.00 №14 из ЕГЭ 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
все рёбра равны 5. На рёбрах 
взяты точки 
и 
соответственно так, что 
a) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна ребру 
б) Найдите расстояние от вершины 
до плоскости 
Источники:
а) Докажем, что 
Рассмотрим треугольник 
в плоскости 
Он равносторонний, так как 
и
по условию. Тогда 
Треугольник 
равносторонний по условию, то есть 
Тогда прямые 
и 
параллельны, так как
равны соотвественные углы 
и 
при прямых 
и 
и секущей 
Рассмотрим треугольник 
Его стороны равны 
и 
как диагональ квадрата со стороной 5, то
есть
Тогда по обратной теореме Пифагора треугольник 
прямоугольный и 
Следовательно, 
так как
Докажем, что 
Рассмотрим треугольник 
в плоскости 
Он прямоугольный равнобедренный, так как
и
Тогда 
Треугольник 
прямоугольный и равнобедренный, так как 
— диагональ квадрата 
Тогда
значит, прямые 
и 
параллельны.
Далее, диагональ 
квадрата 
перпендикулярна диагонали 
Пусть их пересечение — точка 
Тогда 
—
высота правильной пирамиды 
то есть 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, 
Получаем, что 
и 
значит, 
б) В предыдущем пунке мы доказали, что 
Пусть плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
Тогда
расстояние от точки 
до плоскости 
равно длине отрезка 
Поскольку 
то прямая 
перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости 
в частности,
Рассмотрим треугольник 
в плоскости 
В нем имеем:
Тогда отрезок 
равен
Значит, искомое расстояние равно
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
