.00 №14 из ЕГЭ 2015

а) Назовем плоскость плоскостью Пусть — точка пересечения диагоналей грани Тогда Следовательно, вся прямая

Заметим, что прямые и лежат в одной плоскости — плоскости Пусть — точка пересечения прямой и прямой Тогда Таким образом, получили точку пересечения плоскости с гранью

Так как грани и параллельны, то плоскость пересечет их по параллельным прямым. Поэтому проведем в грани через точку прямую параллельно Пусть эта прямая пересекает ребра и в точках и соответственно.

Таким образом, получили сечение призмы плоскостью

б) Так как основание призмы является квадратом, а диагонали квадрата перпендикулярны, то Так как то

Необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и то есть построить перпендикуляры в каждой из плоскостей к их линии пересечения. Прямая и есть линия их пересечения, следовательно, в плоскости уже найден перпендикуляр — это

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямая как наклонная, проекцией которой является прямая Следовательно, необходимо найти

Рассмотрим сечение

Проведем и найдем Для этого нам нужно найти так как

Заметим, что следовательно,

Тогда имеем:

Заметим также, что по двум углам. Следовательно,

Значит, получаем

Таким образом, имеем:

Тогда искомый угол равен