.00 №14 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребрах 
и 
правильного тетраэдра 
отмечены точки 
и 
соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что плоскость 
проходящая через точки 
и 
делит
ребро 
в отношении 
считая от вершины 
б) Найдите площадь сечения тетраэдра 
плоскостью 
если
Источники:
а) Так как 
то по обратной теореме о пропорциональных
отрезках 
Пусть плоскость сечения 
пересекает 
в точке 
Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.
Тогда рассмотрим плоскости 
и 
Они пересекаются
по прямым 
и 
Так как 
то линии пересечения этих
плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно
параллельны:
Отсюда 
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
получаем:
б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 10.
Так как 
то 
по двум углам.
Запишем отношение подобия и найдем 
Так как 
то 
по двум углам.
Запишем отношение подобия и найдем 
Так как 
то имеем:
Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними
треугольниками. Следовательно, 
Получаем, что 
по двум сторонам и углу между ними:
Следовательно, 
Тогда так как 
то сечение
тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями 
и
Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для 
Найдем площадь трапеции 
Для этого проведем высоты 
и
Так как трапеция равнобедренная, то имеем:
Тогда по теореме Пифагора для 
Отсюда площадь трапеции равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
