.00 №14 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная призма 
Точка 
лежит на ребре 
и делит
его в отношении 
Точка 
— середина ребра 
Плоскость 
проходит через точки 
и 
и пересекает ребра 
и 
в точках 
и
соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол между плоскостью 
и плоскостью основания призмы, если
все рёбра призмы равны.
Источники:
а) Проведем высоту 
в основании 
Так как призма правильная, то
основания являются равносторонними треугольниками. Следовательно, 
также является медианой.
Пусть сторона основания равна 
Тогда 
и так как
то 
Отсюда 
В треугольнике 
точка 
— середина 
точка 
— середина 
Следовательно, 
— средняя линия, то есть 
и 
Если параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии
пересечения параллельны. Плоскость 
пересекает параллельные плоскости
и 
по прямым 
и 
значит, 
Так как
то отсюда 
Что и требовалось доказать.
б) Проведем высоту 
в основании 
Так как 
то 
Тогда 
и по теореме о пропорциональных
отрезках имеем:
Так как 
то 
Так как призма правильная, то 
в частности, 
Тогда 
следовательно, 
Отсюда
Заметим, что 
— прямая пересечения плоскостей 
и 
и 
Следовательно, угол между данными плоскостями равен углу
Рассмотрим грань 
Так как по условию все ребра призмы равны, то
Проведем 
Тогда 
Отсюда 
Так как 
то из прямоугольного треугольника 
получаем:
Таким образом, искомый угол между плоскостью 
и плоскостью основания
призмы равен 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
