Тема Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

№14 из ЕГЭ 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15530Максимум баллов за задание: 3

Дана пирамида $SABC,$ в которой $√ -- SC = SB = AB = AC = 17,$ $√- SA = BC = 2 5.$

а) Докажите, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $BC.$

б) Найдите расстояние между ребрами $BC$ и $SA.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть $E$ — середина $SA,$ тогда $CE$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $CSA,$ $BE$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $BSA.$

$PIC$

Тогда $SA ⊥ CE$ и $SA ⊥ BE,$ следовательно, $SA ⊥ (CEB ).$ Так как $CB$ лежит в $(CEB ),$ то $SA ⊥ CB.$

б) Треугольники $CSA$ и $BSA$ равны по трем сторонам, так как $SA$ — общая, $CS = CA = BS = BA,$ следовательно, их медианы тоже равны: $CE = BE.$

$PIC$

Проведем медиану $EM$ в равнобедренном треугольнике $ECB.$ Отрезок $EM$ перпендикулярен прямой $SA,$ так как лежит в плоскости $(CEB )$ и по пункту а) $SA ⊥ (CEB ).$ Кроме того, отрезок $EM$ перпендикулярен $CB,$ так как медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой. Получили, что $EM$ перпендикулярен $SA$ и $CB,$ следовательно, его длина равна расстоянию между $SA$ и $CB.$

Осталось найти длину $EM.$ По теореме Пифагора для треугольника $EAB :$

∘ -----(---)2-- EB =∘AB2--−-EA2-= AB2− SA- = √17-− 5 = 2√3 2

По теореме Пифагора для треугольника $EMB :$

∘------(----)2 EM = ∘EB2-−-MB2- = EB2 − CB- = √12-− 5-= √7 2

Ответ:

б) $√ - 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18134Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $P$ делит сторону $AB$ в отношении $2 :3,$ считая от вершины $A.$ Точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $C.$ Через точки $P$ и $K$ параллельно ребру $SB$ проведена плоскость $w.$

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $w$ является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $w,$ если известно, что $SC = 5,$ $AC = 6.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть заданная в условии плоскость пересекает $SC$ и $SA$ в точках $L$ и $Q$ соответственно. Тогда

KL ∥SB ∥ PQ

Из параллельности следует, что $△ CKL ∼△CBS$ с коэффициентом $CK- k1 = CB ,$ а также $△ AP Q ∼△ABS$ с коэффициентом $k2 = AP-. AB$

Из подобия имеем

KL = BS ⋅k1, PQ = BS ⋅k2,

причем по условию

k = k = 2. 1 2 5

Получили, что $KL$ равен и параллелен $P Q,$ значит, $KLQP$ — параллелограмм. Осталось доказать, что $KL ⊥ KP,$ из этого будет следовать, что $KLQP$ является прямоугольником.

$PIC$

Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $(ABC ),$ тогда $O$ — центр равностороннего треугольника $△ ABC,$ а значит, прямая $BO$ — биссектриса, медиана и высота, так как пирамида правильная. Точка $H$ — пересечение прямых $BO$ и $AC,$ $BH ⊥ AC.$ Тогда по обратной теореме Фалеса

BK :KC = BP :PA ⇒ KP ∥ CA ⇒ KP ⊥ BH

Кроме того, с привлечением теоремы о трех перпендикулярах имеем:

SO ⊥ (ABC ), ON ⊥KP ⇒ SN ⊥ KP

Тогда получаем

KP ⊥ SN, KP ⊥ ON ⇒ KP ⊥ (SNB ) ⇒ KP ⊥SB

Вспомним, что $SB ∥KL ∥ PQ,$ тогда $KP ⊥ KL,$ значит, $KLQP$ — прямоугольник.

б) $SB ∥ w,$ значит, расстояние от $S$ до $w$ равно расстоянию от прямой $SB$ до плоскости $w.$

Пусть $T$ — основание перпендикуляра из $H$ на $SB,$ $M$ — точка пересечения $HS$ и $LQ.$

В пункте а) мы уже показали, что плоскость $(SMB )$ перпендикулярна прямым $KP$ и $LQ,$ а значит и всей плоскости $w.$

Точка $H$ также лежит в плоскости $(SMB ),$ получаем, что часть отрезка $TH,$ заключенная между отрезками $SB$ и $MN,$ и есть искомое расстояние.

$PIC$

Найдем отрезок $BH$ — высоту в равностороннем треугольнике $△ ABC :$

√3- √ - BH = -2-⋅6= 3 3

По теореме Пифагора для $△ SCH :$

∘ ---------- SH = SC2− CH2 = 4

Пусть $T S = x,$ тогда по теореме Пифагора для $△ SHT :$

∘-------- ∘ ------ HT = SH2 − x2 = 16− x2

При этом $BT = SB − ST = 5− x,$ тогда по теореме Пифагора для $△ BHT :$

∘ ------------- ∘ ----------- HT = HB2 − (5 − x)2 = 27− (5− x)2

Приравняем

$pict$

Тогда

∘------- √ -- 49 3--39- HT = 16 − 25 = 5

Треугольники $△ HNM$ и $△ HBS$ подобны с коэффициентом $2 :5,$ поэтому нужная нам часть отрезка $HT$ равна

√ -- √ -- 3⋅ 3-39= 9--39- 5 5 25

$PIC$

Ответ:

б) $9√39- 25$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18356Максимум баллов за задание: 3

В конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $√-- 3 41.$ Точки $A$ и $B$ — концы образуюших, $M$ — середина $SA,$ $N$ — точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB.$

a) Докажите что $∠ANO$ — прямой угол.

6) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если $AB = 10.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Обозначим через $N$ середину отрезка $AB$ и покажем, что на самом деле это та самая точка $N$ из условия задачи. Отрезок $MN ∥SB$ как средняя линия в треугольнике $ASB.$ При этом мы знаем, что через $M$ можно единственным способом провести прямую, параллельную $SB,$ значит, $MN$ и является этой самой прямой.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ Он равнобедренный, поскольку $OA = OB$ как радиусы основания конуса. Точка $N$ — середина $AB,$ тогда $ON$ является медианой, а значит и высотой в равнобедренном треугольнике $AOB.$ Получили $ON ⊥ AB,$ что и требовалось доказать.

б) Угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и ее проекцией эту плоскость. Отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания, следовательно, $AO$ является проекцией $AS$ на плоскость основания. Тогда проекцией середины $M$ отрезка $AS$ будет середина $M ′$ отрезка $AO.$ Получили, что $M ′B$ является проекцией $MB$ на плоскость основания и искомый угол равен углу $MBM ′.$

$PIC$

Отрезок $MM ′$ является средней линией в треугольнике $ASO,$ тогда имеем:

MM ′ = 1SO = 3√41 2 2

Найдем $′ BM$ по формуле для медианы через стороны треугольника $OBA :$

--- -- ′ 1∘ ----2-----2-----2 1∘ ----2------2----2 √369- 3√41- BM = 2 2BO + 2BA − AO = 2 2⋅13 + 2⋅10 − 13 = 2 = 2

Тогда из прямоугольного треугольника $MBM ′ :$

′ 3√41 tg∠MBM ′ = MM-′-= 23√41-= 1 ⇒ ∠MBM ′ = 45∘ BM --2-

Ответ:

б) $∘ 45$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#26365Максимум баллов за задание: 3

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $AD$ .

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью $α$ — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $α$ , если $√- AB = 2 3$ .

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть точки $L$ , $N$ — середины ребер $AC$ и $BD$ соответственно. Тогда $M L$ — средняя линия треугольника $ACD$ , значит, $M L ∥ AD$ . Аналогично $N K ∥ AB$ , следовательно $N K ∥ M L$ .

Значит, точки $N$ , $K$ , $M$ , $L$ лежат в одной плоскости, которая параллельна прямой $AD$ , следовательно, это и есть плоскость $α$ .

Так как тетраэдр правильный, его грани — это равные правильные треугольники. Тогда их средние линии попарно равны, в частности, $N M = M L = KL = N K$ , значит, $KLM N$ — ромб.

Рассмотрим треугольники $BLD$ и $CKD$ . В них $BD = CD$ и $BL = DL = CK = DK$ , так как тетраэдр $ABCD$ правильный. Тогда $△ BLD = △CKD$ по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, равны и их медианы, то есть $LN = KM$ . Следовательно, $KLM N$ — квадрат.

$PIC$

б) Площадь квадрата $KLM N$ равна

( BC )2 (√-)2 SKLMN = KL2 = ---- = 3 = 3 2

Ответ:

б) $3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26366Максимум баллов за задание: 3

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ рёбра равны 1. На продолжении отрезка $A1C1$ за точку $C1$ отмечена точка $M$ так, что $A1C1 = C1M,$ а на продолжении отрезка $B1C$ за точку $C$ отмечена точка $N$ так, что $B1C = CN.$

a) Докажите, что $MN = MB1.$

б) Найдите расстояние между прямыми $B1C1$ и $MN.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольник $A1B1M$ . В нем $A1B1 = 1$ , $√ - A1M = 2A1C1 = 2 2$ и $∘ ∠B1A1M = 45$ . Тогда по теореме косинусов:

√- √2 B1M2 = A1B21 +A1M2 − 2A1B1 ⋅A1M ⋅cos∠B1A1M =1 +8 − 2 ⋅1⋅2 2⋅-2 =5

Отсюда $B1M = √5.$

Рассмотрим треугольник $B1CM$ . В нем $B1C = √2$ , $B1M = √5$ и $CM = ∘CC2--+C1M2--=√3 1$ . Тогда по теореме косинусов:

2 2 2 2√10- CM = B1M + B1C − 2B1M ⋅B1C ⋅cos∠MB1C ⇒ cos∠MB1C = 10

Рассмотрим треугольник $B1MN$ . В нем $√ - B1M = 5$ , $√- B1N = 2B1C = 2 2$ и $√-- cos∠MB1C = 21100$ . Тогда по теореме косинусов:

√ - √- √ -- MN2 = B1M2 + B1N2− 2B1M ⋅B1N ⋅cos∠MB1C = 5+ 8− 2⋅ 5⋅2 2⋅ 2-10= 5 10

Отсюда $MN = √5= B1M.$

$PIC$

б) Заметим, что $B1C1 ⊥ (CC1D )$ . Тогда проекцией прямой $B1C1$ на плоскость $(CC1D )$ является точка $C1$ .

Найдем проекцию $MN$ на плоскость $(CC1D )$ . Пусть точка $M1$ — такая точка на продолжении отрезка $C1D1$ за точку $C1$ , что $C1D1 = C1M1$ . Тогда $M1$ — проекция точки $M$ на $(CC1D )$ , так как $A1M1MD1$ — параллелограмм и $A1D1 ⊥ (CC1D )$ .

Пусть точка $N1$ — такая точка на продолжении отрезка $CC1$ за точку $C$ , что $CC1 =CN1$ . Тогда $N1$ — проекция точки $N$ на $(CC1D )$ , так как $B1N1NC1$ — параллелограмм и $B1C1 ⊥ (CC1D )$ .

$PIC$

Тогда по построению прямая $B1C1$ параллельна плоскости $(MNN1M1 )$ и искомое расстояние равно расстоянию между этими прямой и плоскостью. При этом перпендикуляр из точки $C1$ к прямой $M1N1$ по построению перпендикулярен двум прямым плоскости $(MNN1M1 )$ .

Тогда расстояние между прямыми $B1C1$ и $MN$ равно расстоянию между точкой $C1$ и прямой $M1N1$ .

Рассмотрим треугольник $N1C1M1$ . В нем $C1M1 ⊥ C1N1$ , $C1M1 =C1D1 = 1$ и $C1N1 = 2CC1 = 2$ . Значит, по теореме Пифагора $√- N1M1 = 5$ . Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна $√- 1√⋅52= 255$ . Значит, расстояние между прямыми $B1C1$ и $MN$ равно $√- 255$ .

Ответ:

б) $2√5- 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#26367Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 9, а боковое ребро $SA = 6.$ На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK :KB = SM :MC = 2:7.$ Плоскость $α$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $SA.$

a) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $SB$ в отношении $2:7,$ считая от вершины $S.$

б) Найдите расстояние между прямыми $SA$ и $KM.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть плоскость $α$ пересекает ребро $SB$ в точке $N.$ По условию $α ∥SA,$ значит, она пересекает грань $SBA$ по прямой, параллельной $SA,$ следовательно, $SA ∥ KN.$ Тогда по теореме о пропорциональных отрезках точка $N$ делит ребро $SB$ в отношении

SN--= AK--= 2 NB BK 7

$PIC$

б) Пусть плоскость $α$ пересекает ребро $AC$ в точке $L.$ Аналогично предыдущему пункту получим, что $AL :LC = SM :MC = 2 :7.$ Тогда $AL :LC = AK :KB,$ значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $KL ∥BC.$

Пусть $H$ — середина стороны $BC.$ Тогда $AH$ — высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника $ABC.$ Пусть $R$ — точка пересечения $KL$ и $AH.$ По теореме о пропорциональных отрезках $AR :RH = AK :KB = 2:7.$

Пусть $Q$ — точка пересечения $SH$ и плоскости $α.$ Так как $SA ∥ α,$ то плоскость $α$ пересекает плоскость $SAH$ по прямой, параллельной $SA,$ то есть $SA ∥QR.$ Тогда $SQ :QH = AR :RH = 2:7.$

Заметим, что так как прямая $SA ∥ α,$ то искомое расстояние от прямой $SA$ до прямой $KM$ равно расстоянию между параллельными прямыми $SA$ и $QR.$

$PIC$

Рассмотрим треугольник $SAH,$ пусть $HT$ — его высота. Тогда прямая $QR ∥SA,$ делящая стороны $HA$ и $HS$ в отношении $7:2,$ считая от вершины $H,$ делит высоту $HT$ в том же отношении. Значит, расстояние между прямыми $QR$ и $SA$ равно $2 9HT.$

Найдем длины сторон треугольника $SAH.$ По условию $SA = 6.$ Отрезок $AH$ — высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 9, значит, $√- AH = 923.$ Отрезок $SH$ — медиана равнобедренного треугольника $BSC,$ значит, и высота. По теореме Пифагора для треугольника $SBH :$

( )2 ( )2 SH2 = SB2 − BH2 = SB2 − BC- = 62− 9 = 144-− 81 = 63 2 2 4 4

Запишем теорему косинусов для треугольника $SAH :$

2 2 2 SH = AH + SA − 2⋅AH ⋅SA cos∠SAH

Подставив значения сторон, найдем $cos∠SAH :$

√- 63= 243 +36− 2 ⋅ 9-3⋅6 cos∠SAH 4 4 2

√ - √3 54 3cos∠SAH = 81 ⇒ cos∠SAH = -2-

$PIC$

Рассмотрим треугольник $HT A.$ В нем $HT ⊥ TA,$ поэтому

√- √- AT = AH cos∠SAH = 9-3-⋅-3-= 27 2 2 4

Следовательно,

∘ --------- ∘---- - ∘ --2-----2- 243 792 243- 9√3- HT = AH − AT = 4 − 16 = 16 = 4

Тогда расстояние между прямыми $KM$ и $SA$ равно

√ - √ - ρ(KM; SA )= ρ(QR;SA )= 2HT = 2⋅ 9-3= --3 9 9 4 2

Ответ:

б) $√3- 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26368Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $K$ делит сторону $SC$ в отношении $1 :2,$ считая от вершины $S,$ точка $N$ делит сторону $SB$ в отношении $1 :2,$ считая от вершины $S.$ Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $SA$ проведена плоскость $ω.$

a) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $ω$ параллельно прямой $BC.$

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ω,$ если известно, что $SA = 9,$ $AB = 6.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) По условию $SK :KC = SN :NB = 1:2,$ значит, по теореме о пропорциональных отрезках прямые $KN$ и $BC$ параллельны. Поскольку прямая $BC$ параллельна лежащей в плоскости сечения прямой $KN,$ она параллельна и самой плоскости сечения $ω$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

$PIC$

б) Пусть $H$ — середина $BC.$ Проведём $SH$ и $AH,$ и пусть плоскость $(SHA )$ пересекает $ω$ по прямой $QR.$ Тогда $QR$ и $SA$ параллельны, а расстояние от точки $B$ до плоскости $ω$ равно расстоянию от точки $H$ до плоскости $ω.$

Пусть $HT$ — высота треугольника $SAH,$ тогда отрезок $HT$ перпендикулярен ребру $SA.$ В силу параллельности $SA$ и $QR,$ отрезки $HT$ и $QR$ также перпендикулярны.

Кроме того, ребро $BC$ перпендикулярно плоскости $(SHA )$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и $BC$ перпендикулярно $HT.$ Но $BC$ параллельно $NK,$ поэтому $HT$ и $NK$ перпендикулярны.

Тем самым прямая $HT$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $NK$ и $QR,$ лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения. Пусть $HT$ пересекает $QR$ в точке $P.$ Тогда $HP$ — искомое расстояние.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $SAH.$ Найдем длины его сторон. По условию $SA = 9.$ Отрезок $AH$ — высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 6, значит, $√- √ - AH = 623 =3 3.$ Отрезок $SH$ — высота равнобедренного треугольника $BSC.$ По теореме Пифагора для треугольника $SBH :$

( ) ( ) SH2 =SB2 − BH2 = SB2 − BC- 2 = 92− 6 2 = 81 − 9 = 72 2 2

Запишем теорему косинусов для треугольника $SAH :$

SH2 = AH2 + SA2 − 2⋅AH ⋅SA cos∠SAH

Подставив значения сторон, найдем $cos∠SAH :$

√- 72= 27+ 81− 2⋅3 3⋅9cos∠SAH

√ - 54√3 cos∠SAH = 36 ⇒ cos∠SAH = 2--3 9

$PIC$

Рассмотрим треугольник $HT A.$ В нем $HT ⊥ TA,$ поэтому

√- 2√3 AT = AH cos∠SAH = 3 3 ⋅-9--= 2

Следовательно,

∘---------- √----- √ -- HT = AH2 − AT 2 = 27 − 4 = 23

Заметим, что в треугольнике $SAH$ прямые $QR$ и $SA$ параллельны и $SQ :QH = 1:2,$ значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $TP :PH = 1 :2,$ следовательно, $HP = 23HT.$

Тогда расстояние от точки $B$ до плоскости $ω$ равно

√ -- ρ (B; ω)= ρ(H;ω)= 2 HT = 2 ⋅√23-= 2--23- 3 3 3

Ответ:

б) $2√23- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26369Максимум баллов за задание: 3

Дана пирамида $SABC,$ в которой $√ -- √-- √ - SC = SB = 17, AB = AC = 29, SA= BC =2 5.$

a) Докажите, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $BC.$

б) Найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть $E$ — середина $BC,$ тогда $SE$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $BSC,$ $AE$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $BAC.$

$PIC$

Тогда

BC ⊥ SE, BC ⊥ AE ⇒ BC ⊥ (SAE )

Так как $SA$ лежит в $(SAE ),$ то $BC ⊥SA.$

б) Рассмотрим треугольник $SAE.$ Проведем в нем высоту $AH.$ Заметим, что $BC ⊥ AH,$ так как $BC ⊥ (SAE ).$ По построению $AH ⊥ SE,$ значит, $AH ⊥ (SBC ).$ Следовательно, прямая $SE$ является проекцией прямой $SA$ на плоскость $(SBC ),$ значит, угол между прямой $SA$ и плоскостью $(SBC )$ равен углу между прямыми $SA$ и $SE.$

Найдем угол $∠ASE$ треугольника $SAE.$

По условию $√- SA = 2 5.$ Найдем стороны $AE$ и $SE.$ Так как $AE$ — высота равнобедренного треугольника $ABC,$ то по теореме Пифагора:

( )2 √ ----- √-- √ - AE2 = AB2 − BE2 = AB2 − BC- ⇒ AE = 29− 5= 24 = 2 6 2

Аналогично $SE$ — высота равнобедренного треугольника $SBC,$ тогда по теореме Пифагора:

2 2 2 2 ( BC )2 √ ----- √-- √ - SE = SB − BE = SB − -2- ⇒ SE = 17 − 5 = 12= 2 3

$PIC$

Запишем теорему косинусов для треугольника $SAE :$

2 2 2 AE = SA + SE − 2⋅SA ⋅SE ⋅cos∠ASE

Подставим найденные ранее значения и вычислим косинус угла $ASE :$

24= 20+ 12− 8√15cos∠ASE ⇔ 8√15 cos∠ASE = 8 ⇔ √ -- ⇔ cos∠ASE = √1-- ⇔ ∠ASE = arccos--15- 15 15

Значит, угол между прямой $SA$ и плоскостью $(SBC )$ равен $√15 arccos 15 .$

Ответ:

б) $√15- arccos 15$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#26370Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK :KB = SM :MC = 1 :5.$ Плоскость $α$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $BC.$

a) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $(SBC ).$

Показать ответ и решение

а) Пусть плоскость $α$ пересекает ребро $AC$ в точке $N.$ Прямые $KN$ и $BC$ параллельны, так как плоскость $α$ параллельна $BC,$ значит, по теореме о пропорциональных отрезках

AN AK 1 SM NC- = KB--= 5 = MC--

$PIC$

Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $MN ∥SA.$ Таким образом, плоскость $α,$ содержащая прямую $MN,$ параллельна прямой $SA.$

б) Пусть $H$ — середина ребра $BC,$ тогда $SH$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $SBC,$ $AH$ — медиана и высота в равностороннем треугольнике $ABC.$ Тогда $BC ⊥ SH$ и $BC ⊥ AH,$ следовательно, $BC ⊥(SAH ).$

Плоскость $(SAH )$ перпендикулярна плоскости $α,$ параллельной прямой $BC,$ и плоскости $(SBC ),$ содержащей прямую $BC.$ Поскольку плоскость $α$ параллельна прямой $SA,$ лежащей в плоскости $(SAH ),$ то искомый угол равен углу между прямой $SA$ и плоскостью $(SBC ).$

Рассмотрим треугольник $SAH.$ Проведем в нем высоту $AT.$ Заметим, что $BC ⊥ AT,$ так как $BC ⊥ (SAH ).$ По построению $AT ⊥ SH,$ значит, $AT ⊥ (SBC ).$ Следовательно, прямая $SH$ является проекцией прямой $SA$ на плоскость $(SBC ).$ Значит, угол между прямой $SA$ и плоскостью $(SBC )$ равен углу между прямыми $SA$ и $SH.$

$PIC$

Найдем угол $ASH$ треугольника $SAH.$ По условию $SA =7.$ Найдем стороны $AH$ и $SH.$ Отрезок $AH$ — высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной, равной 6 по условию, значит, $AH = 3√3.$

Отрезок $SH$ — высота равнобедренного треугольника $SBC,$ тогда по теореме Пифагора

2 2 2 2 (BC )2 √----- √-- √-- SH = SB − BH =SB − -2- ⇒ SH = 49 − 9 = 40= 2 10

Запишем теорему косинусов для треугольника $SAH :$

2 2 2 AH = SA +SH − 2⋅SA ⋅SH ⋅cos∠ASH

Подставим найденные ранее значения и вычислим косинус угла $ASH :$

27= 49+ 40− 28√10cos∠ASH

√ -- cos∠ASH = --31√-- ⇒ ∠ASH = arccos 31-10 14 10 140

Значит, угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(SBC )$ равен $31√10 arccos-140-.$

Ответ:

б) $31√10 arccos 140$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#26371Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно 5. На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK :KB = SM :MC = 5 :1.$ Плоскость $α$ содержит прямую $KM$ и параллельна $SA.$

a) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $α$ — прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $A,$ а основанием — сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть плоскость $α$ пересекает ребра $SB$ и $AC$ в точках $L$ и $N$ соответственно, а точка $H$ — середина ребра $BC$ . Тогда $SH$ — медиана и высота в равнобедренном треугольнике $SBC$ , $AH$ — медиана и высота в равностороннем треугольнике $ABC$ . Значит, $BC ⊥ SH$ и $BC ⊥ AH$ , следовательно, $BC ⊥ (SAH )$ . Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, значит, $BC ⊥ SA$ .

$PIC$

Плоскость $α$ , параллельная прямой $SA$ , пересекает плоскости $(SAB )$ и $(SAC )$ по прямым $KL$ и $M N$ , значит, $KL ∥ SA$ и $M N ∥ SA$ . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

AK : KB = SL : LC = SM : M C = AN : N C = 5 : 1

Значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые $LM$ и $KN$ параллельны прямой $BC$ . Таким образом, $KLM N$ является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым $SA$ и $BC$ соответственно, то есть $KLM N$ — прямоугольник.

б) Прямая $BC$ , параллельная прямой $KN$ , перпендикулярна плоскости $(SAH )$ , значит, плоскости $(SAH )$ и $α$ перпендикулярны.

Пусть плоскость $(SAH )$ пересекает прямые $KN$ и $LM$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда высота пирамиды $AKLM N$ равна расстоянию $h$ между точкой $A$ и прямой $EF$ .

Пусть $SO$ — высота правильной пирамиды $SABC$ , тогда $SO$ лежит в плоскости $(SAH )$ и $AO : OH = 2 : 1$ . $AH$ — медиана равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 6, значит,

√ - √ - AH = 3 3 ⇒ AO = 2AH = 2 3 3

Найдем косинус и синус угла $SAO$ :

√- ∘ ------ √-- AO- 2-3- ∘ ------2------ 12 -13- cos∠SAO = SA = 5 ⇒ sin∠SAO = 1 − cos ∠SAO = 1 − 25 = 5

Пусть $AT$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $EF$ . Тогда

√-- ∠SAT = ∠SAO + ∠OAT = 90∘ ⇒ cos∠OAT = sin∠SAO = -13- 5

$PIC$

$AT = h$ — катет прямоугольного треугольника $AT E$ . Гипотенуза $AE$ треугольника $ATE$ равна

5 5 √ - 5√3- AE = - AH = - ⋅3 3 =----, 6 6 2

так как по теореме о пропорциональных отрезках ( $KN ∥ BC$ , $AK : KB = 5 : 1$ ) точка $E$ делит $AH$ в отношении $5 : 1$ .

Тогда можем найти $AT = h$ :

√- √-- √ -- 5-3- -13- --39 h = AT = AE cos∠OAT = 2 ⋅ 5 = 2

Найдем $M N$ . Так как в треугольнике $SAC$ $CM : M S = CN : N A = 1 : 5$ ,

1 1 5 M N = 6 ⋅SA = 6 ⋅5 = 6

Найдем $KN$ . Так как в треугольнике $ABC$ $AK : KB = AN : NC = 5 : 1$ ,

KN = 5 ⋅BC = 5 ⋅6 = 5 6 6

Найдем объем пирамиды $AKLN M$ :

√ -- √-- V = h-⋅S = h-⋅M N ⋅KN = --39⋅5 ⋅ 5 = 25-39 AKLNM 3 KLNM 3 6 6 36

Ответ:

б) $25√39- 36$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#26372Максимум баллов за задание: 3

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 4, а боковое ребро $SA =8.$ На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN :NC = SK :KC =1 :3.$ Плоскость $α$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC.$

a) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3,$ считая от вершины $A.$

б) Найдите расстояние между прямыми $SA$ и $KN.$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Пусть плоскость $α$ пересекает ребра $AB$ и $SB$ в точках $M$ и $L$ соответственно. По условию $α ∥BC,$ значит, она пересекает плоскость $(ABC ),$ содержащую прямую $BC,$ по прямой, параллельной $BC,$ то есть $MN ∥BC.$ Тогда $MNCB$ — прямоугольник, следовательно, $BM = CN.$

Четырехугольник $ABCD$ — квадрат, то есть $AB = CD,$ значит, $AB − BM = CD − CN,$ следовательно, $AM = DN$ и $AM :MB = DN :NC =1 :3.$

$PIC$

б) По теореме о пропорциональных отрезках $KN ∥SD,$ так как $DN :NC =SK :KC = 1:3.$ По предыдущему пункту $MN ∥ AD.$ Тогда плоскости $α$ и $(SAD )$ параллельны, так как образованы двумя парами параллельных прямых. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми $KN$ и $SA$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $α$ и $(SAD ),$ содержащими их.

Пусть точки $P$ и $H$ — середины $AD$ и $BC$ соответственно. Рассмотрим треугольник $SPH,$ пусть $HT$ — его высота.

Заметим, что $SP$ — высота и медиана равнобедренного треугольника $SAD,$ значит, $SP ⊥AD.$ Так как $HP$ — средняя линия квадрата $ABCD,$ то $HP ⊥ AD.$ Тогда $AD ⊥ (SP H ).$

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, следовательно, $AD ⊥ HT.$ По построению $HT ⊥SP,$ значит, $HT ⊥ (SAD ).$ Так как $α ∥(SAD ),$ то $HT ⊥ α.$

$PIC$

Пусть плоскость $α$ пересекает $HT$ в точке $O$ , тогда расстояние между $α$ и $(SAD )$ равно длине отрезка $T O.$

Пусть $Q$ — точка пересечения $MN$ и $HP,$ $R$ — точка пересечения $KL$ и $SH.$

Аналогично предыдущему пункту можем получить, что $HQ :QP = 3:1.$

По условию $α ∥BC,$ значит, она пересекает плоскость $(SBC ),$ содержащую прямую $BC,$ по прямой, параллельной $BC,$ то есть $KL ∥BC.$

Рассмотрим треугольник $SCH.$ В нем $SK :KC = 1:3$ и $KR ∥CH,$ значит, по теореме о пропорциональных отрезках $SR :RH = 1:3.$

Рассмотрим треугольник $SPH.$ В нем $HR :RS = HQ :QP = 3 :1,$ значит, по обратной теореме о пропорциональных отрезках $RQ ∥ SP.$ Тогда рассмотрим треугольник $HP T$ и аналогично получим, что $HO :OT = 3 :1,$ следовательно, $T O = 14HT.$

Найдем $HT.$ Отрезок $HT$ — высота треугольника $SPH.$ Найдем стороны треугольника $SPH.$ Имеем $HP = AB = 4.$ Отрезки $SP$ и $SH$ — высоты равных равнобедренных треугольников $SAD$ и $SBC.$ Тогда по теореме Пифагора

∘ -----(----)-- SP = SH = SA2− AD- 2 = ∘82-−-22-= √60= 2√15 2

$PIC$

Пусть $P T = x,$ тогда $√ -- ST =2 15− x.$ По теореме Пифагора для треугольников $SHT$ и $PHT :$

( √--) √ -- HT 2 = SH2 − ST 2 = 60− 60+ x2− 4x 15 = 4x 15− x2

HT 2 = HP 2− PT2 = 16 − x2

Тогда имеем уравнение:

√ -- 4x√15 − x2 = 16 − x2 ⇔ 4x√15-= 16 ⇔ x= 4-15- 15

Найдем отрезки $HT$ и $TO :$

∘ ---------- ∘------ ∘ ------- ∘------ √ - HT = HP 2− PT2 = 16− x2 = 16− 16 = 16-⋅14-= 4--210 ⇒ 15 15 15

√ --- ⇒ T O = 1HT = --210- 4 15

Ответ:

б) $√210- 15$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#26373Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка $M$ — середина ребра $A1C1,$ а точка $O$ — точка пересечения диагоналей боковой грани $ABB1A1.$

a) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы $ABCA1B1C1$ плоскостью $(AMB ),$ лежит на отрезке $OC1.$

б) Найдите угол между прямой $OC1$ и плоскостью $(AMB ).$

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

а) Плоскость $(A1B1C1)$ параллельна прямой $AB,$ значит, плоскость $(AMB )$ пересекает $(A1B1C1)$ по прямой, параллельной $AB.$ Пусть $(AMB )$ пересекает ребро $B1C1$ в точке $N,$ тогда $MN ∥AB,$ а значит, $MN ∥A1B1.$ Таким образом, $MN$ — средняя линия треугольника $A1B1C1.$

Рассмотрим сечение $AMNB.$ Это трапеция, так как $MN ∥ AB.$ Также $MN = 12AB.$ Тогда, если $S$ — точка пересечения диагоналей трапеции $AMNB,$ треугольники $SAB$ и $SNM$ подобны с коэффициентом 2.

$PIC$

Пусть точки $P$ и $Q$ — середины $A B 1 1$ и $AB$ соответственно. $R$ — точка пересечения $MN$ и $C P. 1$ Тогда $R$ — середина $MN,$ значит, $RQ$ — отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Тогда точка пересечения диагоналей $S$ лежит на нем, значит, $RS :SQ = MN :AB = 1:2.$

Рассмотрим треугольник $C1PQ$ в плоскости $(CP Q).$ Заметим, что $C1O$ и $QR$ — медианы этого треугольника. Пусть $S ′$ — точка их пересечения. Тогда $RS ′ :S′Q = 1:2.$

$PIC$

Мы получили, что точки $S$ и $S′$ делят отрезок $RQ$ в отношении $1:2,$ значит, они совпадают, то есть точка $S$ лежит на $OC1.$

б) Плоскость сечения образована параллельными прямыми $MN$ и $AB.$ $AB ⊥(CP Q),$ так как $AB ⊥ CQ$ и $AB ⊥ P Q.$ Тогда $(AMB )⊥ (CPQ ).$ Значит, углов между прямой $OC1$ и плоскость. $(AMB )$ равен углу между прямыми $OC1$ и $RQ,$ то есть углу $C1SR.$

$PIC$

Найдем стороны треугольника $C1RS.$ Так как $C1P$ — медиана равностороннего треугольника $A1B1C1,$

1 1 √3 √3 √ - C1R = 2CP = 2 ⋅2-A1B1 = -4-⋅4= 3

$C1O$ — медиана треугольника $C1PQ,$ значит, $C1S = 23C1O.$ По теореме Пифагора для треугольника $C1P O :$

∘---------- ∘(----)---- -- √-- C1O = C1P 2+ PO2 = 2√ 3 2+ 12 = √13 ⇒ C1S = 2-13- 3

$QR$ — медиана треугольника $C P Q 1$ , значит, $RS = 1QR 3$ . По теореме Пифагора для треугольника $PQR :$

---------- ∘---2-----2 ∘ 2 (√-)2 √ - √7 QR = P Q + PR = 2 + 3 = 7 ⇒ RS = -3-

Запишем теорему косинусов для треугольника $C1RS :$

2 2 2 C1R = C1S + RS − 2⋅C1S⋅RS cos∠C1SR C1S2+-RS2-−-C1R2 cos∠C1SR = 2 ⋅C1S ⋅RS

Подставив найденные значения, получаем:

52- 7 √-- cos∠C1SR = -92+√193 −√37-= √8-= 8-91- 2⋅-3--⋅-3 √-91 91 8-91- ∠C1SR = arccos 91

Ответ:

б) $8√91- arccos 91$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3