Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#70116Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- ( ) 2 3cos2 3π2-+ x − sin2x =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π 2 ;3π$ .

Показать ответ и решение

а) Применим формулу приведения для косинуса в левой части уравнения $cos(3π2 + x)= sin x$ . Подставим в изначальное уравнение и решим его методом разложения на множители:

2√3 sin2x− 2sin xcosx= 0,

2 sinx(√3sin x− cosx)= 0.

Произведение двух множителей равно нулю, когда какой-то из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1 случай. $sin x= 0$ , тогда $x = πk$ , $k$ – целое.

2 случай. $√- 3 sinx− cosx= 0$ .
Это однородное уравнение, которое можно решить делением обеих частей на $sinx⁄= 0$ . Потреи решений при этом не происходит, так как случай $sinx =0$ мы уже рассмотрели.

$√ - ctgx= 3$ , откуда $π x= 6+ πk$ , $k$ – целое.

б) Отберем корни на промежутке $[3π ] -2 ;3π$ с помощью двойных неравенств:

Первая серия:

3π≤ πk ≤3π, 2

3 - ≤ k ≤ 3. 2

Так как $k ∈ ℤ$ , то решениями этго двойного неравенства являются $k = 2$ и $k = 3$ .

При $k = 2$ : $x1 =π ⋅2= 2π$ ,
при $k = 3$ : $x2 =π ⋅3= 3π$ .

Вторая серия:

3π≤ π+ πk ≤ 3π, 2 6

8≤ k ≤ 17, 6 6

11 ≤k ≤ 25. 3 6

Так как $k ∈ℤ$ , то единственным решением являятся $k = 2$ .

Вычисляем корень: $π- 13π x3 = 6+ 2π = 6$ .

Ответ:

а) $x = πk$ , $x = π+ πk 6$ , $k$ – целое;

б) $2π$ , $13π 6$ , $3π$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#78007Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

cos4x+-1 11π 2 = cos 6 ⋅cos2x.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ 7π 5π] − 2-;−-2 .$

Показать ответ и решение

а) Умножим уравнение на 2 и слагаемые из правой части перенесём в левую:

11π cos4x+ 1− 2cos 6 ⋅cos2x= 0.

По формуле косинуса двойного угла $2 cos2t= 2cos t− 1,$ следовательно

√- 2cos22x− 1+ 1 − 2 ⋅-3-⋅cos2x =0, 2

2 √- 2cos 2x − 3⋅cos2x= 0,

√- cos2x ⋅(2cos2x− 3)= 0,

отсюда получаем два случая:
1)

cos2x= 0,

π 2x = 2-+πn, n ∈ℤ,

x = π+ πn-; 4 2

√ - 2cos2x− 3= 0,

√ - cos2x= --3, 2

π- 2x = ±6 + 2πn, n ∈ℤ,

x = ±-π +πn. 12

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π-;− 5π . 2 2$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

π- π- 13π x1 = 4 + 2 ⋅(−7)= − 4 ,

x2 = π+ π-⋅(−6)= − 11π , 4 2 4

π 35π x3 = 12-+ π⋅(−3)= − 12-,

x4 = −-π +π ⋅(− 3)= − 37π. 12 12

Ответ:

а) $π+ πn- 4 2$ ; $x= ± π-+ πn 12$ ; $n ∈ ℤ$ ;
б) $13π 37π 35π- 11π − 4 ;− 12 ;− 12 ;− 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#78010Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- (cos2x− 13 2 sinx+ 13)⋅log13(sin22x)= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] 3π; 9π . 2$

Показать ответ и решение

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Уравнение определено, если $sin22x> 0.$ Рассмотрим два случая:
1)

cos2x− 13√2sin x+ 13= 0,

1− 2sin2 x− 13√2-sin x+ 13= 0,

−2sin2x− 13√2sin x+ 14= 0.

Сделаем замену $t =sinx:$

√- −2t2− 13 2t+ 14= 0,

√- 2t2+ 13 2t− 14= 0,

√ - D = (13 2)2 − 4 ⋅2 ⋅(− 14) =338+ 112= 450,

√ - √--- √- √- √ - t1 = −13-2−--450 = −13-2−-15-2-= −-28--2= − 7√2, 2 ⋅2 4 4

√ - √--- √- √- √ - √ - t1 = −13-2+--450 = −13-2+-15-2-= 2--2= --2. 2 ⋅2 4 4 2

Сделаем обратную замену:
1а)

√- sinx = −7 2.

Это уравнение не имеет решений, так как $√- − 7 2< − 1.$
1б)

√2 sinx = 2-,

x= π-+ 2πn, n ∈ℤ 4

x= 3π-+ 2πn, n ∈ ℤ. 4

2 log13(sin 2x)= 0,

2 0 sin 2x =13 ,

sin22x= 1,

sin2x= ±1,

2x = π-+πn, n ∈ℤ, 2

π- πn- x = 4 + 2 .

Все найденные решения удовлетворяют ограничению $2 sin 2x > 0.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;-2 .$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

x1 = π+ π-⋅6= 13π, 4 2 4

π- π- 15π x2 = 4 + 2 ⋅7= 4 ,

x1 = π+ π-⋅8= 17π. 4 2 4

Ответ:

а) $x = π-+ πn, n∈ ℤ 4 2$ ;
б) $13π- 15π- 17π 4 ; 4 ; 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#80089Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $1 +sinx = cos2 x. 2$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π π] − 2-;− 2-.$

Показать ответ и решение

а)

Перенесём $cos2 x 2$ в левую часть уравнения:

1 − cos2 x+ sin x = 0. 2

По ОТТ $sin2 x = 1− cos2 x : 2 2$

sin2 (x) + sinx = 0. 2

По формуле синуса двойного угла $x x sin x = 2 sin 2 cos2 :$

2 x- x- x- sin 2 + 2sin2 cos2 = 0.

Вынесем $x sin 2$ за скобку:

( ) sin x-⋅ sin x-+ 2cos x = 0. 2 2 2

Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

$⌊ sin x-= 0, ⌈ x 2 x sin 2 + 2 cos 2-= 0.$

Второе уравнение совокупности — однородное.

Если в рамках данного уравнения $x cos2$ равен 0, то и $x sin 2$ одновременно равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ: $2 2 0 + 0 ⁄= 1.$

Разделим второе уравнение совокупности на $x cos2 :$

$⌊ sin x-= 0, ⌈ 2 tg x-+ 2 = 0. 2$

$⌊ x- ⌈ 2 = πn,n ∈ ℤ, x-= arctg (− 2)+ πn,n ∈ ℤ. 2$

$[ x = 2πn,n ∈ ℤ, x = 2 arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ.$

б)

Проведём отбор корней графическим методом:

$PIC$

Ни одна из точек серии $x = 2πn,n ∈ ℤ$ не принадлежит отрезку.

Из серии $x = 2arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ$ на отрезок попадает ровно одна точка $2 arctg(− 2).$

Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала определим положение точки $arctg (− 2).$ Она, очевидно, лежит в IV четверти из-за отрицательности аргумента арктангенса: $− 2 < − 1,$ откуда $arctg(− 2)$ меньше $− π. 4$

Отмерим такой же угол уже от точки $arctg(− 2)$ и попадём в III четверть, где и будет лежать точка $2 arctg(− 2).$

Таким образом:

$2arctg(− 2) = arctg(− 2)+ arctg(− 2) = 2 arctg(− 2)+ 2π ⋅0.$

Ответ:

а) $x = 2πn,x = 2arctg (− 2)+ 2πn$ , где $n ∈ ℤ$ ;

б) $2 arctg(− 2).$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#83390Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( π) ( π) sin 2x+ 6 = cosx +cos x + 6 sin x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π] −5π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Раскроем синус суммы:

( π) ( π) ( π) sin 2x+ 6 = sinx ⋅cos x + 6 + cosx⋅sin x+ 6 .

Тогда уравнение примет вид

( π) ( π) ( π) sinx ⋅cos x + 6 +cosx⋅sin x+ 6 = cosx + cos x + 6 sinx.

Вычтем из обеих частей $( π ) sinx⋅cos x+ 6- :$

( ) cosx ⋅sin x + π-= cosx, ( ( 6) ) cosx ⋅ sin x + π-− 1 = 0. 6

Тогда получаем совокупность

$pict$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$971ππ1π −−−−5223π$

Таким образом, подходят корни $9π − -2 ;$ $11π − -3-;$ $7π − 2-.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 9π ; 2$ $− 11π; 3$ $− 7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#85239Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√ - 4ctg (π-− x) =-----3---. 2 cos2(π− x)$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− π;2π ].$

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения для котангенса и косинуса, а также по формуле $2 -1--- 1 +tg x= cos2x$ имеем:

√3- 4tg x= cos2x √- 2 √ - 4tg x= 3 tg x + 3 ⌊tgx= √3- |⌈ tgx= √1- ⌊ 3 x= π+ πn,n∈ ℤ ||⌈ 3 x= π+ πm,m ∈ ℤ 6

б) Отберем корни с помощью неравенств. Для первой серии имеем

−π ≤ π+ πn ≤ 2π 3 − 4≤ n ≤ 5 3 3 n= −1;0;1 x= − 2π; π; 4π 3 3 3

Для второй серии имеем

−π ≤ π-+ πm ≤ 2π 6 − 7 ≤ m ≤ 11 6 6 m = − 1;0;1 x= − 5π; π; 7π 6 6 6

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; π-+ πm,m ∈ ℤ 3 6$

б) $5π 2π π π 7π 4π − -6 ;− -3 ;6-;3;6-;-3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#85253Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $1cosx(sinx +√3-)= (sin2x+ √3sinx)cos2x. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− π . 2$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

1 cosx(2sin2x cosx +2√3 sinx cosx − sinx− √3) = 0 2 √ - cosx(sinx+ 3)(2sin xcosx − 1)= 0 ⌊ |cosx =0 √- ||sinx= − 3 ⌈ ⌊sin2x= 1 cosx =0 ⌈ sin2x= 1 ⌊x = π-+πn,n ∈ ℤ || 2 ⌈ π- x = 4 +πm, m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π ;− π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$537πππ −−−− 2π24$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежат числа $− 5π;− 7π;− 3π . 2 4 2$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; π-+ πm,m ∈ ℤ 2 4$

б) $5π 7π 3π − -2 ;− -4 ;− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#86033Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

sin2x− √3 √3-cosx− 2sinx cos3x+-1-= ---cos3x-+-1---.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 2π; 3π . 3 2$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

{ √- √ - 2sinxcosx− 3 − 3cosx+ 2sin x= 0 {cos3x⁄= −√1 (2sin x− 3)(cosx+ 1)= 0 cos3x⁄= − 1 (⌊ √- |||{| sinx = -3- ⌈ 2 |||( cosx = −1 cos3x⁄= − 1 (||⌊ x= π-+ 2πm, m ∈ ℤ ||||| 3 ||{||| x= 2π +2πn,n ∈ ℤ |⌈ 3 |||| x= π+ 2πk,k ∈ ℤ |||(x ⁄= π-+ 2πp,p∈ ℤ 3 3

Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:

$π ππ2ππ2π22ππ 3-+333−3 + +π +++32 pπ3223,mππ ppnkp,,∈ p p{∈∈..{{.;..0....;;;321;;;6;549;8;7;;;.11..10};;......}}$

Следовательно, решение уравнения $2π x = 3-+ 2πn,n ∈ℤ.$

б) Отберем корни с помощью неравенства:

− 2π ≤ 2π-+ 2πn≤ 3π ⇔ − 2 ≤ n≤ 5- ⇒ n= 0 ⇒ x = 2π 3 3 2 3 12 3

Ответ:

а) $2π+ 2πn,n∈ ℤ 3$

б) $2π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#89274Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $( ) ( ) ( ) 2sin x − π- cos x + π-+ 1= sin x+ π- . 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[7π ] 2-;5π .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $sin αcosβ = 1 (sin(α− β)+ sin(α+ β)). 2$

Тогда получаем

1 ( (( π) ( π-)) ( ( π) ( π))) ( π) 2⋅2 sin x − 4 − x+ 4 + sin x− 4 + x+ 4 + 1= sin x + 2 ( π-) sin −2 + sin(2x)+ 1= cosx −1+ sin (2x)+ 1= cosx 2sin xcosx= cosx cosx(⌊2sin x− 1)= 0 cosx= 0 ⌈ 1 sin x= 2 ⌊ π |x = 2-+πk ||x = π-+2πk |⌈ 6 x = 5π+ 2πk 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[7π ] 2 ;5π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий из пункта а).

$7229π59πππ 52π662$

Следовательно, на отрезке $[7π ] 2-;5π$ лежат точки $7π -2 ,$ $25π -6-,$ $9π 2-,$ $29π . 6$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $7π, 2$ $25π, 6$ $9π , 2$ $29π. 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#126433Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) √3 +2cos(− x− π) = −√2 sin2x− √6-sin 7π− x . 2 2$

б) Найдите все решения уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения:

( π-) cos −x− 2 = − sinx ( 7π ) sin -2 − x = − cosx

По формуле синуса двойного угла:

sin2x= 2sinxcosx

С учетом формул выше перенесем все слагаемые в левую сторону:

√- √- √ - 3 +2(− sinx)+ 2 ⋅2 sinxcosx+ 6(− cosx)= 0 √3-− 2sinx + 2√2-sinx cosx − √6cosx= 0 ( √-) √ - ( √-) − 2sinx − 3 + 2cosx 2sinx − 3 = 0 (2sin x− √3) (√2cosx− 1) =0 ⌊ - 2sinx− √3 = 0 ⌈√ - 2cosx − 1= 0 ⌊ √3- ||sin x= -2- ⌈ √2- cosx= 2 ⌊ π- |x = 3 + 2πk, k ∈ ℤ || 2π ||x = 3 + 2πk, k ∈ℤ ⌈x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−−3 3 5 4 7 9ππππππ 23344$

Следовательно, на отрезке $[ 3π] − 3π;− -2$ лежат точки $5π 7π 9π − -3 ;− 4-;−-4 .$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk; 3$ $± π-+ 2πk, 4$ $k ∈ ℤ.$

б) $− 5π ; 3$ $− 7π; 4$ $− 9π. 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2