.00 №14 из ЕГЭ 2025

а) Проведём параллельно тогда Здесь — высота пирамиды, при этом так как — правильная, то — точка пересечения диагоналей основания Так как по условию то прямая проходящая через точку и перпендикулярная лежит в плоскости

Далее, плоскости и имеют общую точку Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая где — точки пересечения со сторонами и основания соответственно.

Так как перпендикулярна плоскости основания, то перпендикулярна Покажем, что перпендикулярна

• Из свойств квадрата — биссектриса угла
• Из свойств правильного треугольника высота является и медианой, то есть

Тогда — медиана и биссектриса в треугольнике а значит, является и высотой. Тогда то есть перпендикулярна плоскости Что и требовалось доказать.

б) Распишем объёмы пирамид и

Выразим нужные отношения через Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники и

Запишем отношение подобия:

Найдем отношение площадей:

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников и имеем:

Тогда получаем:

Чтобы найти запишем площадь правильного треугольника Из свойств правильного треугольника известно, что Тогда имеем:

Отсюда получаем, что

Из прямоугольного равнобедренного треугольника

Отсюда Найдем объем пирамиды

Тогда имеем:

Откуда получаем, что Отсюда если то и

Тогда искомое отношение равно