Тема Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

№14 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125865

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  отметили точки M  и K  на ребрах AA1  и A1B1  соответственно. Известно, что AM = 5MA1,  A1K  = KB1.  Через точки M  и K  провели плоскость α  перпендикулярно грани ABB1A1.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершину C1.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1  плоскостью α,  если все ребра призмы равны 12.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Так как призма правильная, то A1B1C1  — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана C1K  является также и высотой треугольника A1B1C1  . Отсюда KC1 ⊥ A1B1.

Также так как призма правильная, то KC1 ⊥ AA1.

Получили, что KC1  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (ABB1 ),  следовательно, KC1 ⊥ (ABB1 ).

Так как α ⊥ (ABB1 ),  K ∈ α  и KC1 ⊥ (ABB1 ),  то KC1 ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Выше мы доказали, что KC1  ⊥(ABB1 ).  Но тогда KC1 ⊥ MK,  следовательно, MKC1  — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

   1
S = 2MK ⋅C1K

Так как все ребра призмы равны 12, то A1K = KB1 = 6.  Далее, из того, что AM  :MA1 = 5 :1,  получаем AM  =10,  MA1 = 2.

Тогда по теореме Пифагора для △ A MK  :
   1

           2      2     2
       MK   = A1M  + A1K     √--
MK2  = 4+ 36= 40  ⇒   MK  = 2 10

По теореме Пифагора для △ A1C1K :

        C1K2 = C1A21− A1K2
C1K2 = 144− 36= 108  ⇒   C1K = 6√3

Тогда искомая площадь равна

    1           1  √ --  √-   √ --
S = 2MK  ⋅C1K = 2 ⋅2 10⋅6 3 =6  30.
Ответ:

б)  √ --
6  30

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125866

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  отметили точки M  и K  на ребрах AA1  и A1B1  соответственно. Известно, что A1M = 2AM,  A1K  =KB1.  Через точки M  и K  провели плоскость α  перпендикулярно грани ABB1A1.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершину C1.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1  плоскостью α,  если все ребра призмы равны 20.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Так как призма правильная, то A1B1C1  — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана C1K  является также и высотой треугольника A1B1C1  . Отсюда KC1 ⊥ A1B1.

Также так как призма правильная, то KC1 ⊥ AA1.

Получили, что KC1  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (ABB1 ),  следовательно, KC1 ⊥ (ABB1 ).

Так как α ⊥ (ABB1 ),  K ∈ α  и KC1 ⊥ (ABB1 ),  то KC1 ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Выше мы доказали, что KC1  ⊥(ABB1 ).  Но тогда KC1 ⊥ MK,  следовательно, MKC1  — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

   1
S = 2MK ⋅C1K

Так как все ребра призмы равны 20, то A1K = KB1 = 10.  Далее, из того, что AM  :MA1 = 1 :2,  получаем       20
AM  = 3-,         40
MA1 =  3-.

Тогда по теореме Пифагора для △ A1MK  :

         MK2  = A1M2 + A1K2
        2         2
MK2 = 40- +102 = 10--⋅25-  ⇒   MK  = 50
       9           9               3

По теореме Пифагора для △ A1C1K :

         C1K2 = C1A21− A1K2
C1K2 = 400− 100= 300  ⇒   C1K = 10√3

Тогда искомая площадь равна

    1           1  50    √-   250√3-
S = 2MK  ⋅C1K = 2 ⋅ 3-⋅10 3= --3--.
Ответ:

б)   √ -
250--3
  3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125869

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD  с основанием ABCD.  Плоскость α  проходит через ребро AB  и пересекает ребра SC  и SD  в точках M  и N  соответственно. Известно, что AB = AN = BM  = 5MN.

а) Докажите, что SM :MC  = SN :ND  = 1:4.

б) Найдите косинус угла между плоскостью α  и плоскостью основания пирамиды.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: (SCD ),  (ABC ),  α.  Прямые CD,  AB  и MN  — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как AB ∥ CD,  то имеем: MN  ∥ AB ∥CD.

Тогда △SMN   ∼ △SCD    ⇒

SM-=  SN-= MN--= MN-- = 1
SC    SD   CD     AB    5

Отсюда следует, что SM  :MC = SN :ND  = 1:4.

PIC

б) Пусть AB = BM = AN  = 5x,  MN  =x.

Пусть O  — точка пересечения диагоналей AC  и BD.  Так как пирамида правильная, то SO  — высота этой пирамиды.

В плоскости SAC  проведем MM1  ∥SO.  Тогда M1  — проекция точки M  на плоскость ABC.

В плоскости SBD  проведем NN1  ∥SO.  Тогда N1  — проекция точки N  на плоскость ABC.

Значит, четырехугольник ABM  N
     1 1  — проекция сечения ABMN  на плоскость ABC.

Если φ  — угол между плоскостями ABM  и ABC,  то

       S
cosφ = SABM1N1-
        ABMN

Рассмотрим ABMN.  Это равнобедренная трапеция. Пусть h  — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 5x  и катетами h  и 2x.  Следовательно, по теореме Пифагора:

h2 = (5x)2 − (2x)2 = 21x2 ⇒ h= x√21

Значит, площадь сечения равна

S      = x+-5x-⋅x√21-= 3x2√21
 ABMN      2

По теореме о пропорциональных отрезках CM1 :M1O = CM  :MS  =4 :1.  Аналогично DN1  :N1O = 4:1.  Пусть AC  =BD  = 10z.  Тогда M1O = N1O = z,  AO = BO  =5z.

Диагонали AM1  и BN1  четырехугольника ABM1N1  взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

          1            1            2
SABM1N1 = 2 ⋅AM1 ⋅BN1 = 2 ⋅6z⋅6z = 18z

Но по свойству квадрата

       √ -
10z =5x  2  ⇒   z = √x
                     2

Отсюда площадь проекции сечения равна

             (   )2
SABM1N1 = 18⋅ √x-   =9x2
                2

Тогда искомый косинус равен

                    2    ∘ --
cosφ= SABM1N1-= --92x√-- =   3.
       SABMN    3x  21     7
Ответ:

б) ∘ --
  3
  7

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125871

В правильной треугольной пирамиде SABC  сторона основания AB  равна 3, а боковое ребро SA  равно 5. На ребре AC  отмечена точка M,  а на продолжении ребра BC  за точку C  — точка N  так, что CM  =CN  = 1.

a) Докажите, что сечение пирамиды SABC  плоскостью SNM  является равнобедренным треугольником.

6) Найдите площадь сечения пирамиды SABC  плоскостью SNM.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Пусть прямая NM  пересекает ребро AB  в точке K.  Тогда △SMK  — сечение пирамиды плоскостью SMN.  Докажем, что SM  = SK.

Применим теорему Менелая для △ABC  и прямой NK :

BK-- AM-- CN--         BK-- 2 1          BK--  2
KA  ⋅MC  ⋅NB  = 1  ⇔   KA  ⋅1 ⋅4 = 1 ⇔   KA  = 1

Учитывая также, что BK  +KA  = BA = 3,  получаем, что BK = 2,  KA  = 1.

Так как пирамида правильная, то боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Следовательно, ∠SAK  = ∠SCM  = α.

Тогда △SAK  = △SCM  по двум сторонам и углу между ними: SA = SC =5,  AK  = CM = 1,  ∠SAK  = ∠SCM  = α.

Отсюда следует, что SK = SM.

PIC

б) Из теоремы косинусов для △SCA  следует, что

       SC2+-AC2-−-SA2-  52+-32−-52-  3-
cosα =    2⋅SC ⋅AC    =   2⋅5⋅3   = 10

Применим теорему косинусов для △SCM   :

   2    2      2                   2   2         3
SM  = SC  +MC   − 2⋅SC ⋅MC ⋅cosα= 5 + 1 − 2⋅5⋅1⋅ 10-= 23

Так как △ABC  — правильный, то ∠MAK   = 60∘.

Применим теорему косинусов для △MAK   :

MK2  = MA2 + KA2 − 2⋅MA  ⋅KA ⋅cos60∘ =22+ 12− 2⋅2⋅1 ⋅ 1= 3
                                                    2

Рассмотрим △SMK.  Проведем высоту SH.  Тогда она является и медианой, следовательно, MH  = 1MK.
      2

PIC

По теореме Пифагора для △SHM   :

                                        √ --
SH2  =SM2  − MH2 = 23− 3 = 89  ⇒   SH = --89
                       4   4              2

Следовательно, площадь сечения равна

                      √ --      √---
SSMK = 1 ⋅SH  ⋅MK  =  1⋅--89⋅√3 = -267.
       2            2  2         4
Ответ:

б) √---
-267-
 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125873

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD  известно, что AB = 2.  Через точку O  пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC  провели плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершины B  и D.

б) В каком отношении плоскость α  делит ребро SC,  считая от вершины S,  если площадь сечения равна √ -
  3?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Прямая SC  перпендикулярна плоскости α,  если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку O  и перпендикулярные SC.

Так как пирамида правильная, то SO  — ее высота, AC ⊥ BD.  Тогда по теореме о трех перпендикулярах SC ⊥ BD.  Так как O ∈ BD,  то BD  ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в △SOC  высоту OK,  то есть OK  ⊥SC.  Тогда △BKD  — сечение пирамиды плоскостью α.

PIC

б) Требуется найти SK :KC.

По доказанному в пункте а) имеем: BD  ⊥ SC,  BD  ⊥ SO.  Следовательно, BD  ⊥ (SOC ).  Тогда BD  ⊥ OK.

Следовательно, площадь сечения равна

       1
SBKD = 2 ⋅BD  ⋅OK

Так как AB = 2  и ABCD  — квадрат, то       √ -
BD = 2  2,       √-
OC =  2.

Тогда площадь сечения равна

                           ∘ --
√3-= 1 ⋅2√2⋅OK   ⇔   OK  =   3
     2                       2

Перейдем в △SOC.  Пусть ∠KOC  = φ.  Тогда из △KOC  :

            √-
      OK--  -3-           ∘
cosφ = OC  =  2   ⇒   φ= 30

PIC

Тогда             √2-
KC  = 12OC = -2-.

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из прямого угла, имеем: ∠OSC  =φ = 30∘.  Следовательно,             √-
SC = 2OC = 2 2.

Тогда имеем:

                     √ -   √ -
                 √-  --2  3--2
SK  = SC − KC = 2 2−  2 =   2

Значит, искомое отношение равно

           √ - √ -
SK  :KC = 3--2:--2= 3 :1.
           2    2
Ответ:

б) 3 :1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125876

Плоскость α  перпендикулярна плоскости основания ABCD  правильной четырёхугольной пирамиды SABCD  и пересекает ребро SA  в точке K.  Сечение пирамиды плоскостью α  является правильным треугольником площадью  √ -
2  3.

а) Докажите, что плоскость α  перпендикулярна прямой AC.

б) В каком отношении точка K  делит ребро SA,  считая от точки S,  если объём пирамиды равен  √ -
36  6?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Проведём KK1  параллельно SO,  тогда KK1 ⊥ (ABC ).  Здесь SO  — высота пирамиды, при этом так как SABCD  — правильная, то O  — точка пересечения диагоналей основания ABCD.  Так как по условию α⊥ (ABC ),  то прямая KK1,  проходящая через точку K  и перпендикулярная (ABC ),  лежит в плоскости α.

Далее, плоскости α  и (ABC )  имеют общую точку K1.  Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая LP,  где L,  P  — точки пересечения со сторонами AB  и AD  основания соответственно.

Так как KK1  перпендикулярна плоскости основания, то KK1  перпендикулярна AC.  Покажем, что AC  перпендикулярна LP.

  • Из свойств квадрата ABCD  :  AC  — биссектриса угла BAD.
  • Из свойств правильного треугольника KLP  :  высота KK
   1  является и медианой, то есть LK1 =K1P.

Тогда AK1  — медиана и биссектриса в треугольнике ALP,  а значит, является и высотой. Тогда AC ⊥ LP,  AC ⊥ KK1,  то есть AC  перпендикулярна плоскости α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Распишем объёмы пирамид KALP  и SABCD  :

        1
VKALP = 3 ⋅KK1 ⋅SALP

VSABCD = 1⋅SO ⋅SABCD
         3
VKALP--= KK1- ⋅ SALP-
VSABCD    SO   SABCD

Выразим нужные отношения через AK-.
AS  Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники AKK1  и ASO.

Запишем отношение подобия:

AK- = KK1- = AK1-
AS     SO    AO

Найдем отношение площадей:

        1
SALP    2 ⋅AK1 ⋅LP    AK1  LP    1  AK1  LP
SABCD-= 1----------= AC--⋅BD- = 2 ⋅ AO-⋅BD-
        2 ⋅AC ⋅BD

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников AK1L  и AOB  имеем:

AK1   LK1    1LP    LP
AO--= -BO-=  21----= BD-
             2BD

Тогда получаем:

                              (     )2    (   )3
VKALP--= KK1- ⋅-SALP-= AK- ⋅ 1⋅ AK1-  = 1  AK-
VSABCD    SO   SABCD    AS  2   AO      2   AS

Чтобы найти VKALP,  запишем площадь правильного треугольника KLP.  Из свойств правильного треугольника известно, что       √3-
KK1 = -2-LP.  Тогда имеем:

                         √-      √-
       1            1    -3-     -3-  2   √-
SKLP = 2 ⋅LP ⋅KK1 = 2LP ⋅ 2 LP = 4 LP  = 2 3

Отсюда получаем, что LP = 2√2,  KK  = √6.
   1

Из прямоугольного равнобедренного треугольника ALP :

  2     2     2     2
LP  = AP + AL  = 2AP  = 8

Отсюда AP = 2.  Найдем объем пирамиды KALP  :

                         √-           √-
VKALP = 1 ⋅KK1 ⋅SALP = 1⋅ 6 ⋅ 1⋅2⋅2 = 2-6
        3              3     2        3

Тогда имеем:

           √-
 VKALP    236   1 (AK )3
VSABCD-= 36√6-= 2  AS-
(   )3              (  )3
 AK-   = -4-- = 1-=   1
 AS      3⋅36   27    3

Откуда получаем, что AK-   1
AS =  3.  Отсюда если AK = x,  то AS = 3x  и KS  =3x − x = 2x.

Тогда искомое отношение равно

SK- = 2x = 2.
KA    x    1
Ответ:

б) 2 :1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125877

На ребрах BC,  AB  и AD  правильного тетраэдра ABCD  отмечены точки L,  M  и N  соответственно. Известно, что AM :MB  = BL :LC = AN :ND  = 1:4.

а) Докажите, что плоскость α,  проходящая через точки L,  M  и N,  делит ребро CD  в отношении 4:1,  считая от вершины C.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD  плоскостью α,  если AB = 10.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Так как AM  :MB  = AN :ND,  то по обратной теореме о пропорциональных отрезках MN  ∥BD.

Пусть плоскость сечения α  пересекает CD  в точке K.

PIC

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости (ABD ),  (CBD )  и (LMN  ).  Они пересекаются по прямым MN,  BD  и LK.  Так как MN  ∥BD,  то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

MN  ∥BD ∥ LK

Отсюда LK ∥BD.  Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

CK  :KD = CL :LB = 4:1

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 10.

Так как MN  ∥BD,  то △ AMN   ∼△ABD  по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем MN  :

   MN--= AM--= 1
   BD    AB    5
MN  = 1BD  = 10= 2
      5      5

Так как LK ∥ BD,  то △ CLK ∼ △CBD  по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем LK :

    LK-   CK-  4
    BD  = CD = 5
      4     4 ⋅10
LK  = 5BD = --5- = 8

Так как AN :ND  = AM  :MB = DK  :KC = BL :LC = 1 :4,  то имеем:

AM  = AN = BL = KD = 2
CL = CK = MB  = ND  =8

PIC

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно,                   ∘
∠MBL  = ∠NDK  = 60.

Получаем, что △ MBL  =△NDK  по двум сторонам и углу между ними: MB  = ND = 8,  BL  =KD  = 2,                    ∘
∠MBL  = ∠NDK   =60 .

Следовательно, ML  =NK.  Тогда так как MN  ∥LK,  MN  ⁄= LK,  то сечение MNKL  тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями MN  = 2  и LK  =8.

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для △ NKD  :

NK2  = ND2 + KD2 − 2⋅ND ⋅KD  ⋅cos∠NDK
                             1
         NK2 = 64+ 4− 2⋅8⋅2⋅ 2
                            √--
       NK2  =52   ⇒   NK = 2 13

Найдем площадь трапеции MNKL.  Для этого проведем высоты MR  и NT.

PIC

Так как трапеция равнобедренная, то имеем:

           LK − MN    8− 2
LR = T K = ----2----= --2- = 3.

Тогда по теореме Пифагора для △ MLR  :

       LM2  = MR2 + LR2
   2                       √ --
MR   =52 − 9 = 43  ⇒   MR =   43

Отсюда площадь трапеции равна

SMNKL  = MN--+LK--⋅MR =  2+-8⋅√43 = 5√43.
             2            2
Ответ:

б)  √ --
5  43

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125879

На ребрах BC,  AB  и AD  правильного тетраэдра ABCD  отмечены точки L,  M  и N  соответственно. Известно, что AM :MB  = BL :LC = AN :ND  = 1:2.

а) Докажите, что плоскость α,  проходящая через точки L,  M  и N,  делит ребро CD  в отношении 2:1,  считая от вершины C.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD  плоскостью α,  если AB = 6.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Так как AM  :MB  = AN :ND,  то по обратной теореме о пропорциональных отрезках MN  ∥BD.

Пусть плоскость сечения α  пересекает CD  в точке K.

PIC

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости (ABD ),  (CBD )  и (LMN  ).  Они пересекаются по прямым MN,  BD  и LK.  Так как MN  ∥BD,  то линии пересечения плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

MN  ∥BD ∥ LK

Отсюда LK ∥BD.  Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

CK  :KD = CL :LB = 2:1

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 6.

Так как MN  ∥BD,  то △ AMN   ∼△ABD  по двум углам.

Запишем отношение подобия:

  MN--= AM--= 1
  BD    AB    3
MN  = 1BD = 6 = 2
      3     3

Так как LK ∥ BD,  то △ CLK ∼ △CBD  по двум углам.

Запишем отношение подобия:

   LK-   CK-  2
   BD  = CD = 3
     2      2⋅6
LK = 3BD  = -3--= 4

Так как AN :ND  = AM  :MB = DK  :KC = BL :LC = 1 :2,  то имеем:

AM  = AN = BL = KD = 2
CL = CK = MB  = ND  =4

PIC

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно                   ∘
∠MBL  = ∠NDK   =60 .

Получаем, что △ MBL  =△NKD  по двум сторонам и углу между ними: MB  = ND = 4,  BL  =KD  = 2,                    ∘
∠MBL  = ∠NDK   =60 .

Следовательно, ML  =NK.  Тогда так как MN  ∥LK,  MN  ⁄= LK,  то сечение MNKL  тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями MN  = 2  и LK  =4.

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для △ NKD  :

NK2  = ND2 + KD2 − 2⋅ND ⋅KD  ⋅cos∠NDK
                             1
         NK2 = 16+ 4− 2⋅4⋅2⋅ 2
                            √ -
        NK2 = 12  ⇒   NK  = 2 3

Найдем площадь трапеции MNKL.  Для этого проведем высоты MR  и NT.

PIC

Так как трапеция равнобедренная, то

           LK − MN    4− 2
LR = T K = ----2----= --2- = 1.

Тогда по теореме Пифагора для △ MLR  :

       LM2  = MR2 + LR2
MR2  =12 − 1 = 11  ⇒   MR = √11-

Отсюда площадь трапеции равна

SMNKL  = MN--+LK--⋅MR =  2+-4⋅√11 = 3√11.
             2            2
Ответ:

б)  √ --
3  11

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125894

Дана правильная призма ABCA1B1C1.  Точка K  лежит на ребре AB  и делит его в отношении AK :KB  = 3:1.  Точка L  — середина ребра BC.  Плоскость α  проходит через точки K  и L  и пересекает ребра B1C1  и A1B1  в точках M  и N  соответственно. Известно, что B1M :MC1 = 3 :1.

а) Докажите, что MN  ⊥ AB.

б) Найдите угол между плоскостью α  и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Проведем высоту CH  в основании ABC.  Так как призма правильная, то основания являются равносторонними треугольниками. Следовательно, CH  также является медианой.

Пусть сторона основания равна 4x.  Тогда BH = HA  =2x  и так как AK  :KB = 3:1,  то AK = 3x,  KB  = x.  Отсюда KH = KB  = x.

В треугольнике BCH  точка K  — середина HB,  точка L  — середина BC.  Следовательно, KL  — средняя линия, то есть KL ∥CH  и KL ⊥ AB.

Если параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны. Плоскость α  пересекает параллельные плоскости (ABC )  и (A1B1C1)  по прямым KL  и MN,  значит, KL  ∥MN.  Так как KL  ⊥AB,  то отсюда MN  ⊥ AB.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Проведем высоту C1H1  в основании A1B1C1.  Так как MN  ⊥ AB,  AB ∥ A1B1,  то MN  ⊥A1B1.  Тогда MN  ∥ C1H  и по теореме о пропорциональных отрезках имеем:

B1N- = B1M-= 3
NH1    MC1   1

Так как B1H1 = H1A1 = 2x,  то B1N = 3B1H1 = 3x.
      4        2

PIC

Так как призма правильная, то BB1 ⊥ (ABC ),  в частности, BB1 ⊥ KL.  Тогда KL ⊥ AB,  KL ⊥ BB1,  следовательно, KL ⊥ (ABB1 ).  Отсюда KL  ⊥KN.

Заметим, что KL  — прямая пересечения плоскостей α  и (ABC ),  NK ⊥ KL  и AK ⊥ KL.  Следовательно, угол между данными плоскостями равен углу ∠AKN.

Рассмотрим грань ABB  A .
    1 1  Так как по условию все ребра призмы равны, то AA1 = BB1 = 4x.

PIC

Проведем NT  ⊥AB.  Тогда BT = B1N = 3x.
            2  Отсюда KT = BT − BK  = 3x− x=  x.
                2       2

Так как NT = BB  = 4x,
        1  то из прямоугольного треугольника KT N  получаем:

tg∠T KN  = NT-= 4xx = 8
          KT    2
∠AKN  = ∠TKN  = arctg8

Таким образом, искомый угол между плоскостью α  и плоскостью основания призмы равен arctg 8.

Ответ:

б) arctg8

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126157

Плоскость α  перпендикулярна плоскости основания ABCD  правильной четырёхугольной пирамиды SABCD  и пересекает ребро SA  в точке K.  Сечение пирамиды плоскостью α  является правильным треугольником площадью  √ -
4  3.

а) Докажите, что плоскость α  перпендикулярна прямой AC.

б) В каком отношении точка K  делит ребро SA,  считая от точки S,  если объём пирамиды равен  √ -
18  3?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Проведём KK1  параллельно SO,  тогда KK1 ⊥ (ABC ).  Здесь SO  — высота пирамиды, при этом так как SABCD  — правильная, то O  — точка пересечения диагоналей основания ABCD.  Так как по условию α⊥ (ABC ),  то прямая KK1,  проходящая через точку K  и перпендикулярная (ABC ),  лежит в плоскости α.

Далее, плоскости α  и (ABC )  имеют общую точку K1.  Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая LP,  где L,  P  — точки пересечения со сторонами AB  и AD  основания соответственно.

Так как KK1  перпендикулярна плоскости основания, то KK1  перпендикулярна AC.  Покажем, что AC  перпендикулярна LP.

  • Из свойств квадрата ABCD  :  AC  — биссектриса угла BAD.
  • Из свойств правильного треугольника KLP  :  высота KK
   1  является и медианой, то есть LK1 =K1P.

Тогда AK1  — медиана и биссектриса в треугольнике ALP,  а значит, является и высотой. Тогда AC ⊥ LP,  AC ⊥ KK1,  то есть AC  перпендикулярна плоскости α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Распишем объёмы пирамид KALP  и SABCD  :

        1
VKALP = 3 ⋅KK1 ⋅SALP

VSABCD = 1⋅SO ⋅SABCD
         3
VKALP--= KK1- ⋅ SALP-
VSABCD    SO   SABCD

Выразим нужные отношения через AK-.
AS  Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники AKK1  и ASO.

Запишем отношение подобия:

AK- = KK1- = AK1-
AS     SO    AO

Найдем отношение площадей:

        1
SALP    2 ⋅AK1 ⋅LP    AK1  LP    1  AK1  LP
SABCD-= 1----------= AC--⋅BD- = 2 ⋅ AO-⋅BD-
        2 ⋅AC ⋅BD

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников AK1L  и AOB  имеем:

AK1   LK1    1LP    LP
AO--= -BO-=  21----= BD-
             2BD

Тогда получаем:

                              (     )2    (   )3
VKALP--= KK1- ⋅-SALP-= AK- ⋅ 1⋅ AK1-  = 1  AK-
VSABCD    SO   SABCD    AS  2   AO      2   AS

Чтобы найти VKALP,  запишем площадь правильного треугольника KLP.  Из свойств правильного треугольника известно, что       √3-
KK1 = -2-LP.  Тогда имеем:

                         √-      √-
       1            1    -3-     -3-  2   √-
SKLP = 2 ⋅LP ⋅KK1 = 2LP ⋅ 2 LP = 4 LP  = 4 3

Отсюда получаем, что LP = 4,  KK  = 2√3.
   1

Из прямоугольного равнобедренного треугольника ALP :

   2     2    2      2
LP  = AP  + AL  =2AP  = 16

Отсюда AP = 2√2.  Найдем объем пирамиды KALP  :

                          √-     √ -  √-   √ -
VKALP = 1 ⋅KK1 ⋅SALP = 1⋅2 3 ⋅ 1⋅2 2⋅2 2=  8-3-
        3              3      2             3

Тогда имеем:

           √-
 VKALP    833   1 (AK )3
VSABCD-= 18√3-= 2  AS-
   (    )3       ( )3
    AK-   = -8 =  2
     AS     27    3

Откуда получаем, что AK-  2
AS = 3 .  Отсюда если AK = 2x,  то AS =3x  и KS  =3x − 2x = x.

Тогда искомое отношение равно

SK- = x- = 1.
KA    2x   2
Ответ:

б) 1 :2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126159

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD  известно, что AB = 1.  Через точку O  пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC  провели плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершины B  и D.

б) В каком отношении плоскость α  делит ребро SC,  считая от вершины S,  если площадь сечения равна √-
-2?
3

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Прямая SC  перпендикулярна плоскости α,  если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку O  и перпендикулярные SC.

Так как пирамида правильная, то SO  — ее высота, AC ⊥ BD.  Тогда по теореме о трех перпендикулярах SC ⊥ BD.  Так как O ∈ BD,  то BD  ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в △SOC  высоту OK,  то есть OK  ⊥SC.  Тогда △BKD  — сечение пирамиды плоскостью α.

PIC

б) Требуется найти SK :KC.

По доказанному в пункте а) имеем: BD  ⊥ SC,  BD  ⊥ SO.  Следовательно, BD  ⊥ (SOC ).  Тогда BD  ⊥ OK.

Следовательно, площадь сечения равна

       1
SBKD = 2 ⋅BD  ⋅OK

Так как AB = 1  и ABCD  — квадрат, то      √ -
BD =   2,       √2-
OC = -2-.

Тогда площадь сечения равна

√2   1 √ -                2
3--= 2 ⋅ 2⋅OK   ⇔   OK  = 3

Перейдем в △SOC.

PIC

По теореме Пифагора для треугольника KOC  :

       KC2  =OC2 − OK2

KC2 = 1 − 4= -1   ⇒   KC = -1√--
      2   9  18            3 2

Найдем SK  через свойство высоты из вершины прямого угла:

   2
OK  = SK ⋅KC
 4        1
 9 = SK ⋅3√2
        √-
  SK = 4-2-
        3

Значит, искомое отношение равно

           √-
SK :KC  = 4-2-:-1√--= 8:1.
           3   3 2
Ответ:

б) 8 :1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126160

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD  известно, что AB = 4.  Через точку O  пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC  провели плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершины B  и D.

б) В каком отношении плоскость α  делит ребро SC,  считая от вершины S,  если площадь сечения равна  √ --
2  14?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Прямая SC  перпендикулярна плоскости α,  если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку O  и перпендикулярные SC.

Так как пирамида правильная, то SO  — ее высота, AC ⊥ BD.  Тогда по теореме о трех перпендикулярах SC ⊥ BD.  Так как O ∈ BD,  то BD  ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в △SOC  высоту OK,  то есть OK  ⊥SC.  Тогда △BKD  — сечение пирамиды плоскостью α.

PIC

б) Требуется найти SK :KC.

По доказанному в пункте а) имеем: BD  ⊥ SC,  BD  ⊥ SO.  Следовательно, BD  ⊥ (SOC ).  Тогда BD  ⊥ OK.

Следовательно, площадь сечения равна

       1
SBKD = 2 ⋅BD  ⋅OK

Так как AB = 4  и ABCD  — квадрат, то       √ -
BD = 4  2,        √-
OC = 2 2.

Тогда площадь сечения равна

 √--      √-                √ -
2 14=  1⋅4 2 ⋅OK    ⇔   OK =   7
       2

Перейдем в △SOC.

PIC

По теореме Пифагора для треугольника KOC  :

     KC2  =OC2 − OK2

KC2  =8 − 7 = 1 ⇒   KC = 1

Найдем SK  через свойство высоты из вершины прямого угла:

    OK2 = SK ⋅KC

7= SK ⋅1  ⇒   SK  = 7

Значит, искомое отношение равно

SK :KC = 7:1.
Ответ:

б) 7 :1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126161

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD  с основанием ABCD.  Плоскость α  проходит через ребро AB  и пересекает ребра SC  и SD  в точках M  и N  соответственно. Известно, что AB = AN = BM  = 4MN.

а) Докажите, что SM :MC  = SN :ND  = 1:3.

б) Найдите косинус угла между плоскостью α  и плоскостью основания пирамиды.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: (SCD ),  (ABC ),  α.  Прямые CD,  AB  и MN  — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как AB ∥ CD,  то имеем: MN  ∥ AB ∥CD.

Тогда △SMN   ∼ △SCD    ⇒

SM-=  SN-= MN--= MN-- = 1
SC    SD   CD     AB    4

Отсюда следует, что SM  :MC = SN :ND  = 1:3.

PIC

б) Пусть AB = BM = AN  = 4x,  MN  =x.

Пусть O  — точка пересечения диагоналей AC  и BD.  Так как пирамида правильная, то SO  — высота этой пирамиды.

В плоскости SAC  проведем MM1  ∥SO.  Тогда M1  — проекция точки M  на плоскость ABC.

В плоскости SBD  проведем NN1  ∥SO.  Тогда N1  — проекция точки N  на плоскость ABC.

Значит, четырехугольник ABM  N
     1 1  — проекция сечения ABMN  на плоскость ABC.

Если φ  — угол между плоскостями ABM  и ABC,  то

       S
cosφ = SABM1N1-
        ABMN

Рассмотрим ABMN.  Это равнобедренная трапеция. Пусть h  — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 4x  и катетами h  и 3x .
 2  Следовательно, по теореме Пифагора:

                                √ --
 2     2  ( 3x)2  55x2          --55-
h = (4x)−   2   =   4   ⇒   h =  2  x

Значит, площадь сечения равна

               √ --    √ --
         x+-4x---55   5--55 2
SABMN =    2  ⋅ 2  x=   4  x

По теореме о пропорциональных отрезках CM  :M  O = CM :MS  =3 :1.
   1   1  Аналогично DN1  :N1O = 3:1.  Пусть AC  =BD  = 8z.  Тогда M1O = N1O = z,  AO = BO  =4z.

Диагонали AM1  и BN1  четырехугольника ABM1N1  взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

          1            1         25 2
SABM1N1 = 2 ⋅AM1 ⋅BN1 = 2 ⋅5z ⋅5z = 2-z

Но по свойству квадрата

      √-           x
8z = 4x 2 ⇒   z = √--
                   2

Отсюда площадь проекции сечения равна

          25 (  x )2  25
SABM1N1 = -2 ⋅ √2-  = -4 x2

Тогда искомый косинус равен

      SABM  N    25x2     5    √55
cosφ = -SABM1N-1= 5√455-2 = √55 = 11-.
                  4 x
Ответ:

б) √--
-55-
11

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126162

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD  с основанием ABCD.  Плоскость α  проходит через ребро AB  и пересекает ребра SC  и SD  в точках M  и N  соответственно. Известно, что AB = AN = BM  = 3MN.

а) Докажите, что SM :MC  = SN :ND  = 1:2.

б) Найдите косинус угла между плоскостью α  и плоскостью основания пирамиды.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: (SCD ),  (ABC ),  α.  Прямые CD,  AB  и MN  — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как AB ∥ CD,  то имеем: MN  ∥ AB ∥CD.

Тогда △SMN   ∼ △SCD    ⇒

SM-=  SN-= MN--= MN-- = 1
SC    SD   CD     AB    3

Отсюда следует, что SM  :MC = SN :ND  = 1:2.

PIC

б) Пусть AB = BM = AN  = 3x,  MN  =x.

Пусть O  — точка пересечения диагоналей AC  и BD.  Так как пирамида правильная, то SO  — высота этой пирамиды.

В плоскости SAC  проведем MM1  ∥SO.  Тогда M1  — проекция точки M  на плоскость ABC.

В плоскости SBD  проведем NN1  ∥SO.  Тогда N1  — проекция точки N  на плоскость ABC.

Значит, четырехугольник ABM  N
     1 1  — проекция сечения ABMN  на плоскость ABC.

Если φ  — угол между плоскостями ABM  и ABC,  то

       S
cosφ = SABM1N1-
        ABMN

Рассмотрим ABMN.  Это равнобедренная трапеция. Пусть h  — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 3x  и катетами h  и x.  Следовательно, по теореме Пифагора:

h2 = (3x)2− x2 = 8x2 ⇒  h =2√2x

Значит, площадь сечения равна

S     = x-+-3x-⋅2√2x = 4√2x2
 ABMN     2

По теореме о пропорциональных отрезках CM1 :M1O = CM  :MS  =2 :1.  Аналогично DN1  :N1O = 2:1.  Пусть AC  =BD  = 6z.  Тогда M1O = N1O = z,  AO = BO  =3z.

Диагонали AM1  и BN1  четырехугольника ABM1N1  взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

          1             1          2
SABM1N1 = 2 ⋅AM1 ⋅BN1 = 2 ⋅4z⋅4z =8z

Но по свойству квадрата

      √-
6z = 3x 2 ⇒   z = √x-
                   2

Отсюда площадь проекции сечения равна

           (    )2
SABM1N1 = 8 ⋅ √x  = 4x2
              2

Тогда искомый косинус равен

       S          4x2     1
cosφ = SABM1N1-= -√--2-= √-.
         ABMN    4 2x     2
Ответ:

б) 1√--
 2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#127048

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  отметили точки M  и K  на ребрах AA1  и A1B1  соответственно. Известно, что AM = 3MA1,  A1K  = KB1.  Через точки M  и K  провели плоскость α  перпендикулярно грани ABB1A1.

а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершину C1.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1  плоскостью α,  если все ребра призмы равны 12.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Так как призма правильная, то A1B1C1  — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана C1K  является также и высотой треугольника A1B1C1  . Отсюда KC1 ⊥ A1B1.

Также так как призма правильная, то KC1 ⊥ AA1.

Получили, что KC1  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (ABB1 ),  следовательно, KC1 ⊥ (ABB1 ).

Так как α ⊥ (ABB1 ),  K ∈ α  и KC1 ⊥ (ABB1 ),  то KC1 ⊂ α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Выше мы доказали, что KC1  ⊥(ABB1 ).  Но тогда KC1 ⊥ MK,  следовательно, MKC1  — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

   1
S = 2MK ⋅C1K

Так как все ребра призмы равны 12, то A1K = KB1 = 6.  Далее, из того, что AM  :MA1 = 3 :1,  получаем AM  =9,  MA1 = 3.

Тогда по теореме Пифагора для △ A MK  :
   1

          2      2     2
      MK   = A1M  + A1K     √ -
MK2  =9 +36 = 45   ⇒   MK  =3  5

По теореме Пифагора для △ A1C1K :

        C1K2 = C1A21− A1K2
C1K2 = 144− 36= 108  ⇒   C1K = 6√3

Тогда искомая площадь равна

   1            1  √-  √ -   √--
S = 2 MK ⋅C1K = 2 ⋅3 5 ⋅6 3= 9 15.
Ответ:

б)  √ --
9  15

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127050

Плоскость α  перпендикулярна плоскости основания ABCD  правильной четырёхугольной пирамиды SABCD  и пересекает ребро SA  в точке K.  Сечение пирамиды плоскостью α  является правильным треугольником площадью  √ -
3  3.

а) Докажите, что плоскость α  перпендикулярна прямой AC.

б) В каком отношении точка K  делит ребро SA,  считая от точки S,  если объём пирамиды равен  √ -
36  6?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Проведём KK1  параллельно SO,  тогда KK1 ⊥ (ABC ).  Здесь SO  — высота пирамиды, при этом так как SABCD  — правильная, то O  — точка пересечения диагоналей основания ABCD.  Так как по условию α⊥ (ABC ),  то прямая KK1,  проходящая через точку K  и перпендикулярная (ABC ),  лежит в плоскости α.

Далее, плоскости α  и (ABC )  имеют общую точку K1.  Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая LP,  где L,  P  — точки пересечения со сторонами AB  и AD  основания соответственно.

Так как KK1  перпендикулярна плоскости основания, то KK1  перпендикулярна AC.  Покажем, что AC  перпендикулярна LP.

  • Из свойств квадрата ABCD  :  AC  — биссектриса угла BAD.
  • Из свойств правильного треугольника KLP  :  высота KK
   1  является и медианой, то есть LK1 =K1P.

Тогда AK1  — медиана и биссектриса в треугольнике ALP,  а значит, является и высотой. Тогда AC ⊥ LP,  AC ⊥ KK1,  то есть AC  перпендикулярна плоскости α.  Что и требовалось доказать.

PIC

б) Распишем объёмы пирамид KALP  и SABCD  :

        1
VKALP = 3 ⋅KK1 ⋅SALP

VSABCD = 1⋅SO ⋅SABCD
         3
VKALP--= KK1- ⋅ SALP-
VSABCD    SO   SABCD

Выразим нужные отношения через AK-.
AS  Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники AKK1  и ASO.

Запишем отношение подобия:

AK- = KK1- = AK1-
AS     SO    AO

Найдем отношение площадей:

        1
SALP    2 ⋅AK1 ⋅LP    AK1  LP    1  AK1  LP
SABCD-= 1----------= AC--⋅BD- = 2 ⋅ AO-⋅BD-
        2 ⋅AC ⋅BD

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников AK1L  и AOB  имеем:

AK1   LK1    1LP    LP
AO--= -BO-=  21----= BD-
             2BD

Тогда получаем:

                              (     )2    (   )3
VKALP--= KK1- ⋅-SALP-= AK- ⋅ 1⋅ AK1-  = 1  AK-
VSABCD    SO   SABCD    AS  2   AO      2   AS

Чтобы найти VKALP,  запишем площадь правильного треугольника KLP.  Из свойств правильного треугольника известно, что       √3-
KK1 = -2-LP.  Тогда имеем:

                         √-      √-
       1            1    -3-     -3-  2   √-
SKLP = 2 ⋅LP ⋅KK1 = 2LP ⋅ 2 LP = 4 LP  = 3 3

Отсюда получаем, что LP = 2√3,  KK  = 3.
   1

Из прямоугольного равнобедренного треугольника ALP :

   2     2    2      2
LP  = AP  + AL  =2AP  = 12

Отсюда AP = √6.  Найдем объем пирамиды KALP  :

        1             1    1 √ - √-
VKALP = 3 ⋅KK1 ⋅SALP = 3 ⋅3⋅2 ⋅ 6⋅ 6 = 3

Тогда имеем:

  -VKALP-  --3--  1 (AK-)3
  VSABCD = 36√6-= 2  AS
(    )3               (   )3
  AK-  = -3⋅√2-= -1√--=   1√--
  AS     36  6  6  6     6

Откуда получаем, что AK-= √1-.
AS     6  Отсюда если AK  =x,  то AS = x√6  и       √ -     (√ -  )
KS  =x  6− x=    6− 1 x.

Тогда искомое отношение равно

SK    (√6-− 1)x   √6− 1
KA-=  ---x-----= --1--.
Ответ:

б) (√-   )
  6− 1 :1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127057

На ребрах BC,  AB  и AD  правильного тетраэдра ABCD  отмечены точки L,  M  и N  соответственно. Известно, что AM :MB  = BL :LC = AN :ND  = 1:3.

а) Докажите, что плоскость α,  проходящая через точки L,  M  и N,  делит ребро CD  в отношении 3:1,  считая от вершины C.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD  плоскостью α,  если AB = 8.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Так как AM  :MB  = AN :ND,  то по обратной теореме о пропорциональных отрезках MN  ∥BD.

Пусть плоскость сечения α  пересекает CD  в точке K.

PIC

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости (ABD ),  (CBD )  и (LMN  ).  Они пересекаются по прямым MN,  BD  и LK.  Так как MN  ∥BD,  то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

MN  ∥BD ∥ LK

Отсюда LK ∥BD.  Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

CK  :KD = CL :LB = 3:1

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 8.

Так как MN  ∥BD,  то △ AMN   ∼△ABD  по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем MN  :

  MN--= AM--= 1
  BD    AB    4
MN  = 1BD = 8 = 2
      4     4

Так как LK ∥ BD,  то △ CLK ∼ △CBD  по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем LK :

   LK-   CK-  3
   BD  = CD = 4
     3      3⋅8
LK = 4BD  = -4--= 6

Так как AN :ND  = AM  :MB = DK  :KC = BL :LC = 1 :3,  то имеем:

AM  = AN = BL = KD = 2
CL = CK = MB  = ND  =6

PIC

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно,                   ∘
∠MBL  = ∠NDK  = 60.

Получаем, что △ MBL  =△NDK  по двум сторонам и углу между ними: MB  = ND = 6,  BL  =KD  = 2,                    ∘
∠MBL  = ∠NDK   =60 .

Следовательно, ML  =NK.  Тогда так как MN  ∥LK,  MN  ⁄= LK,  то сечение MNKL  тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями MN  = 2  и LK  =6.

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для △ NKD  :

NK2  = ND2 + KD2 − 2⋅ND ⋅KD  ⋅cos∠NDK
                             1
         NK2 = 36+ 4− 2⋅6⋅2⋅ 2
                            √ -
        NK2 = 28  ⇒   NK  = 2 7

Найдем площадь трапеции MNKL.  Для этого проведем высоты MR  и NT.

PIC

Так как трапеция равнобедренная, то имеем:

           LK − MN    6− 2
LR = T K = ----2----= --2- = 2.

Тогда по теореме Пифагора для △ MLR  :

       LM2  = MR2 + LR2
   2                        √-
MR   =28 − 4 = 24  ⇒   MR = 2 6

Отсюда площадь трапеции равна

SMNKL = MN--+-LK-⋅MR  = 2+-6 ⋅2√6-= 8√6.
            2             2
Ответ:

б)  √ -
8  6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#113002

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1,  точка M  — середина ребра CC1.  Плоскость α  проходит через точки B1,  A  и M.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α  является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью α  равна 18 и AB = 4.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники △ B1C1M  и △ ACM.  Их катеты CM  и C1M  равны, так как M  — середина CC1  по условию. Также равны катеты B1C1  и AC,  поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

PIC

Тогда △ B1C1M = △ACM  по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы AM  = B1M.  То есть треугольник B1MA  — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть BB1 =2h.  Тогда

  • по теореме Пифагора      ∘ ----------  √-------   √ -----
AB1 =  AB2 + BB21 = 16 +4h2 = 2 4+ h2
  •      √ --2------2  √-----2
AM =   AC  +CM   =  16+ h

Поскольку треугольник △ B1MA  — равнобедренный с основанием AB1,  то его высота MH  делит сторону AB
  1  пополам. То есть AH  = AB1-= √4-+h2
       2  .

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

      ∘ ----------  ∘ -------------  √ --   √-
MH  =   AM2 − AH2 =   16+ h2− 4− h2 =  12 = 2 3

Теперь запишем площадь S  сечения:

                √-  √ -----
S = MH--⋅AB1-= 2-3⋅2--4+-h2= 2∘12-+-3h2-
       2            2

По условию имеем:

pict

Тогда высота призмы равняется 2h,  то есть  √ --
2  23.

Ответ:

б)  √ --
2  23

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#113003

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1,  точка M  — середина ребра CC1.  Плоскость α  проходит через точки B1,  A  и M.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α  является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью α  равна 6 и AB  =2.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники △ B1C1M  и △ ACM.  Их катеты CM  и C1M  равны, так как M  — середина CC1  по условию. Также равны катеты B1C1  и AC,  поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

PIC

Тогда △ B1C1M = △ACM  по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы AM  = B1M.  То есть треугольник B1MA  — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть BB1 =2h.  Тогда

  • по теореме Пифагора      ∘ ----------  √------   √ -----
AB1 =  AB2 + BB21 = 4 +4h2 =2  1+ h2
  •      √ --2------2  √----2
AM =   AC  +CM   =  4+ h

Поскольку треугольник △ B1MA  — равнобедренный с основанием AB1,  то его высота MH  делит сторону AB
  1  пополам. То есть AH  = AB1-= √1-+h2.
       2

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

      ∘ ----------  ∘ ------------  √-
MH  =   AM2 − AH2 =   4+ h2− 1− h2 = 3

Теперь запишем площадь S  сечения:

               √ -  √-----
S = MH--⋅AB1-= --3⋅2-1+-h2 = ∘3-+3h2
        2           2

По условию имеем:

pict

Высота призмы равняется 2h,  то есть  √ --
2  11.

Ответ:

б)  √ --
2  11

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#127715

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.  Точка O  — центр грани A1B1C1D1.  Сечения параллелепипеда плоскостями (AOB )  и (BOC )  являются прямоугольниками, AB  и BC  — их меньшие стороны соответственно. Известно, что AB  и BC  в 2 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.

а) Докажите, что ABCD  — квадрат.

б) Найдите угол между прямой A1C  и плоскостью (BOC ).

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

а) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Тогда плоскость (AOB )  пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной AB.  Пусть данная прямая пересекает A1D1  и B1C1  в точках E  и F  соответственно.

Плоскость (BOC )  пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной BC.  Пусть данная прямая пересекает A1B1  и D1C1  в точках N  и M  соответственно.

Пусть AB  =x,  BC = y.  Тогда по условию AE = 2x,  BN  = 2y.

Так как EF  и MN  проходят через центр O  прямоугольника A1B1C1D1,  то имеем:

                         x
A1N = NB1 = D1M  = MC1 = 2
                        y
 A1E = ED1 = B1F =F C1 = 2

PIC

Так как ABCDA1B1C1D1  — прямоугольный параллелепипед, то его боковые ребра перпендикулярны основаниям. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AA1E  :

   2     2     2
AA 1+ A1E  = AE
   2     2  (y)2
AA 1 = (2x) − 2

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BB1N :

BB21 + B1N2 = BN2
            (  )2
BB21 = (2y)2− x2

Так как AA1 = BB1,  то получаем уравнение:

   2  (y)2      2 ( x)2
(2x) −  2  = (2y) −  2
     2  y2    2  x2
   4x − 4-= 4y − -4
(     )     (     )
 4 + 1 ⋅x2 =  4+ 1  ⋅y2
     4           4
   x2 = y2 ⇒   x =y

Получили, что AB  =BC,  значит, ABCD  — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

б) Опустим перпендикуляр A1H  на продолжение BN  за точку N.  Так как BN  и точка A1  лежат в плоскости (ABB1 ),  то A1H  также лежит в данной плоскости.

Заметим, что MN  ∥ BC,  то есть MN  ⊥ A1B1.  Также MN  ⊥ BB1,  так как BB1 ⊥ (A1B1C1).  Тогда прямая MN  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (ABB1 ),  следовательно, MN  ⊥ (ABB1 ).  Тогда MN  перпендикулярна любой прямой из плоскости (ABB1 ),  в частности MN  ⊥ A1H.

PIC

Получили, что A1H  ⊥BN,  A1H ⊥ MN,  следовательно, A1H ⊥ (BOC ).  То есть H  — проекция точки A1  на плоскость (BOC ),  тогда угол между прямой A1C  и плоскостью (BOC )  равен углу ∠A1CH.  Найдем его из прямоугольного треугольника A1CH.

Найдем A H.
 1  Из пункта а) имеем:

   2    2  x2   15x2
BB 1 =4x  − 4 =  4
           √15x
     BB1 = --2--

△ A1HN  ∼ BB1N  по двум углам: ∠A1NH  =∠BNB1  как вертикальные,                     ∘
∠A1HN  = ∠BB1N  = 90.

Запишем отношение подобия:

     A1H-=  A1N-
     BB1    NB
             x
     -A√1H- = 2-
      -15x-  2x
      √2--
      --15x- x   √ --
A1H = --2--⋅2-= --15x-
         2x       8

По формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда:

     2     2    2     2
 A1C  = AA 1+ AD  +AB
   2   15x2-   2  2   23x2
A1C =   4  + x +x  =  4
             √23x
       A1C = --2--

Тогда из прямоугольного треугольника A1CH  имеем:

                  √15x
            A1H   --8--   √15-
sin ∠A1CH  = A1C-= √23x- = 4√23-
                  --2--
                    √ --
      ∠A1CH  = arcsin -√15-
                    4 23
Ответ:

     √--
arcsin √15--
     4 23

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!