.00 №14 из ЕГЭ 2019
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
точка 
делит сторону 
в отношении 
считая от вершины 
Точка
делит сторону 
в отношении 
считая от вершины 
Через точки 
и 
параллельно ребру 
проведена
плоскость 
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
если известно, что 
Источники:
а) Пусть заданная в условии плоскость пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно. Тогда
Из параллельности следует, что 
с коэффициентом 
а также 
с
коэффициентом 
Из подобия имеем
причем по условию
Получили, что 
равен и параллелен 
значит, 
— параллелограмм. Осталось доказать, что 
из
этого будет следовать, что 
является прямоугольником.
Пусть 
— проекция точки 
на плоскость 
тогда 
— центр равностороннего треугольника 
а значит,
прямая 
— биссектриса, медиана и высота, так как пирамида правильная. Точка 
— пересечение прямых 
и 
Тогда по обратной теореме Фалеса
Кроме того, с привлечением теоремы о трех перпендикулярах имеем:
Тогда получаем
Вспомним, что 
тогда 
значит, 
— прямоугольник.
б) 
значит, расстояние от 
до 
равно расстоянию от прямой 
до плоскости 
Пусть 
— основание перпендикуляра из 
на 
— точка пересечения 
и 
В пункте а) мы уже показали, что плоскость 
перпендикулярна прямым 
и 
а значит и всей плоскости
Точка 
также лежит в плоскости 
получаем, что часть отрезка 
заключенная между отрезками 
и
и есть искомое расстояние.
Найдем отрезок 
— высоту в равностороннем треугольнике 
По теореме Пифагора для 
Пусть 
тогда по теореме Пифагора для 
При этом 
тогда по теореме Пифагора для 
Приравняем
Тогда
Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
поэтому нужная нам часть отрезка 
равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
