.00 №14 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед 
Точка 
— центр грани
Сечения параллелепипеда плоскостями 
и 
являются
прямоугольниками, 
и 
— их меньшие стороны соответственно.
Известно, что 
и 
в 2 раза меньше соответственных больших сторон
прямоугольников.
а) Докажите, что 
— квадрат.
б) Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
Источники:
а) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Тогда плоскость 
пересекает плоскость верхнего основания по прямой,
параллельной 
Пусть данная прямая пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Плоскость 
пересекает плоскость верхнего основания по прямой,
параллельной 
Пусть данная прямая пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Пусть 
Тогда по условию 
Так как 
и 
проходят через центр 
прямоугольника 
то имеем:
Так как 
— прямоугольный параллелепипед, то его
боковые ребра перпендикулярны основаниям. Тогда по теореме Пифагора для
прямоугольного треугольника 
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Так как 
то получаем уравнение:
Получили, что 
значит, 
— прямоугольник с равными
сторонами, то есть квадрат.
б) Опустим перпендикуляр 
на продолжение 
за точку 
Так как
и точка 
лежат в плоскости 
то 
также лежит в данной
плоскости.
Заметим, что 
то есть 
Также 
так как
Тогда прямая 
перпендикулярна двум пересекающимся
прямым из плоскости 
следовательно, 
Тогда
перпендикулярна любой прямой из плоскости 
в частности
Получили, что 
следовательно, 
То
есть 
— проекция точки 
на плоскость 
тогда угол между прямой
и плоскостью 
равен углу 
Найдем его из прямоугольного
треугольника 
Найдем 
Из пункта а) имеем:
по двум углам: 
как вертикальные,
Запишем отношение подобия:
По формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда:
Тогда из прямоугольного треугольника 
имеем:
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
