.00 №14 из ЕГЭ 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
с основанием 
известно, что 
Точки 
и 
—
середины рёбер 
и 
соответственно. Плоскость 
проходит через 
и перпендикулярна плоскости
а) Докажите, что плоскость 
делит медиану основания 
в отношении 
считая от вершины 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Пусть 
— проекция точки 
на плоскость 
и 
— проекции на плоскость 
точек 
и 
соответственно.
Плоскость 
проходит через 
и 
Пусть 
— точка пересечения 
и 
— её проекция на плоскость
Тогда 
лежит на 
Так как 
— средняя линия в треугольнике 
то 
— середина 
в силу подобия треугольников 
и
по двум углам.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
В них 
— общий, следовательно, треугольники 
и
подобны по острому углу, откуда получаем
Так как пирамида 
правильная, то 
— точка пересечения медиан треугольника 
Следовательно,
имеем:
Отсюда получаем
Что и требовалось доказать.
б) Прямая 
параллельна прямой 
и не лежит в плоскости 
следовательно, 
Обозначим искомое
расстояние через 
Так как 
то
Далее имеем:
Кроме того, 
Тогда получаем 
и искомое расстояние равно
Найдём 
по теореме Пифагора в треугольнике 
Тогда расстояние от точки 
до плоскости 
равно
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
