.00 №14 из ЕГЭ 2022

а) Пусть — высота пирамиды Так как пирамида правильная, то — середина В плоскости проведем Тогда — средняя линия треугольника так как и значит,

Пусть пересекает в точке а — в точке Точка лежит в плоскости значит, можем провести прямую в этой плоскости.

Заметим, что — это плоскость так как она проходит через точки и и содержит прямую то есть Тогда пересекает в точке

Рассмотрим треугольники и Они равны по второму признаку: как накрест лежащие, как вертикальные. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, следовательно,

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: и как соответственные. Тогда имеем:

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

б) Пусть Найдем объем пирамиды По условию Значит, по предыдущему пункту

Тогда площадь треугольника равна

Высота пирамиды равна половине высоты пирамиды то есть Тогда объем пирамиды равен

Найдем объем пирамиды По предыдущему пункту имеем:

Тогда высота пирамиды равна Также по предыдущему пункту треугольники и подобны с коэффициентом 2, значит,

Тогда можем найти объем многогранника

Объем всей пирамиды равен

Тогда можем найти объем многогранника

Тогда искомое отношение объемов равно