14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме 
отмечены середины 
и 
ребер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что плоскость 
делит отрезок 
в отношении 2:3,
считая от вершины 
б) Найдите объем пирамиды 
если сторона основания призмы равна
6, а боковое ребро равно 4.
Источники:
а) Пусть 
— середина ребра 
Рассмотрим плоскость 
— она
сечет призму по прямоугольнику 
и содержит 
Следовательно,
точка 
пересечения отрезка 
и плоскости 
лежит на линии
пересечения плоскостей 
и 
Эта линия пересечения —
прямая 
где 
— точка пересечения 
и 
Следовательно,
Так как 
— точка пересечения медиан 
то 
Рассмотрим прямоугольник 
В нем 
следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Для искомого объема имеем:
Так как
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде 
известно, что 
Через точки 
и 
параллельно 
проведена
плоскость, пересекающая ребро 
в точке 
а) Докажите, что 
— середина 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости сечения.
Источники:
а) Назовем плоскость, проходящую через 
и 
параллельно 
плоскостью
Рассмотрим плоскость 
Эта плоскость содержит 
и пересекает
в середине — точке 
Сечение параллелепипеда этой плоскостью —
прямоугольник 
Проведем через точку 
прямую 
Тогда
Следовательно, 
— сечение параллелепипеда плоскостью
Так как 
— середина 
то 
— точка пересечения диагоналей
параллелепипеда, следовательно, 
— середина диагонали 
Значит, по
теореме Фалеса для 
где 
имеем: 
— середина 
Что и
требовалось доказать.
б) Рассмотрим многогранник 
Его объем равен половине объема
параллелепипеда: 
Если из этого объема вычесть объемы
пирамид 
и 
каждый из которых равен 
то
получим объем пирамиды 
С другой стороны, если 
— расстояние от точки 
до плоскости
то объем пирамиды 
равен 
Следовательно
Из этого равенства можно найти 
если найти площадь сечения.
По теореме Пифагора
Пусть 
Тогда по теореме косинусов из 
Тогда 
Так как 
— параллелограмм (плоскость 
пересекает параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым), то
получаем
Следовательно,
б) 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) Проведем высоту 
в треугольнике 
Заметим, что 
так как 
и 
так как
— прямоугольник. Тогда 
Значит, 
Также 
по построению. Тогда 
Таким образом, 
— расстояние от 
до 
В прямоугольном треугольнике 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) Проведем высоту 
в треугольнике 
Заметим, что 
так как 
и 
так как
— прямоугольник. Тогда 
Значит, 
Также 
по построению. Тогда 
Таким образом, 
— расстояние от 
до 
В прямоугольном треугольнике 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) Проведем высоту 
в треугольнике 
Заметим, что 
так как 
и 
так как
— прямоугольник. Тогда 
Значит, 
Также 
по построению. Тогда 
Таким образом, 
— расстояние от 
до 
В прямоугольном треугольнике 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) Проведем высоту 
в треугольнике 
Заметим, что 
так как 
и 
так как
— прямоугольник. Тогда 
Значит, 
Также 
по построению. Тогда 
Таким образом, 
— расстояние от 
до 
В прямоугольном треугольнике 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда 
Пусть 
— середина 
— середина 
Тогда
По предыдущему пункту 
значит, 
Тогда по теореме
Пифагора для треугольника 
Заметим, что 
— средняя линия треугольника 
значит, 
и
Тогда угол между прямыми 
и 
равен углу между прямыми 
и
По теореме Пифагора для треугольника 
Значит, по теореме косинусов для треугольника 
Так как 
то 
Значит, угол между прямыми
и 
равен углу 
Тогда и угол между прямыми 
и 
равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда 
Пусть 
— середина 
— середина 
Тогда
По предыдущему пункту 
значит, 
Тогда по теореме
Пифагора для треугольника 
Заметим, что 
— средняя линия треугольника 
значит, 
и
Тогда угол между прямыми 
и 
равен углу между прямыми 
и
По теореме Пифагора для треугольника 
Значит, по теореме косинусов для треугольника 
Так как 
то 
Значит, угол между прямыми
и 
равен углу, смежному 
Тогда и угол между прямыми 
и
равен
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырёхугольной пирамиды 
лежит прямоугольник 
со сторонами 
и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что 
— высота пирамиды 
б) Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
В них имеем:
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники 
и
прямоугольные. Следовательно, 
и 
значит,
б) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда 
Пусть 
— середина 
— середина 
Тогда
По предыдущему пункту 
значит, 
Тогда по теореме
Пифагора для треугольника 
Заметим, что 
— средняя линия треугольника 
значит, 
и
Тогда угол между прямыми 
и 
равен углу между прямыми 
и
По теореме Пифагора для треугольника 
Значит, по теореме косинусов для треугольника 
Так как 
то 
Значит, угол между прямыми
и 
равен углу, смежному 
Тогда и угол между прямыми 
и
равен
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре 
ребро 
а все остальные рёбра равны 7.
a) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми 
и 
Источники:
а) Пусть точка 
— середина 
Тогда рассмотрим треугольники 
и
Все их стороны по условию равны 7. Значит, они равносторонние.
Тогда 
и 
— их медианы, которые также являются их высотами.
Следовательно, 
и 
Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости 
которая
содержит прямые 
и 
перпендикулярные 
Прямая 
лежит в
плоскости 
которая перпендикулярна прямой 
значит, 
б) Рассмотрим равносторонний треугольник 
Его сторона равна 7,
— его медиана и высота, следовательно,
Аналогично в равностороннем треугольнике 
со стороной 7 и медианой
Пусть точка 
— середина 
Тогда рассмотрим треугольник 
В
нем 
значит, 
— его медиана и высота. Тогда 
С другой стороны, 
так как 
лежит в плоскости
Следовательно, 
— расстояние между 
и 
Так как 
— середина 
то 
Тогда по теореме Пифагора
для треугольника 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре 
ребро 
а все остальные рёбра равны 4.
a) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите объём тетраэдра 
Источники:
а) Пусть точка 
— середина 
Тогда рассмотрим треугольники 
и
Все их стороны по условию равны 4. Значит, они равносторонние. Тогда
и 
— их медианы, которые также являются и их высотами.
Следовательно, 
и 
Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости 
которая
содержит прямые 
и 
перпендикулярные 
Прямая 
лежит в
плоскости 
которая перпендикулярна прямой 
значит, 
б) Рассмотрим равносторонний треугольник 
Его сторона равна 4,
— его медиана и высота, следовательно,
Аналогично в равностороннем треугольнике 
со стороной 4 и медианой
Пусть точка 
— середина 
поэтому 
Тогда
рассмотрим треугольник 
В нем 
значит, 
— его медиана
и высота. Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
Пусть 
— высота треугольника 
Тогда 
Заметим, что
следовательно, 
Тогда 
поэтому 
—
высота пирамиды.
Найдем 
для этого вычислим площадь треугольника 
двумя
способами:
Тогда искомый объем равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный тетраэдр 
Точки 
и 
— середины ребер 
и
соответственно. Плоскость 
параллельна прямым 
и 
пересекает
прямую 
в точке 
а ребро 
в точке 
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите 
если известно, что 
Источники:
а) Проведем 
и 
Эти прямые лежат в плоскости 
Проведем 
Получаем, что 
— сечение тетраэдра плоскостью
Так как тетраэдр правильный, то все его ребра одинаковые. Следовательно,
— высоты правильных треугольников 
и 
Значит,
— равнобедренный, следовательно, его медиана 
является также
высотой, откуда 
Аналогично 
— равнобедренный и высота
Значит, 
так как 
и 
Что и требовалось
доказать.
б) Пусть 
Тогда прямая 
лежит в
плоскостях 
и 
следовательно, 
Тогда по теореме Фалеса
имеем:
По теореме Фалеса в грани 
Пусть ребро тетраэдра равно 
Тогда 
По теореме
Пифагора в треугольнике 
Значит, искомый отрезок равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный тетраэдр 
Точки 
и 
— середины ребер 
и
соответственно. Плоскость 
параллельна прямым 
и 
пересекает
прямую 
в точке 
а ребро 
в точке 
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите 
если известно, что 
Источники:
а) Проведем 
и 
Эти прямые лежат в плоскости 
Проведем 
Получаем, что 
— сечение тетраэдра плоскостью
Так как тетраэдр правильный, то все его ребра одинаковые. Следовательно,
— высоты правильных треугольников 
и 
Значит,
— равнобедренный, следовательно, его медиана 
является также
высотой, откуда 
Аналогично 
— равнобедренный и высота
Значит, 
так как 
и 
Что и требовалось
доказать.
б) Пусть 
Тогда прямая 
лежит в
плоскостях 
и 
следовательно, 
Тогда по теореме Фалеса
имеем:
По теореме Фалеса в грани 
Пусть ребро тетраэдра равно 
Тогда 
По теореме
Пифагора в треугольнике 
Значит, искомый отрезок равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде 
на рёбрах 
и
отмечены точки 
и 
соответственно так, что 
—
равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8.
a) Докажите, что точка 
— середина 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
если площадь
трапеции 
равна 
Источники:
а) Проведем 
Так как 
и 
то 
Следовательно, 
с коэффициентом
подобия 
откуда 
Следовательно, 
— середина 
Что и
требовалось доказать.
б) Рассмотрим прямоугольные 
и 
Их гипотенузы и два катета
равны, следовательно, равны другие два катета, то есть 
Отсюда
Тогда 
прямоугольный и равнобедренный, откуда
имеем:
Пусть 
— высота трапеции 
тогда по формуле площади
трапеции
Проведем 
Тогда 
следовательно,
по теореме Пифагора. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике
Проведем 
тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, по определению 
— линейный угол двугранного угла,
образованного плоскостями 
и 
Следовательно, можем найти
искомый угол:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренный
треугольник 
с основанием 
Точка 
делит ребро 
в
отношении 
а точка 
— середина ребра 
Через
середину 
ребра 
провели плоскость 
перпендикулярную отрезку
а) Докажите, что плоскость 
параллельна ребру 
б) Найдите отношение, в котором плоскость 
делит отрезок 
считая от
точки 
если известно, что 
Источники:
а) Пусть 
— высота треугольника 
Тогда 
и медиана. Так
как 
а 
то имеем 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
Тогда 
Пусть 
— средняя линия треугольника 
при этом 
лежит на
По теореме о трех перпендикулярах 
Тогда и 
Таким образом, если плоскость 
перпендикулярна 
то и любая прямая
из этой плоскости должна быть перпендикулярна 
В частности, прямая, по
которой пересекаются 
и 
Тогда это в точности прямая 
Значит,
б) Пусть 
пересекает 
в точке 
Тогда в прямоугольном треугольнике
отрезок 
— высота. Тогда
Заметим, что 
а 
Также 
Из прямоугольного треугольника 
имеем:
Тогда 
Значит,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренная
трапеция 
с основаниями 
и 
Точка 
делит ребро
в отношении 
а точка 
— середина ребра
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите тангенс угла между плоскостью 
и плоскостью основания
призмы, если 
Источники:
а) Так как 
и 
то грани 
и 
параллельны. Следовательно, плоскость 
пересечет их по параллельным
прямым. Значит, плоскость 
пересечет грань 
по прямой
где 
— точка на ребре 
Продлим 
до пересечения с
прямой 
в точке 
Тогда точка 
являющаяся точкой пересечения 
и 
является одной из вершин сечения призмы плоскостью 
Следовательно, 
— сечение призмы плоскостью 
Так как 
то достаточно доказать, что 
Из условия следует, что 
Пусть также 
Углы
и 
равны как углы между попарно параллельными прямыми.
Следовательно, по катету и острому углу равны 
и 
так как
Следовательно, 
Значит, 
— середина ребра 
следовательно, 
откуда
следовательно, 
значит,
можно обозначить 
По обратной теореме Фалеса, так как 
то
Следовательно, 
откуда 
Что и
требовалось доказать.
б) Так как 
и 
то 
—
параллелограмм. Следовательно, 
Следовательно,
равнобедренный с углом 
значит, он равносторонний и
Следовательно, 
По теореме Пифагора 
Так как 
и 
то 
— прямоугольник,
следовательно, 
и 
прямоугольный с 
Также
По теореме Пифагора 
Проведем 
Следовательно, треугольник 
прямоугольный и по
теореме Пифагора 
Тогда по теореме Пифагора для 
получаем
Так как 
— линия пересечения плоскостей 
и 
то
проведем 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, 
— угол между 
и 
Его тангенс
равен 
Следовательно, нужно найти 
Заметим, что так как 
равносторонний и 
то
следовательно, 
лежит на продолжении отрезка 
за точку
Рассмотрим 
По теореме косинусов
Тогда по теореме синусов из этого же треугольника
Из прямоугольного 
имеем
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренная
трапеция 
с основаниями 
и 
Точка 
делит ребро
в отношении 
а точка 
— середина ребра
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро 
пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 
если 
Источники:
а) Так как 
и 
то грани 
и 
параллельны. Следовательно, плоскость 
пересечет их по параллельным
прямым. Значит, плоскость 
пересечет грань 
по прямой
где 
— точка на ребре 
Из условия следует, что 
Пусть также 
Углы 
и 
равны как углы между попарно параллельными
прямыми. Следовательно, по катету и острому углу равны 
и
так как 
Следовательно,
Значит, 
— середина ребра 
Что и требовалось
доказать.
б) Достроим сечение. Продлим 
до пересечения с прямой 
в точке
Тогда точка 
являющаяся точкой пересечения 
и 
является
одной из вершин сечения призмы плоскостью 
Следовательно, 
— сечение призмы плоскостью 
Так как 
и 
то 
— параллелограмм.
Следовательно, 
Следовательно, 
равнобедренный
с углом 
значит, он равносторонний и 
Следовательно, 
По теореме Пифагора 
Так как 
и 
то 
— прямоугольник,
следовательно, 
и 
прямоугольный с 
Также
следовательно, 
откуда
По теореме Пифагора 
Проведем 
Следовательно, треугольник 
прямоугольный и по
теореме Пифагора 
Тогда по теореме Пифагора для 
получаем
Из 
следует, что 
следовательно,
Отсюда 
так как
прямоугольный.
Так как 
то 
Следовательно, так как к тому же 
— прямоугольник, получаем, что
площадь сечения равна
б) 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит параллелограмм 
На ребрах 
и 
взяты точки 
и 
соответственно.
Причем 
а 
— равнобедренная трапеция с основаниями
4 и 6.
а) Докажите, что 
— середина 
б) Найдите площадь трапеции 
если объем призмы равен 72, а ее
высота равна 2.
Источники:
а) Пусть 
— проекция точки 
на плоскость верхнего основания. Тогда
как прямоугольные по катету и гипотенузе: 
Следовательно, 
Пусть также 
тогда
следовательно, 
Тогда
Следовательно,
Так как 
и 
то 
откуда 
— середина
Что и требовалось доказать.
б) Чтобы найти площадь трапеции 
учитывая, что ее основания
известны, нужно найти ее высоту. Проведем 
Тогда по теореме
о трех перпендикулярах 
Следовательно, 
— искомая
высота.
По условию 
следовательно,
По теореме Фалеса, так как 
и 
то 
Следовательно, 
Значит, 
отсекает от параллелограмма
равнобедренный треугольник, следовательно, 
— биссектриса
угла параллелограмма. Тогда если 
то четырехугольник
— ромб. Значит, 
как его диагонали. Площадь ромба
в два раза меньше площади параллелограмма 
следовательно, 
Тогда по формуле площади ромба
имеем:
Тогда 
По теореме Фалеса 
значит, 
Так как отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными прямыми, равны, то 
Следовательно, по теореме
Пифагора из 
Следовательно,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренный
треугольник 
с основанием 
Точка 
делит ребро 
в
отношении 
а точка 
— середина ребра 
Через
середину 
ребра 
провели плоскость 
перпендикулярную отрезку
а) Докажите, что плоскость 
параллельна ребру 
б) Найдите отношение, в котором плоскость 
делит отрезок 
считая от
точки 
если известно, что 
Источники:
а) Проведем 
Так как 
— равнобедренный с основанием 
то 
— середина 
Так как 
то 
Тогда
следовательно, 
Следовательно, 
— середина
Проведем 
Тогда 
— середина 
Следовательно, так как
то по обратной теореме Фалеса 
Следовательно, 
Так как 
то 
перпендикулярна любой прямой, лежащей в
Заметим, что 
— средняя линия в 
параллельная 
Следовательно, 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная
Следовательно, 
А так как 
то по признаку
Что и требовалось доказать.
б) Так как 
то 
Следовательно,
по теореме Пифагора из 
Проведем 
Тогда 
Следовательно, 
— точка, в которой
пересекает 
Нужно найти 
По свойству прямоугольного
треугольника высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на
отрезки, пропорциональные квадратам катетов:
б) 3:1
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит равнобедренная
трапеция 
с основаниями 
и 
Точка 
делит ребро
в отношении 
а точка 
— середина ребра
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите тангенс угла между плоскостью 
и плоскостью основания
призмы, если 
Источники:
а) Так как 
и 
то грани 
и 
параллельны. Следовательно, плоскость 
пересечет их по параллельным
прямым. Значит, плоскость 
пересечет грань 
по прямой
где 
— точка на ребре 
Продлим 
до пересечения с
прямой 
в точке 
Тогда точка 
являющаяся точкой пересечения 
и 
является одной из вершин сечения призмы плоскостью 
Следовательно, 
— сечение призмы плоскостью 
Так как 
то достаточно доказать, что 
Из условия следует, что 
Пусть также 
Углы
и 
равны как углы между попарно параллельными прямыми.
Следовательно, по катету и острому углу равны 
и 
так как
Следовательно, 
Значит, 
— середина ребра 
следовательно, 
откуда
следовательно, 
значит,
можно обозначить 
По обратной теореме Фалеса, так как 
то
Следовательно, 
откуда 
Что и
требовалось доказать.
б) Так как 
и 
то 
—
параллелограмм. Следовательно, 
Следовательно,
— равнобедренный с углом 
значит, он равносторонний и
Следовательно, 
По теореме Пифагора 
Так как 
и 
то 
— прямоугольник,
следовательно, 
и 
прямоугольный с 
Также
По теореме Пифагора 
Проведем 
Следовательно, треугольник 
прямоугольный и по
теореме Пифагора 
Тогда по теореме Пифагора для 
получаем
Так как 
— линия пересечения плоскостей 
и 
то
проведем 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, 
— угол между 
и 
Его тангенс
равен 
Следовательно, нужно найти 
Заметим, что так как 
равносторонний и 
то
следовательно, 
лежит на продолжении отрезка 
за точку
Рассмотрим 
По теореме косинусов
Тогда по теореме синусов из этого же треугольника
Из прямоугольного 
имеем
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
