14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании правильной пирамиды 
лежит квадрат 
со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину 
и середину ребра 
перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен 
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Источники:
а) Пусть 
— плоскость сечения пирамиды. По свойству правильной пирамиды 
Так как ребро 
перпендикулярно
плоскости 
то оно перпендикулярно любой прямой из этой плоскости. Следовательно, 
где 
— середина ребра
Тогда 
— медиана и высота в 
то есть этот треугольник равнобедренный и 
С учетом 
получили, что 
— равносторонний и 
Но это и есть угол между боковым ребром 
и плоскостью
основания.
б) Проведем еще одну прямую, пересекающую 
и перпендикулярную 
Тогда плоскость, проходящая через эту прямую
и прямую 
и есть плоскость 
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная
также перпендикулярна 
Следовательно, если провести через точку 
пересечения прямых 
и 
прямую 
параллельно 
то
Таким образом, 
— искомое сечение.
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах 
Тогда с учетом 
имеем 
Следовательно,
Рассмотрим 
В нем имеем:
Отсюда по теореме Пифагора 
Так как 
и 
— медианы в 
то
Так как 
то
Тогда искомая площадь сечения равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
