№14 из ЕГЭ 2025 —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113002

Дана правильная треугольная призма $ABCA1B1C1,$ точка $M$ — середина ребра $CC1.$ Плоскость $α$ проходит через точки $B1,$ $A$ и $M.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $α$ равна 18 и $AB = 4.$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $△ B1C1M$ и $△ ACM.$ Их катеты $CM$ и $C1M$ равны, так как $M$ — середина $CC1$ по условию. Также равны катеты $B1C1$ и $AC,$ поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

$PIC$

Тогда $△ B1C1M = △ACM$ по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы $AM = B1M.$ То есть треугольник $B1MA$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть $BB1 =2h.$ Тогда

по теореме Пифагора $∘ ---------- √------- √ ----- AB1 = AB2 + BB21 = 16 +4h2 = 2 4+ h2$
$√ --2------2 √-----2 AM = AC +CM = 16+ h$

Поскольку треугольник $△ B1MA$ — равнобедренный с основанием $AB1,$ то его высота $MH$ делит сторону $AB 1$ пополам. То есть $AH = AB1-= √4-+h2 2$ .

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

∘ ---------- ∘ ------------- √ -- √- MH = AM2 − AH2 = 16+ h2− 4− h2 = 12 = 2 3

Теперь запишем площадь $S$ сечения:

√- √ ----- S = MH--⋅AB1-= 2-3⋅2--4+-h2= 2∘12-+-3h2- 2 2

По условию имеем:

$pict$

Тогда высота призмы равняется $2h,$ то есть $√ -- 2 23.$

Ответ:

б) $√ -- 2 23$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#113003

Дана правильная треугольная призма $ABCA1B1C1,$ точка $M$ — середина ребра $CC1.$ Плоскость $α$ проходит через точки $B1,$ $A$ и $M.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $α$ равна 6 и $AB =2.$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $△ B1C1M$ и $△ ACM.$ Их катеты $CM$ и $C1M$ равны, так как $M$ — середина $CC1$ по условию. Также равны катеты $B1C1$ и $AC,$ поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

$PIC$

Тогда $△ B1C1M = △ACM$ по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы $AM = B1M.$ То есть треугольник $B1MA$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть $BB1 =2h.$ Тогда

по теореме Пифагора $∘ ---------- √------ √ ----- AB1 = AB2 + BB21 = 4 +4h2 =2 1+ h2$
$√ --2------2 √----2 AM = AC +CM = 4+ h$

Поскольку треугольник $△ B1MA$ — равнобедренный с основанием $AB1,$ то его высота $MH$ делит сторону $AB 1$ пополам. То есть $AH = AB1-= √1-+h2. 2$

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

∘ ---------- ∘ ------------ √- MH = AM2 − AH2 = 4+ h2− 1− h2 = 3

Теперь запишем площадь $S$ сечения:

√ - √----- S = MH--⋅AB1-= --3⋅2-1+-h2 = ∘3-+3h2 2 2

По условию имеем:

$pict$

Высота призмы равняется $2h,$ то есть $√ -- 2 11.$

Ответ:

б) $√ -- 2 11$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120320

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $√- 3 2,$ высота призмы равна $√ - 2 7.$ Точка $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольник $BB1D1.$ По условию $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точку $K$ проведем среднюю линию $KL,$ параллельную стороне $BD1.$ Тогда точка $L$ лежит в плоскости $α,$ так как эта плоскость параллельна прямой $BD1.$

Диагонали $A1C1$ и $B1D1$ квадрата $A1B1C1D1$ точкой пересечения делятся пополам, при этом $L$ — середина $B1D1.$ Значит, $A1C1$ и $B1D1$ пересекаются в точке $L.$

Прямая $A C 1 1$ проходит через точки $C 1$ и $L,$ лежащие в плоскости $α.$ Следовательно, прямая $A1C1$ лежит в плоскости $α,$ значит, $△ A1KC1$ — искомое сечение.

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A1B1K$ и $C1B1K.$ У этих треугольников катеты $A1B1$ и $C1B1$ равны как стороны квадрата $A1B1C1D1,$ а катет $B1K$ — общий. Значит, $△A1B1K = △C1B1K$ по двум катетам. В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому $A1K = C1K.$ Следовательно, треугольник $A1KC1$ — равнобедренный.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1C1 :$

(√ -)2 ( √-)2 A1C21 =A1B21 + C1B21 = 3 2 + 3 2 = 36.

Значит, $A1C1 = 6.$

По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1K :$

2 2 2 ( √-)2 ( 2√7-)2 A1K =A1B 1 + B1K = 3 2 + -2-- =18 +7 = 25.

Значит, $A1K = 5.$

$PIC$

Тогда периметр $P A1KC1$ треугольника $A KC 1 1$ равен

PA1KC1 = A1C1 + A1K +C1K =A1C1 + 2A1K = 6+ 2⋅5= 16.

Ответ: б) 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3