14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

а) Пусть точки , — середины ребер и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника , значит, . Аналогично , следовательно .

Значит, точки , , , лежат в одной плоскости, которая параллельна прямой , следовательно, это и есть плоскость .

Так как тетраэдр правильный, его грани — это равные правильные треугольники. Тогда их средние линии попарно равны, в частности, , значит, — ромб.

Рассмотрим треугольники и . В них и , так как тетраэдр правильный. Тогда по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, равны и их медианы, то есть . Следовательно, — квадрат.

б) Площадь квадрата равна

а) Рассмотрим треугольник . В нем , и . Тогда по теореме косинусов:

Отсюда

Рассмотрим треугольник . В нем , и . Тогда по теореме косинусов:

Рассмотрим треугольник . В нем , и . Тогда по теореме косинусов:

Отсюда

б) Заметим, что . Тогда проекцией прямой на плоскость является точка .

Найдем проекцию на плоскость . Пусть точка — такая точка на продолжении отрезка за точку , что . Тогда — проекция точки на , так как — параллелограмм и .

Пусть точка — такая точка на продолжении отрезка за точку , что . Тогда — проекция точки на , так как — параллелограмм и .

Тогда по построению прямая параллельна плоскости и искомое расстояние равно расстоянию между этими прямой и плоскостью. При этом перпендикуляр из точки к прямой по построению перпендикулярен двум прямым плоскости .

Тогда расстояние между прямыми и равно расстоянию между точкой и прямой .

Рассмотрим треугольник . В нем , и . Значит, по теореме Пифагора . Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна . Значит, расстояние между прямыми и равно .

а) Пусть плоскость пересекает ребро в точке По условию значит, она пересекает грань по прямой, параллельной следовательно, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках точка делит ребро в отношении

 

 

б) Пусть плоскость пересекает ребро в точке Аналогично предыдущему пункту получим, что Тогда значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках,

Пусть — середина стороны Тогда — высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника Пусть — точка пересечения и По теореме о пропорциональных отрезках

Пусть — точка пересечения и плоскости Так как то плоскость пересекает плоскость по прямой, параллельной то есть Тогда

Заметим, что так как прямая то искомое расстояние от прямой до прямой равно расстоянию между параллельными прямыми и

 

 

Рассмотрим треугольник пусть — его высота. Тогда прямая делящая стороны и в отношении считая от вершины делит высоту в том же отношении. Значит, расстояние между прямыми и равно

Найдем длины сторон треугольника По условию Отрезок — высота равностороннего треугольника со стороной 9, значит, Отрезок — медиана равнобедренного треугольника значит, и высота. По теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставив значения сторон, найдем

 

 

Рассмотрим треугольник В нем поэтому

Следовательно,

Тогда расстояние между прямыми и равно

а) По условию значит, по теореме о пропорциональных отрезках прямые и параллельны. Поскольку прямая параллельна лежащей в плоскости сечения прямой она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть — середина Проведём и и пусть плоскость пересекает по прямой Тогда и параллельны, а расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до плоскости

Пусть — высота треугольника тогда отрезок перпендикулярен ребру В силу параллельности и отрезки и также перпендикулярны.

Кроме того, ребро перпендикулярно плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и перпендикулярно Но параллельно поэтому и перпендикулярны.

Тем самым прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения. Пусть пересекает в точке Тогда — искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник Найдем длины его сторон. По условию Отрезок — высота равностороннего треугольника со стороной 6, значит, Отрезок — высота равнобедренного треугольника По теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставив значения сторон, найдем

Рассмотрим треугольник В нем поэтому

Следовательно,

Заметим, что в треугольнике прямые и параллельны и значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, следовательно,

Тогда расстояние от точки до плоскости равно

а) Пусть — середина тогда — медиана и высота в равнобедренном треугольнике — медиана и высота в равнобедренном треугольнике

Тогда

Так как лежит в то

б) Рассмотрим треугольник Проведем в нем высоту Заметим, что так как По построению значит, Следовательно, прямая является проекцией прямой на плоскость значит, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямыми и

Найдем угол треугольника

По условию Найдем стороны и Так как — высота равнобедренного треугольника то по теореме Пифагора:

Аналогично — высота равнобедренного треугольника тогда по теореме Пифагора:

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставим найденные ранее значения и вычислим косинус угла

Значит, угол между прямой и плоскостью равен

а) Пусть плоскость пересекает ребро в точке Прямые и параллельны, так как плоскость параллельна значит, по теореме о пропорциональных отрезках

Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, Таким образом, плоскость содержащая прямую параллельна прямой

б) Пусть — середина ребра тогда — медиана и высота в равнобедренном треугольнике — медиана и высота в равностороннем треугольнике Тогда и следовательно,

Плоскость перпендикулярна плоскости параллельной прямой и плоскости содержащей прямую Поскольку плоскость параллельна прямой лежащей в плоскости то искомый угол равен углу между прямой и плоскостью

Рассмотрим треугольник Проведем в нем высоту Заметим, что так как По построению значит, Следовательно, прямая является проекцией прямой на плоскость Значит, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямыми и

Найдем угол треугольника По условию Найдем стороны и Отрезок — высота равностороннего треугольника со стороной, равной 6 по условию, значит,

Отрезок — высота равнобедренного треугольника тогда по теореме Пифагора

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставим найденные ранее значения и вычислим косинус угла

Значит, угол между плоскостью и плоскостью равен

а) Пусть плоскость пересекает ребра и в точках и соответственно, а точка — середина ребра . Тогда — медиана и высота в равнобедренном треугольнике , — медиана и высота в равностороннем треугольнике . Значит, и , следовательно, . Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, значит, .

Плоскость , параллельная прямой , пересекает плоскости и по прямым и , значит, и . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

Значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые и параллельны прямой . Таким образом, является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым и соответственно, то есть — прямоугольник.

б) Прямая , параллельная прямой , перпендикулярна плоскости , значит, плоскости и перпендикулярны.

Пусть плоскость пересекает прямые и в точках и соответственно. Тогда высота пирамиды равна расстоянию между точкой и прямой .

Пусть — высота правильной пирамиды , тогда лежит в плоскости и . — медиана равностороннего треугольника со стороной 6, значит,

Найдем косинус и синус угла :

Пусть — перпендикуляр, опущенный из точки на прямую . Тогда

— катет прямоугольного треугольника . Гипотенуза треугольника равна

так как по теореме о пропорциональных отрезках (, ) точка делит в отношении .

Тогда можем найти :

Найдем . Так как в треугольнике ,

Найдем . Так как в треугольнике ,

Найдем объем пирамиды :

а) Пусть плоскость пересекает ребра и в точках и соответственно. По условию значит, она пересекает плоскость содержащую прямую по прямой, параллельной то есть Тогда — прямоугольник, следовательно,

Четырехугольник — квадрат, то есть значит, следовательно, и

б) По теореме о пропорциональных отрезках так как По предыдущему пункту Тогда плоскости и параллельны, так как образованы двумя парами параллельных прямых. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми и равно расстоянию между параллельными плоскостями и содержащими их.

Пусть точки и — середины и соответственно. Рассмотрим треугольник пусть — его высота.

Заметим, что — высота и медиана равнобедренного треугольника значит, Так как — средняя линия квадрата то Тогда

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, следовательно, По построению значит, Так как то

Пусть плоскость пересекает в точке , тогда расстояние между и равно длине отрезка

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и

Аналогично предыдущему пункту можем получить, что

По условию значит, она пересекает плоскость содержащую прямую по прямой, параллельной то есть

Рассмотрим треугольник В нем и значит, по теореме о пропорциональных отрезках

Рассмотрим треугольник В нем значит, по обратной теореме о пропорциональных отрезках Тогда рассмотрим треугольник и аналогично получим, что следовательно,

Найдем Отрезок — высота треугольника Найдем стороны треугольника Имеем Отрезки и — высоты равных равнобедренных треугольников и Тогда по теореме Пифагора

Пусть тогда По теореме Пифагора для треугольников и

Тогда имеем уравнение:

Найдем отрезки и

а) Плоскость параллельна прямой значит, плоскость пересекает по прямой, параллельной Пусть пересекает ребро в точке тогда а значит, Таким образом, — средняя линия треугольника

Рассмотрим сечение Это трапеция, так как Также Тогда, если — точка пересечения диагоналей трапеции треугольники и подобны с коэффициентом 2.

Пусть точки и — середины и соответственно. — точка пересечения и Тогда — середина значит, — отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Тогда точка пересечения диагоналей лежит на нем, значит,

Рассмотрим треугольник в плоскости Заметим, что и — медианы этого треугольника. Пусть — точка их пересечения. Тогда

Мы получили, что точки и делят отрезок в отношении значит, они совпадают, то есть точка лежит на

б) Плоскость сечения образована параллельными прямыми и так как и Тогда Значит, углов между прямой и плоскость. равен углу между прямыми и то есть углу

Найдем стороны треугольника Так как — медиана равностороннего треугольника

— медиана треугольника значит, По теореме Пифагора для треугольника

— медиана треугольника , значит, . По теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставив найденные значения, получаем:

а) Пусть — проекция точки на плоскость нижнего основания. Так как пересекает ось цилиндра, то лежит в плоскости осевого сечения цилиндра, следовательно, — диаметр нижнего основания.

Так как и — перпендикулярные основаниям образующие, то — параллелограмм и Тогда угол между прямыми и — это и есть по определению угол между скрещивающимися прямыми и С учетом того, что — диаметр, получаем как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

 

б) Заметим, что прямые и являются скрещивающимися, так как а Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости Проведем в плоскости Так как высота цилиндра то

Таким образом, мы имеем две прямые в плоскости которые перпендикулярны прямой Значит, — расстояние от точки до плоскости то есть искомое расстояние.

Так как и — параллелограмм, то Тогда по теореме Пифагора в треугольнике

Тогда запишем площадь треугольника двумя способами и найдем

Таким образом,

а) Отрезки и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм и Тогда угол между пересекающимися прямыми и — это и есть угол между скрещивающимися прямыми и

Рассмотрим треугольник Все его стороны являются диагоналями равных квадратов — граней куба. Следовательно, треугольник — равносторонний и искомый угол равен

б) Так как прямые и скрещиваются, то для нахождения расстояния между ними построим через каждую из прямых плоскость, параллельную другой прямой. Тогда расстояние между двумя полученными параллельными плоскостями равно расстоянию между прямыми.

Мы уже доказали, что следовательно, плоскость содержит и параллельна По аналогичным соображениям плоскость параллельна прямой и плоскости

Пусть — точка пересечения прямой с плоскостью а — точка пересечения прямой с плоскостью Тогда если прямая перпендикулярна паре параллельных плоскостей, то длина отрезка равна расстоянию между плоскостями и искомому расстоянию между прямыми.

Докажем, что и найдем длину

Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то прямая перпендикулярна проекции наклонной откуда по теореме о трех перпендикулярах имеем Пусть — точка пересечения и Несложно видеть, что точка пересечения прямой и плоскости также является точкой пересечения прямых и в плоскости

Диагональ квадрата со стороной 6 равна тогда Также по теореме Пифагора для треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Оба угла острые, значит, равенство тангенсов влечет равенство самих углов.

Рассмотрим треугольники и У них — общий, следовательно,

В итоге прямая перпендикулярна прямым и а значит, перпендикулярна плоскости Найдем длину как высоту в прямоугольном треугольнике

Из соображений симметрии плоскость отсекает от диагонали куба отрезок равный Общая длина диагонали равна значит, оставшаяся средняя часть диагонали равна

Как было доказано, длина этого отрезка равна искомому расстоянию между прямыми и

а) Проведем медианы и в треугольниках и соответственно. Тетраэдр правильный, следовательно, его грани — равносторонние треугольники и медианы будут также являться высотами, то есть и Тогда прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости Значит, прямая перпендикулярна плоскости и перпендикулярна любой прямой плоскости в частности, прямой

б) Прямая перпендикулярна плоскости Опустим перпендикуляр на Тогда и искомый угол между прямыми и есть угол между прямыми и то есть угол

Обозначим ребро тетраэдра через Тогда высота равностороннего треугольника его грани равна

Посмотрим на медиану треугольника Точка — центр треугольника, а значит, и точка пересечения медиан. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении считая от вершины, следовательно,

Точка — середина точка — проекция точки на плоскость Следовательно, проекция точки на плоскость — точка — будет являться серединой Таким образом, и

По теореме Пифагора дла треугольника

Отрезок как высота в треугольнике Тогда из прямоугольного треугольника

а) Обозначим за плоскость из условия. Так как то плоскость пересечет плоскость по прямой, параллельной Следовательно, проведем

Так как потому что пирамида правильная, то также параллельна Следовательно, аналогично предыдущему рассуждению, проведем Получим сечение

Так как то с коэффициентом подобия Следовательно,

Аналогично с коэффициентом подобия Следовательно,

Тогда и из построения следует, что Значит, сечение представляет собой трапецию.

Так как то по теореме Фалеса

Аналогично получаем

Следовательно, так как грани и равны, то и отрезки и равны. Таким образом, трапеция равнобедренная.

б) Найдем боковую сторону трапеции. Для этого рассмотрим боковую грань

Так как все ребра пирамиды равны, то равносторонний, следовательно, Кроме того, По теореме косинусов в треугольнике имеем:

Теперь рассмотрим трапецию

Проведем высоту Тогда по свойству равнобедренной трапеции имеем:

Следовательно, по теореме Пифагора

Тогда искомая площадь сечения равна

а) Пусть — плоскость сечения пирамиды. По свойству правильной пирамиды Так как ребро перпендикулярно плоскости то оно перпендикулярно любой прямой из этой плоскости. Следовательно, где — середина ребра

Тогда — медиана и высота в то есть этот треугольник равнобедренный и С учетом получили, что — равносторонний и Но это и есть угол между боковым ребром и плоскостью основания.

б) Проведем еще одну прямую, пересекающую и перпендикулярную Тогда плоскость, проходящая через эту прямую и прямую и есть плоскость

Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная также перпендикулярна

Следовательно, если провести через точку пересечения прямых и прямую параллельно то Таким образом, — искомое сечение.

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах Тогда с учетом имеем Следовательно,

Рассмотрим В нем имеем:

Отсюда по теореме Пифагора

Так как и — медианы в то

Так как то

Тогда искомая площадь сечения равна

а) Заметим, что отрезки и пересекаются и своей точкой пересечения делятся пополам по свойству параллелепипеда. Обозначим их точку пересечения за Следовательно, лежит и в плоскости и в плоскости Проведем в плоскости прямую через точку параллельно Значит, — середина — середина

Так как по признаку прямая параллельна плоскости, когда она параллельна некоторой прямой из этой плоскости, то прямая параллельна любой плоскости, проходящей через Следовательно, плоскость — это плоскость, проходящая через прямые и

Соединив последовательно точки получим сечение По условию оно является ромбом, следовательно,

Докажем, что Отсюда будет следовать, что — квадрат. Это так, поскольку из того, что прямоугольный параллелепипед, уже следует, что — прямоугольник.

По теореме Пифагора и Так как как половины боковых ребер, а по условию, то и Что и требовалось доказать.

б) Проведем — линия пересечения плоскостей и Заметим, что точка будет лежать на продолжении за точку Так как то по теореме о трех перпендикулярах наклонная тоже будет перпендикулярна Следовательно, построенный таким образом угол и есть угол между плоскостями и Обозначим его за

По теореме Пифагора из Заметим, что по двум углам, значит,

Отсюда находим, что Тогда из прямоугольного

а) Докажем, что (отсюда будет следовать, что прямые и лежат в одной плоскости).

Так как по условию, то по теореме, обратной теореме Фалеса,

 

Так как — середины и то — средняя линия, следовательно, Следовательно, Что и требовалось доказать.

б) Отметим — середину Рассмотрим пирамиду Заметим, что так как а также так как (две пересекающиеся прямые и одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым и другой плоскости, то такие плоскости параллельны), то высота пирамиды относится к высоте пирамиды как (пусть ).

Заметим также, что с коэффициентом 2 (так как в два раза меньше соответственно как средние линии в ).

Следовательно, Таким образом,

Значит,

 

 

Заметим, что — усеченная пирамида, основания которой — подобные треугольники и ( а следовательно, ). Так как и то

Следовательно, Заметим, что высота усеченной пирамиды равна

Продлим до пересечения в точке

Аналогично как с пирамидами и высота пирамиды относится к высоте пирамиды как Найдем отношение Из подобия

Значит, пусть высота равна тогда высота равна (отсюда следует, что — высота усеченной пирамиды то есть ).

Следовательно,

Значит,

Также

Следовательно,

Следовательно, объем всего многогранника отсекаемого от пирамиды синей плоскостью, равен

Тогда объем пирамиды делится в отношении, равном

а) Так как то по теореме о трех перпендикулярах как наклонная. Следовательно, — прямоугольный.

 

б) Заметим, что и следовательно, по признаку Тогда — высота пирамиды с основанием

Так как прямоугольный, то

По теореме Пифагора имеем:

Тогда искомый объем пирамиды равен

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости. Так как , то в плоскости можно провести прямую (тогда ). Аналогично в плоскости можно провести (). Следовательно, из одной точки к плоскости проведены две прямые, перпендикулярные ей, что возможно только в том случае, если эти прямые совпадают, то есть . Следовательно, – общая прямая для двух плоскостей и . Следовательно, совпадает с .

Таким образом, . Следовательно, – высота пирамиды .
Так как , то . Следовательно, и , то есть перпендикулярна двух пересекающимся прямым из плоскости , значит, . Тогда плоскость проходит через прямую, перпендикулярную плоскости , следовательно, , чтд.

 

б) По теореме Фалеса

Следовательно, прямоугольный и равнобедренный, следовательно,

Тогда

а) Пусть — точка пересечения диагоналей прямоугольника Тогда — высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то Следовательно, откуда Обозначим

 

Рассмотрим грань Проведем Тогда Тогда

Рассмотрим грань Проведем Тогда Тогда

Следовательно, Что и требовалось доказать.

б) По условию В грани имеем так как — средняя линия в Следовательно, Тогда по определению — линейный угол двугранного угла, образуемого гранями и Найдем его по теореме косинусов из

 

Так как то по теореме Пифагора из

По теореме Пифагора из

По теореме Пифагора из

Следовательно, по теореме косинусов из

Тогда угол между гранями и равен

а) Заметим, что так как и то Следовательно, если — наклонная, то — проекция этой наклонной на плоскость

Так как по условию наклонная перпендикулярна то по теореме о трех перпендикулярах проекция также перпендикулярна то есть

Следовательно, — прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. Тогда это — квадрат, то есть Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) следует, что так как и Следовательно, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, если провести в этой плоскости прямую, перпендикулярную то она будет перпендикулярна и и Тогда по определению это и будет прямая, содержащая отрезок, равный расстоянию между и Поэтому проведем Тогда — искомое расстояние.

Заметим, что по двум углам, следовательно,

Так как из условия то и Так как по доказанному — квадрат со стороной то диагональ и

По теореме Пифагора для треугольника

По теореме Пифагора для треугольника

Тогда и окончательно имеем: