14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

а) Так как призма правильная, то — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана является также и высотой треугольника . Отсюда

Также так как призма правильная, то

Получили, что перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости следовательно,

Так как и то Что и требовалось доказать.

б) Выше мы доказали, что Но тогда следовательно, — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

Так как все ребра призмы равны 12, то Далее, из того, что получаем

Тогда по теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для

Тогда искомая площадь равна

а) Так как призма правильная, то — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана является также и высотой треугольника . Отсюда

Также так как призма правильная, то

Получили, что перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости следовательно,

Так как и то Что и требовалось доказать.

б) Выше мы доказали, что Но тогда следовательно, — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

Так как все ребра призмы равны 20, то Далее, из того, что получаем

Тогда по теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для

Тогда искомая площадь равна

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: Прямые и — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как то имеем:

Тогда

Отсюда следует, что

б) Пусть

Пусть — точка пересечения диагоналей и Так как пирамида правильная, то — высота этой пирамиды.

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

Значит, четырехугольник — проекция сечения на плоскость

Если — угол между плоскостями и то

Рассмотрим Это равнобедренная трапеция. Пусть — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами и Следовательно, по теореме Пифагора:

Значит, площадь сечения равна

По теореме о пропорциональных отрезках Аналогично Пусть Тогда

Диагонали и четырехугольника взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Но по свойству квадрата

Отсюда площадь проекции сечения равна

Тогда искомый косинус равен

а) Пусть прямая пересекает ребро в точке Тогда — сечение пирамиды плоскостью Докажем, что

Применим теорему Менелая для и прямой

Учитывая также, что получаем, что

Так как пирамида правильная, то боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Следовательно,

Тогда по двум сторонам и углу между ними:

Отсюда следует, что

б) Из теоремы косинусов для следует, что

Применим теорему косинусов для

Так как — правильный, то

Применим теорему косинусов для

Рассмотрим Проведем высоту Тогда она является и медианой, следовательно,

По теореме Пифагора для

Следовательно, площадь сечения равна

а) Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку и перпендикулярные

Так как пирамида правильная, то — ее высота, Тогда по теореме о трех перпендикулярах Так как то Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в высоту то есть Тогда — сечение пирамиды плоскостью

б) Требуется найти

По доказанному в пункте а) имеем: Следовательно, Тогда

Следовательно, площадь сечения равна

Так как и — квадрат, то

Тогда площадь сечения равна

Перейдем в Пусть Тогда из

Тогда

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из прямого угла, имеем: Следовательно,

Тогда имеем:

Значит, искомое отношение равно

а) Проведём параллельно тогда Здесь — высота пирамиды, при этом так как — правильная, то — точка пересечения диагоналей основания Так как по условию то прямая проходящая через точку и перпендикулярная лежит в плоскости

Далее, плоскости и имеют общую точку Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая где — точки пересечения со сторонами и основания соответственно.

Так как перпендикулярна плоскости основания, то перпендикулярна Покажем, что перпендикулярна

• Из свойств квадрата — биссектриса угла
• Из свойств правильного треугольника высота является и медианой, то есть

Тогда — медиана и биссектриса в треугольнике а значит, является и высотой. Тогда то есть перпендикулярна плоскости Что и требовалось доказать.

б) Распишем объёмы пирамид и

Выразим нужные отношения через Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники и

Запишем отношение подобия:

Найдем отношение площадей:

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников и имеем:

Тогда получаем:

Чтобы найти запишем площадь правильного треугольника Из свойств правильного треугольника известно, что Тогда имеем:

Отсюда получаем, что

Из прямоугольного равнобедренного треугольника

Отсюда Найдем объем пирамиды

Тогда имеем:

Откуда получаем, что Отсюда если то и

Тогда искомое отношение равно

а) Так как то по обратной теореме о пропорциональных отрезках

Пусть плоскость сечения пересекает в точке

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости и Они пересекаются по прямым и Так как то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

Отсюда Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 10.

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем

Так как то имеем:

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно,

Получаем, что по двум сторонам и углу между ними:

Следовательно, Тогда так как то сечение тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями и

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для

Найдем площадь трапеции Для этого проведем высоты и

Так как трапеция равнобедренная, то имеем:

Тогда по теореме Пифагора для

Отсюда площадь трапеции равна

а) Так как то по обратной теореме о пропорциональных отрезках

Пусть плоскость сечения пересекает в точке

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости и Они пересекаются по прямым и Так как то линии пересечения плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

Отсюда Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 6.

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия:

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия:

Так как то имеем:

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно

Получаем, что по двум сторонам и углу между ними:

Следовательно, Тогда так как то сечение тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями и

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для

Найдем площадь трапеции Для этого проведем высоты и

Так как трапеция равнобедренная, то

Тогда по теореме Пифагора для

Отсюда площадь трапеции равна

а) Проведем высоту в основании Так как призма правильная, то основания являются равносторонними треугольниками. Следовательно, также является медианой.

Пусть сторона основания равна Тогда и так как то Отсюда

В треугольнике точка — середина точка — середина Следовательно, — средняя линия, то есть и

Если параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны. Плоскость пересекает параллельные плоскости и по прямым и значит, Так как то отсюда Что и требовалось доказать.

б) Проведем высоту в основании Так как то Тогда и по теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Так как то

Так как призма правильная, то в частности, Тогда следовательно, Отсюда

Заметим, что — прямая пересечения плоскостей и и Следовательно, угол между данными плоскостями равен углу

Рассмотрим грань Так как по условию все ребра призмы равны, то

Проведем Тогда Отсюда

Так как то из прямоугольного треугольника получаем:

Таким образом, искомый угол между плоскостью и плоскостью основания призмы равен

а) Проведём параллельно тогда Здесь — высота пирамиды, при этом так как — правильная, то — точка пересечения диагоналей основания Так как по условию то прямая проходящая через точку и перпендикулярная лежит в плоскости

Далее, плоскости и имеют общую точку Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая где — точки пересечения со сторонами и основания соответственно.

Так как перпендикулярна плоскости основания, то перпендикулярна Покажем, что перпендикулярна

• Из свойств квадрата — биссектриса угла
• Из свойств правильного треугольника высота является и медианой, то есть

Тогда — медиана и биссектриса в треугольнике а значит, является и высотой. Тогда то есть перпендикулярна плоскости Что и требовалось доказать.

б) Распишем объёмы пирамид и

Выразим нужные отношения через Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники и

Запишем отношение подобия:

Найдем отношение площадей:

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников и имеем:

Тогда получаем:

Чтобы найти запишем площадь правильного треугольника Из свойств правильного треугольника известно, что Тогда имеем:

Отсюда получаем, что

Из прямоугольного равнобедренного треугольника

Отсюда Найдем объем пирамиды

Тогда имеем:

Откуда получаем, что Отсюда если то и

Тогда искомое отношение равно

а) Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку и перпендикулярные

Так как пирамида правильная, то — ее высота, Тогда по теореме о трех перпендикулярах Так как то Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в высоту то есть Тогда — сечение пирамиды плоскостью

б) Требуется найти

По доказанному в пункте а) имеем: Следовательно, Тогда

Следовательно, площадь сечения равна

Так как и — квадрат, то

Тогда площадь сечения равна

Перейдем в

По теореме Пифагора для треугольника

Найдем через свойство высоты из вершины прямого угла:

Значит, искомое отношение равно

а) Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости. Поэтому найдем две прямые, проходящие через точку и перпендикулярные

Так как пирамида правильная, то — ее высота, Тогда по теореме о трех перпендикулярах Так как то Что и требовалось доказать.

Найдем вторую прямую. Проведем в высоту то есть Тогда — сечение пирамиды плоскостью

б) Требуется найти

По доказанному в пункте а) имеем: Следовательно, Тогда

Следовательно, площадь сечения равна

Так как и — квадрат, то

Тогда площадь сечения равна

Перейдем в

По теореме Пифагора для треугольника

Найдем через свойство высоты из вершины прямого угла:

Значит, искомое отношение равно

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: Прямые и — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как то имеем:

Тогда

Отсюда следует, что

б) Пусть

Пусть — точка пересечения диагоналей и Так как пирамида правильная, то — высота этой пирамиды.

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

Значит, четырехугольник — проекция сечения на плоскость

Если — угол между плоскостями и то

Рассмотрим Это равнобедренная трапеция. Пусть — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами и Следовательно, по теореме Пифагора:

Значит, площадь сечения равна

По теореме о пропорциональных отрезках Аналогично Пусть Тогда

Диагонали и четырехугольника взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Но по свойству квадрата

Отсюда площадь проекции сечения равна

Тогда искомый косинус равен

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: Прямые и — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как то имеем:

Тогда

Отсюда следует, что

б) Пусть

Пусть — точка пересечения диагоналей и Так как пирамида правильная, то — высота этой пирамиды.

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

Значит, четырехугольник — проекция сечения на плоскость

Если — угол между плоскостями и то

Рассмотрим Это равнобедренная трапеция. Пусть — ее высота. Тогда образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами и Следовательно, по теореме Пифагора:

Значит, площадь сечения равна

По теореме о пропорциональных отрезках Аналогично Пусть Тогда

Диагонали и четырехугольника взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Но по свойству квадрата

Отсюда площадь проекции сечения равна

Тогда искомый косинус равен

а) Так как призма правильная, то — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана является также и высотой треугольника . Отсюда

Также так как призма правильная, то

Получили, что перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости следовательно,

Так как и то Что и требовалось доказать.

б) Выше мы доказали, что Но тогда следовательно, — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

Так как все ребра призмы равны 12, то Далее, из того, что получаем

Тогда по теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для

Тогда искомая площадь равна

а) Проведём параллельно тогда Здесь — высота пирамиды, при этом так как — правильная, то — точка пересечения диагоналей основания Так как по условию то прямая проходящая через точку и перпендикулярная лежит в плоскости

Далее, плоскости и имеют общую точку Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой. Пусть это будет прямая где — точки пересечения со сторонами и основания соответственно.

Так как перпендикулярна плоскости основания, то перпендикулярна Покажем, что перпендикулярна

• Из свойств квадрата — биссектриса угла
• Из свойств правильного треугольника высота является и медианой, то есть

Тогда — медиана и биссектриса в треугольнике а значит, является и высотой. Тогда то есть перпендикулярна плоскости Что и требовалось доказать.

б) Распишем объёмы пирамид и

Выразим нужные отношения через Рассмотрим подобные по острому углу прямоугольные треугольники и

Запишем отношение подобия:

Найдем отношение площадей:

Из подобия по общему острому углу прямоугольных треугольников и имеем:

Тогда получаем:

Чтобы найти запишем площадь правильного треугольника Из свойств правильного треугольника известно, что Тогда имеем:

Отсюда получаем, что

Из прямоугольного равнобедренного треугольника

Отсюда Найдем объем пирамиды

Тогда имеем:

Откуда получаем, что Отсюда если то и

Тогда искомое отношение равно

а) Так как то по обратной теореме о пропорциональных отрезках

Пусть плоскость сечения пересекает в точке

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Тогда рассмотрим плоскости и Они пересекаются по прямым и Так как то линии пересечения этих плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

Отсюда Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны 8.

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем

Так как то по двум углам.

Запишем отношение подобия и найдем

Так как то имеем:

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно,

Получаем, что по двум сторонам и углу между ними:

Следовательно, Тогда так как то сечение тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями и

Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для

Найдем площадь трапеции Для этого проведем высоты и

Так как трапеция равнобедренная, то имеем:

Тогда по теореме Пифагора для

Отсюда площадь трапеции равна

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники и Их катеты и равны, так как — середина по условию. Также равны катеты и поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

Тогда по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы То есть треугольник — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть Тогда

• по теореме Пифагора
• 

Поскольку треугольник — равнобедренный с основанием то его высота делит сторону пополам. То есть .

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

Теперь запишем площадь сечения:

По условию имеем:

Тогда высота призмы равняется то есть

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники и Их катеты и равны, так как — середина по условию. Также равны катеты и поскольку призма правильная, то есть оба треугольника в основании правильные с равными сторонами.

Тогда по двум катетам. Тогда равны их гипотенузы То есть треугольник — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть Тогда

• по теореме Пифагора
• 

Поскольку треугольник — равнобедренный с основанием то его высота делит сторону пополам. То есть

Вновь воспользуемся теоремой Пифагора:

Теперь запишем площадь сечения:

По условию имеем:

Высота призмы равняется то есть

а) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Тогда плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной Пусть данная прямая пересекает и в точках и соответственно.

Плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной Пусть данная прямая пересекает и в точках и соответственно.

Пусть Тогда по условию

Так как и проходят через центр прямоугольника то имеем:

Так как — прямоугольный параллелепипед, то его боковые ребра перпендикулярны основаниям. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Так как то получаем уравнение:

Получили, что значит, — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

б) Опустим перпендикуляр на продолжение за точку Так как и точка лежат в плоскости то также лежит в данной плоскости.

Заметим, что то есть Также так как Тогда прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости следовательно, Тогда перпендикулярна любой прямой из плоскости в частности

Получили, что следовательно, То есть — проекция точки на плоскость тогда угол между прямой и плоскостью равен углу Найдем его из прямоугольного треугольника

Найдем Из пункта а) имеем:

по двум углам: как вертикальные,

Запишем отношение подобия:

По формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда:

Тогда из прямоугольного треугольника имеем: