14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная четырехугольная пирамида 
все ребра которой равны 12. Точка 
— середина бокового ребра 
точка 
делит боковое ребро 
в отношении 
считая от вершины 
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки 
и 
параллельно прямой 
является
равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Источники:
а) Обозначим за 
плоскость из условия. Так как 
то плоскость 
пересечет плоскость 
по прямой, параллельной 
Следовательно,
проведем 
Так как 
потому что пирамида правильная, то 
также
параллельна 
Следовательно, аналогично предыдущему рассуждению, проведем
Получим сечение 
Так как 
то 
с коэффициентом подобия 
Следовательно,
Аналогично 
с коэффициентом подобия 
Следовательно,
Тогда 
и из построения следует, что 
Значит, сечение
представляет собой трапецию.
Так как 
то по теореме Фалеса
Аналогично получаем
Следовательно, так как грани 
и 
равны, то и отрезки 
и
равны. Таким образом, трапеция 
равнобедренная.
б) Найдем боковую сторону трапеции. Для этого рассмотрим боковую грань
Так как все ребра пирамиды равны, то 
равносторонний,
следовательно, 
Кроме того, 
По теореме
косинусов в треугольнике 
имеем:
Теперь рассмотрим трапецию 
Проведем высоту 
Тогда по свойству равнобедренной трапеции
имеем:
Следовательно, по теореме Пифагора
Тогда искомая площадь сечения равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
