.00 №14 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная четырехугольная пирамида 
с основанием 
Плоскость 
проходит через ребро 
и пересекает ребра 
и 
в точках
и 
соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между плоскостью 
и плоскостью основания
пирамиды.
Источники:
а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: 
Прямые 
и 
— их линии пересечения. Тогда эти прямые либо
пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как 
то
имеем: 
Тогда 
Отсюда следует, что 
б) Пусть 
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
Так как пирамида
правильная, то 
— высота этой пирамиды.
В плоскости 
проведем 
Тогда 
— проекция точки 
на
плоскость 
В плоскости 
проведем 
Тогда 
— проекция точки 
на
плоскость 
Значит, четырехугольник 
— проекция сечения 
на плоскость
Если 
— угол между плоскостями 
и 
то
Рассмотрим 
Это равнобедренная трапеция. Пусть 
— ее высота.
Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 
и катетами 
и
Следовательно, по теореме Пифагора:
Значит, площадь сечения равна
По теореме о пропорциональных отрезках 
Аналогично 
Пусть 
Тогда 
Диагонали 
и 
четырехугольника 
взаимно
перпендикулярны, следовательно, его площадь равна
Но по свойству квадрата
Отсюда площадь проекции сечения равна
Тогда искомый косинус равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
