤n ≤ − 11 2 6 6 12

Так как $n ∈ℤ,$ то подходит значение $x$ при $n = −1:$ $x= − 13π . 6$

Ответ:

а) $π+ πk, ± π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2 6$

б) $− 7π , − 5π-, − 13π 2 2 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1749

а) Решите уравнение $sin xsin2x = cosx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( 11π] − 7π;− -2-$ .

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2x= 2sinxcosx:$

[ 2 2 cosx = 0 2sin x cosx − cosx =0 ⇔ cosx(2sin x − 1) =0 ⇔ 2sin2x− 1= 0

По формуле косинуса двойного угла имеем:

2 2 cos2x = 1− 2sin x⇒ 2sin x − 1 = − cos2x

Тогда получаем совокупность

[ ⌊ π- cosx = 0 ⇒ ⌈x1 = 2 + πn,n∈ ℤ − cos2x = 0 x2 = π-+ πm, m ∈ℤ 4 2

б) Отберем корни с помощью неравенств:

− 7π < x1 ≤ − 11π-⇒ − 7,5 <n ≤ −6 ⇒ n = −7;−6 2

Отсюда получаем $x= − 13π;− 11π. 2 2$

11π − 7π < x2 ≤ −-2-⇒ −14,5 <m ≤ − 11,5 ⇒ m = −14;−13;−12

Отсюда получаем $x= − 27π;− 25π;− 23π-. 4 4 4$

Ответ:

а) $π+ πn, π-+ π-m, n,m ∈ℤ 2 4 2$

б) $− 27π ;− 13π;− 25π;− 23π;− 11π 4 2 4 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2048

а) Решите уравнение $5sinx + 3 sin2 x = 0$ .

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− 7;0 )$ .

Показать ответ и решение

а) Вынесем множитель $sinx$ за скобки:

⌊ [ sinx = 0 sin x = 0 | sin x ⋅ (5 + 3sinx ) = 0 ⇒ 5 + 3sin x = 0 ⇒ ⌈ 5 sinx = − -- 3

Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок $[− 1;1]$ , то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:

sin x = 0 ⇒ x = πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

7 − 7 < πn < 0 ⇒ − -- < n < 0 π

Т.к. $2π < 7 < 3π$ , то $3π 7 2π − -π- < − π-< − π--$ , что равносильно $7 − 3 < − π-< − 2$ .

Таким образом, целые $n$ , принадлежащие полученному промежутку, это $n = − 2;− 1$ . При этих значениях $n$ получаем корни $x = − 2π; − π$ .

Ответ:

а) $πn, n ∈ ℤ$

б) $− 2π; − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2238

а) Решите уравнение $sinx + sin2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0;2π].$

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса двойного угла имеем:

$pict$

б) Отберем корни с помощью неравенств:

$pict$

Ответ:

а) $2π πk; ± 3 + 2πk, k ∈ ℤ$

б) $0;$ $2π ; 3$ $π;$ $4π ; 3$ $2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2240

а) Решите уравнение $( ) sin π-+x +sin2x= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( 5π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле синуса двойного угла имеем:

cosx+ 2sin xcosx= 0 ⇔ cosx(1 + 2sinx)= 0 ⇔

⌊ π- ⌊ 1 |x = −6 + 2πn,n ∈ ℤ ⇔ ⌈sin x= −2 ⇔ ||x = − 5π + 2πk,k ∈ℤ cosx= 0 |⌈ 6 x = π-+πm, m ∈ℤ 2

б) Отберем корни:

$π 5π 1 4 0< − 6 + 2πn ≤ 2 ⇔ 12 < n≤ 3 ⇒ n= 1$ . Следовательно, $11π x = 6 .$

$0< − 5π+ 2πk ≤ 5π- ⇔ -5 < k ≤ 5 ⇒ k = 1 6 2 12 3$ . Следовательно, $x = 7π. 6$

$0< π-+ πm ≤ 5π ⇔ − 1 <m ≤2 ⇒ m =0; 1; 2 2 2 2$ . Следовательно, $π- 3π 5π- x = 2; 2 ; 2 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πn; − 5π + 2πk; π-+ πm; n,k,m ∈ℤ 6 6 2$

б) $π 7π 3π 5π 11π 2-;-6 ;-2 ; 2-;-6-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#349

a) Решите уравнение

sin(2x) + sin x = 2 cosx + 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 3π − π; --- 2$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:

2sinx ⋅ cosx + sin x − 2cos x − 1 = 0.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

sinx(2 cosx + 1) − (2cos x + 1) = 0 ⇔ (sinx − 1 )(2 cosx + 1) = 0.

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
$sin x − 1 = 0$ или $2cos x + 1 = 0$ .

Решениями уравнения $sin x = 1$ являются $x = π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2$ .

Решения уравнения $cosx = a$ имеют вид: $x = ±arccosa + 2πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, решения уравнения $cos x = − 1- 2$ имеют вид $x = ± 2π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3$ .

б)

− π ≤ π- + 2πk ≤ 3π- ⇔ − 3-≤ k ≤ 1, 2 2 4 2

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходит $x$ при $k = 0$ : $x = π- 2$ .

− π ≤ 2π-+ 2πn ≤ 3π- ⇔ − 5-≤ n ≤ -5-, 3 2 6 12

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходит $x$ при $n = 0$ : $2π x = --- 3$ .

2π- 3π- 1- 13- − π ≤ − 3 + 2πn ≤ 2 ⇔ − 6 ≤ n ≤ 12,

но $k ∈ ℤ$ , тогда подходят $x$ при $n = 0$ и $n = 1$ : $x = − 2π- 3$ , $x = 4π- 3$ .

Ответ:

а) $π --+ 2πk 2$ , $2π ± ---+ 2πk,k ∈ ℤ 3$ .

б) $π- 2$ , $2π- 3$ , $− 2π- 3$ , $4π- 3$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#350

a) Решите уравнение

------cosx------- -----sin(2x-)----- 1 − sin2 x − cosx = 1 − sin2 x − cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) 3π- − 2π;− 2$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $1 − sin2x − cos x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

cosx − sin(2x) ------2----------= 0 1 − sin x − cosx

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

cosx(1-−-2-sin-x)-= 0 1 − sin2 x − cosx

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: или $cos x = 0$ , или $sin x = 0,5$ .

Рассмотрим ОДЗ: $2 1 − sin x − cosx ⁄= 0$ ,
что в силу основного тригонометрического тождества равносильно $cos2 x − cosx ⁄= 0$ , что равносильно $cosx(cos x − 1) ⁄= 0$ , что равносильно системе

{ cosx ⁄= 0 cosx ⁄= 1.

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:

Таким образом, решениями будут $arcsin0,5 + 2πk$ , $k ∈ ℤ$ и $π − arcsin0, 5 + 2 πk$ , $k ∈ ℤ$ , то есть

π- 5-π x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ.

б)

π 3π 13π 10π 13 10 − 2π < 6-+ 2πk < − -2- ⇔ − -6--< 2πk < − -6-- ⇔ − 12- < k < − 12-,

но $k ∈ ℤ$ , тогда на интервал $( 3π) − 2π;− --- 2$ попадает только решение при $k = − 1$ : $11π x = − ---- 6$ .

5π- 3π- 17π- 14π- 17- 14- − 2π < 6 + 2πk < − 2 ⇔ − 6 < 2πk < − 6 ⇔ − 12 < k < − 12,

но $k ∈ ℤ$ , следовательно, решения вида $x = 5π-+ 2πk 6$ , $k ∈ ℤ$ на интервал $( − 2π;− 3π-) 2$ не попадают.

Ответ:

а) $π x = -- + 2πk 6$ , $5π x = ---+ 2πk 6$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $− 11-π 6$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#429

а) Решите уравнение

2 2-cos-x-−-1-−√sin4x- 2sin3x − 2 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] 19π- 23π- 4 ; 4$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $√ -- sin 3x ⁄= --2- 2$ . Решим на ОДЗ.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

2cos2 x − 1 − sin 4x = 0 ⇒ cos2x − sin 4x = 0 (т.к. по ф орм уле двой ного угла cos 2x = 2 cos2x − 1)

⌊ π π ⌊ x = --+ --n,n ∈ ℤ cos2x = 0 || 4 2 cos 2x − 2sin2x cos 2x = 0 ⇒ cos2x(1 − 2 sin 2x) = 0 ⇒ ⌈ ⇒ |x = π--+ πm, m ∈ ℤ sin 2x = 1- |⌈ 12 2 5π- x = 12 + πk, k ∈ ℤ

Решим ОДЗ: $√ -- 2 π 2 π 2 sin3x ⁄= ----⇒ x′ ⁄= ---+ -πp, p ∈ ℤ, x′′ ⁄= --+ -πl, l ∈ ℤ 2 12 3 4 3$

Пересечем полученные корни с ОДЗ. Для этого отметим все эти точки на окружности: корни уравнения — зеленые, а корни ОДЗ – красными.

$PIC$

Таким образом, итоговый ответ:

5π- x1 = 12 + 2πn, n ∈ ℤ 13π x2 = ----+ 2πm, m ∈ ℤ 12 x2 = 5π-+ 2πk, k ∈ ℤ 4 7π- x4 = 4 + 2πl,l ∈ ℤ

б) Отберем корни:

1) $19π- 23π- 13- 8- 4 ≤ x1 ≤ 4 ⇒ 6 ≤ n ≤ 3 ⇒ n ∈ ∅$

2) $19π-≤ x2 ≤ 23π-⇒ 11- ≤ m ≤ 7-⇒ m = 2 ⇒ x = 61-π 4 4 6 3 12$

3) $19π 23π 7 9 21π ----≤ x3 ≤ ----⇒ --≤ k ≤ --⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 4 4 4 4 4$

4) $19π- 23π- 3- 23π- 4 ≤ x4 ≤ 4 ⇒ 2 ≤ l ≤ 2 ⇒ l = 2 ⇒ x = 4$

Ответ:

а) $5π 13π 5π 7π ---+ 2πn, ----+ 2πm, ---+ 2 πk,--- + 2πl, n,m, k,l ∈ ℤ 12 12 4 4$

б) $61π- 21π- 23π- 12 ; 4 ; 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#430

а) Решите уравнение

√ -- √ -- 3 sin x + 3 3cos x = 3 + tgx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ] − π-;π 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ $sin x cosx sinx = ----------= tgx cosx ⇒ cosx$

√ -- √ -- √-- 3cos xtgx + 3 3cos x − 3 − tgx = 0 ⇒ (tgx + 3 )(3 cosx − 1) = 0 ⇒

⌊ √ -- ⌊ π tgx = − 3 x = − --+ πn, n ∈ ℤ ⌈ 1 ⇒ |⌈ 3 cos x = -- x = ± arccos 1-+ 2πm, m ∈ ℤ 3 3

Т.к. по ОДЗ $π cos x ⁄= 0 ⇒ x ⁄= --+ πk,k ∈ ℤ 2$ , то полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни:

1) $π π 1 4 π 2π − -- < − --+ πn ≤ π ⇒ − --< n ≤ --⇒ n = 0;1 ⇒ x = − --;--- 2 3 6 3 3 3$

2) Обозначим $arccos 1-= α 3$ .

$π 1 α 1 α − --< α + 2 πm1 ≤ π ⇒ − --− ---< m1 ≤ --− --- 2 4 2π 2 2π$

Т.к. в первой четверти косинус убывает и $1- 1- 3 < 2$ , то $π- π- 1- α-- 1- 3 < α < 2 =⇒ − 4 < − 2π < − 6 ⇒$ можно условно сказать, что

$1- -α- − 4 − 2π = − 0, ...$ и $1- -α- 2 − 2π = 0,...$ . Значит, $1- m1 = 0 ⇒ x = α = arccos3$

3) $π 1 α 1 α − -- < − α + 2πm2 ≤ π ⇒ − --+ ---< m2 ≤ --+ --- 2 4 2π 2 2π$

Аналогично, $1- α-- − 4 + 2π = − 0,...$ и $1- α-- 2 + 2π = 0,...$ , следовательно, $1- m2 = 0 ⇒ x = − arccos 3$ .

Ответ:

а) $π 1 − --+ πn, ± arccos --+ 2πm, n,m ∈ ℤ 3 3$

б) $1- π- 1- 2π- − arccos 3;− 3 ;arccos3 ; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#937

а) Решите уравнение

cos 2x + sinx = 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[− π;π].$

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла $cos2x = 1 − 2sin2x$ уравнение перепишется в виде

⌊ x = πn, n ∈ ℤ ⌊ sinx = 0 | | || π- 1 − 2 sin2 x + sin x = 1 ⇔ sinx (1 − 2 sin x) = 0 ⇔ ⌈ ⇔ ||x = 6 + 2πm, m ∈ ℤ sinx = 1- | 2 ⌈ 5π- x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π ≤ πn ≤ π ⇔ − 1 ≤ n ≤ 1 ⇒ n = − 1; 0; 1.$ Следовательно, $x = − π; 0; π.$

$π 7 5 − π ≤ 6-+ 2πm ≤ π ⇔ − 12-≤ m ≤ 12- ⇒ m = 0.$ Следовательно, $π x = 6.$

$− π ≤ 5π-+ 2 πk ≤ π ⇔ − 11-≤ k ≤ 1-- ⇒ k = 0. 6 12 12$ Следовательно, $x = 5π. 6$

Ответ:

а) $π 5π πn; --+ 2 πm; --- + 2πk; n,m, k ∈ ℤ 6 6$

б) $− π; 0; π-; 5π-; π 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#938

а) Решите уравнение

tg2x + sin 2x = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[− 3π;− 2π).$

Показать ответ и решение

а) Так как $sin 2x tg2x = ------ cos2x$ , то уравнение, сделав замену $2x = t$ , можно переписать в виде

$sin t sint + sintcos t sint ⋅ (1 + cos t) -----+ sint = 0 ⇔ ----------------= 0 ⇔ ----------------= 0 ⇔ cost cost cost$

$( [ ( [ |{ sint = 0 |||{ t = πn, n ∈ ℤ t = π + 2πm, m ∈ ℤ ⇔ | cos t = − 1 ⇔ | ( cos t ⁄= 0 ||( t ⁄= π-+ πk, k ∈ ℤ 2$ Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение для $t$ на окружности:

$PIC$

Видим, что серия $t = π + 2 πm$ входит в серию $t = πn$ . Следовательно, окончательный ответ

t = πn ⇒ x = π-⋅ n,n ∈ ℤ. 2

б) Отберем корни.

$− 3 π ≤ π-⋅ n < − 2π ⇔ − 6 ≤ n < − 4 ⇒ n = − 6; − 5. 2$ Следовательно, $x = − 3π; − 5π-. 2$

Ответ:

а) $π --n,n ∈ ℤ 2$

б) $5π- − 3π; − 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#939

а) Решите уравнение

2 sin x ⋅ sin π-⋅ sin π-+ sin2x = 0 2 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(− 7π;− 5π ).$

Показать ответ и решение

а) Для табличных углов $π- 2$ и $π- 3$ известно, что $sin π = 1 2$ и $√ -- sin π-= --3- 3 2$ .

По формуле синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$ , следовательно

$√ -- ( √ --) 3 3 2sinx ⋅ 1 ⋅---+ 2 sin xcos x = 0 ⇔ sinx cosx + ---- = 0 ⇔ 2 2$

$⌊ sinx = 0 ⌊ x = πn, n ∈ ℤ | | ⇔ |⌈ √ -- ⇔ ⌈ 5π cos x = − --3- x = ± --- + 2πm, m ∈ ℤ 2 6$

б) Отберем корни.

$− 7 π < πn < − 5π ⇔ − 7 < n < − 5 ⇒ n = − 6.$ Следовательно, $x = − 6π.$

$5π- 47- 35- − 7 π < 6 + 2πm < − 5π ⇔ − 12 < m < − 12 ⇒ m = − 3.$ Следовательно, $31π- x = − 6 .$

$− 7 π < − 5π-+ 2πm < − 5π ⇔ − 37-< m < − 25- ⇒ m = − 3. 6 12 12$ Следовательно, $x = − 41π. 6$

Ответ:

а) $5π πn; ± ---+ 2πm; n,m ∈ ℤ 6$

б) $− 41-π; − 31π-; − 6π 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#973

а) Решите уравнение

1 + sin2x = (sin 2x − cos2x )2

б) Найдите наименьший положительный корень данного уравнения.

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

1+sin 2x = sin22x − 2 sin 2x cos2x+cos2 2x ⇔ 1+sin 2x = 1 − 2 sin 2x cos2x ⇔ sin 2x(1+2 cos 2x) = 0

Данное уравнение имеет решение в том случае, если либо $sin2x = 0$ , либо $cos2x = − 1 2$ . В первом случае получаем серию корней $2x = πn$ , а во втором $2π 2x = ± 3 + 2πm, n,m ∈ ℤ$ , откуда:

π π x = 2-n или x = ± 3-+ πm, n,m ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$π- π- 2n > 0 ⇔ n > 0 ⇒ nmin = 1 ⇒ xmin = 2$

$π-+ πm > 0 ⇔ m > − 1- ⇒ mmin = 0 ⇒ xmin = π- 3 3 3$

$π 1 2π − --+ πm > 0 ⇔ m > -- ⇒ mmin = 1 ⇒ xmin = --- 3 3 3$

Заметим, что среди найденных в каждой серии наименьших положительных корней самым меньшим является $π- 3$ .

Ответ:

а) $π π --n; ± --+ πm, n,m ∈ ℤ 2 3$

б) $π- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1090

a) Решите уравнение $sin (2x)+ cos(2x)+ 1= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π).$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла:

2sinx ⋅cosx +2cos2x− 1+ 1= 0. 2cosx ⋅(sinx+ cosx)= 0.

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или $cosx= 0$ , или $sinx+ cosx= 0$ .

В случае $cosx= 0$ :
решениями будут $π x = 2 + πk$ , где $k ∈ ℤ$ .

В случае $sinx + cosx = 0$ :
равенство можно разделить на $cosx$ (так как если $cosx= 0$ является решением, то из этого равенства следует, что и $sinx = 0$ ; но тогда мы получаем противоречие с основным тригонометрическим тождеством: $2 2 0 + 0 = 1$ ).

После деления имеем: $tgx =− 1$ , откуда получаем $π x =− 4-+ πk$ , где $k ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ.

б)

0< π-+πk < π ⇔ − π-< πk < π ⇔ − 1 < k < 1, 2 2 2 2 2

но $k ∈ℤ$ , тогда на интервал $(0;π)$ попадает только корень при $k = 0$ : $x = π- 2$ .

π π π 1 1 0 <− 4-+πk < π ⇔ 4-< πk < π+ 4 ⇔ 4 < k <1 4,

но $k ∈ℤ$ , тогда на интервал $(0;π)$ попадает только корень при $k = 1$ : $x = 3π 4$ .

Ответ:

а) $π+ πk 2$ , $− π+ πk 4$ , где $k ∈ ℤ$

б) $π- 2$ , $3π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1273

а) Решите уравнение $2sin(π+ x)⋅sin( π+ x) = sinx. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения $sin(π +x) =− sin x, sin( π+ x) = cosx 2$ . Тогда уравнение примет вид

⌊ |sin x= 0 −2sin xcosx= sinx ⇔ sinx(1+ 2cosx)= 0 ⇔ ⌈ 1 cosx= − 2

Корнями уравнений будут являться $x= πn$ и $2π x= ± 3-+ 2πk$ , $n,k ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. $2π ≤ πn≤ 7π ⇔ 2≤ n ≤3,5 ⇒ n = 2;3 ⇒ x = 2π;3π 2$ $2π 7π 2 17 8π 2π ≤ 3-+ 2πk ≤ 2- ⇔ 3 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 1 ⇒ x= -3$ $7π 4 25 10π 2π ≤ − 2π3-+ 2πk ≤-2 ⇔ 3 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 2 ⇒ x = -3-$

Ответ:

а) $2π- πn, ± 3 + 2πk, n,k ∈ ℤ$

б) $2π, 8π, 3π, 10π 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1325

а) Решите уравнение

sin5x ⋅ cos 2x = sin3x

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $[2014π; 2015π ].$

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

а) Представим $sin 3x = sin (5x − 2x) = sin5x cos2x − sin 2xcos 5x$ , тогда уравнение перепишется в виде:

sin 5x ⋅ cos2x = sin 5x ⋅ cos2x − sin2x ⋅ cos 5x ⇔ sin2x ⋅ cos 5x = 0 ⇔

⌊ ⌊ π 2x = πn, n ∈ ℤ x = -n,n ∈ ℤ ⇔ ⌈ ⇔ | 2 5x = π-+ πm, m ∈ ℤ ⌈ π-- π- 2 x = 10 + 5 m, m ∈ ℤ

б) Отберем корни. $π 2014 π ≤ --n ≤ 2015 π ⇔ 4028 ≤ n ≤ 4030 ⇒ n = 4028; 4029; 4030 ⇒ 2 ⇒ x = 2014 π; 2014,5π; 2015 π. -π- π- 2014 π ≤ 10 + 5m ≤ 2015 π ⇔ 10069, 5 ≤ m ≤ 10074,5 ⇒ ⇒ m = 10070; 10071; 10072; 10073; 10074 ⇒ ⇒ x = 2014, 1π; 2014,3π; 2014,5π; 2014, 7π; 2014,9 π.$

Ответ:

а) $π π π --n; ---+ -m, n,m ∈ ℤ 2 10 5$

б) $2014 π; 2014,5 π; 2015π; 2014, 1π; 2014,3π; 2014,5π; 2014, 7π; 2014,9 π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1673

a) Решите уравнение $sin(2x)−-2cosx sin x− 1 = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(π;2π].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $sin x⁄= 1.$ Решим уравнение на ОДЗ.

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

2sin x⋅cosx− 2cosx -----sinx-−-1-----= 0 sin x− 1 2cosx⋅sin-x−-1 = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Следовательно, на ОДЗ имеем $cosx= 0,$ то есть

{ cosx= 0 sin x⁄= 1

Таким образом, подходят только $π x = −2-+ 2πk, k ∈ℤ.$

б)

π- π- π- π <− 2 + 2πk ≤ 2π ⇔ π+ 2 < 2πk ≤ 2π + 2 ⇔

⇔ 3< k ≤ 5 ⇔ k =1 4 4

Тогда в полуинтервал $(π;2π]$ попадает только корень при $k = 1:$ $x= 3π. 2$

Ответ:

а) $− π+ 2πk, k ∈ ℤ 2$

б) $3π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1675

a) Решите уравнение

cos(2x)- 3sin x + sinx = − 2

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[− π;π ]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

3 sin2 x + cos(2x) + 2sinx --------------------------= 0 sin x

Так как $cos(2x) = 1 − 2 sin2 x$ , то последнее уравнение можно переписать в виде

2 sin-x-+-2-sin-x +-1 = 0 sin x

Используя формулу для квадрата суммы, получим, что уравнение эквивалентно уравнению

(sinx-+--1)2 sin x = 0

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: $sin x = − 1$ .

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:

Таким образом, решениями будут

x = − π-+ 2πk, k ∈ ℤ. 2

б)

π π 3π 1 3 − π ≤ − --+ 2πk ≤ π ⇔ − --≤ 2πk ≤ --- ⇔ − --≤ k ≤ --, 2 2 2 4 4

но $k ∈ ℤ$ , тогда на отрезок $[− π; π]$ попадает только решение при $k = 0$ , то есть $π- x = − 2$ .

Ответ:

а) $π x = − --+ 2πk 2$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $π − 2-$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1727

a) Решите уравнение

sin(2x) − 2√3--cos2x − 4sin x + 4√3-cos x = 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ 5π ] π; --- 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:

-- -- 2sinx ⋅ cos x − 2√ 3cos2 x − 4sinx + 4√ 3 cosx = 0.

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

√-- √ -- 2 sin x(cos x − 2) − 2 3 cosx (cos x − 2) = 0 ⇔ (cos x − 2)(sin x − 3cos x) = 0.

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:

-- cosx = 2 и ли sin x − √ 3 cosx = 0.

Так как $− 1 ≤ cosx ≤ 1$ , то $cosx = 2$ не подходит.

√ -- sinx − 3 cosx = 0.

Так как те $x$ , при которых $cosx = 0$ не могут быть решениями, то на $cosx$ можно разделить:

√ -- tgx = 3.

Решения уравнения $tgx = a$ имеют вид $x = arctga + πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, решения уравнения $√ -- tgx = 3$ имеют вид $π x = 3-+ πk,k ∈ ℤ$ .