Тема 14. Задачи по стереометрии

14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 141#24401Максимум баллов за задание: 3

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $√ - 5 2,$ высота призмы равна $√ -- 2 14.$ Точка $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольник $BB1D1.$ Через точку $K$ проведем среднюю линию $KL,$ параллельную стороне $BD1.$ Тогда точка $L$ лежит в плоскости $α.$

Диагонали $A1C1$ и $B1D1$ квадрата $A1B1C1D1$ точкой пересечения делятся пополам, то есть они пересекаются в точке $L.$ Тогда прямая $A1C1$ лежит в плоскости $α,$ значит, $△ A1KC1$ — искомое сечение.

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A1B1K$ и $C1B1K.$ У этих треугольников катеты $A1B1$ и $C1B1$ равны, а катет $B1K$ — общий. Значит, $△ A1B1K = △C1B1K.$ В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому $A1K = C1K,$ следовательно, треугольник $A1KC1$ — равнобедренный.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1C1 :$

2 2 2 A1C1 = A1B1 + C1B1 = =(5√2-)2+ (5√2)2 = 100 ⇒ A1C1 = 10

По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1K :$

( √-)2 (2√14-)2 A1K2 = A1B21 + B1K2 = 5 2 + --2-- = = 50+ 14= 64 ⇒ A1K = 8

$PIC$

Тогда периметр $P A1KC1$ треугольника $A KC 1 1$ равен

PA1KC1 = A1C1+ A1K + C1K = = A1C1 + 2A1K = 10 +2 ⋅8= 26

Ответ: б) 26

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 142#25084Максимум баллов за задание: 3

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны 5. На рёбрах $SA,$ $AB,$ $BC$ взяты точки $P,$ $Q$ и $R$ соответственно так, что $PA = AQ = RC = 2.$

a) Докажите, что плоскость $(PQR )$ перпендикулярна ребру $SD.$

б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $(P QR).$

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

а) Докажем, что $SD ⊥ P Q.$ Рассмотрим треугольник $AP Q$ в плоскости $(ASB ).$ Он равносторонний, так как $∘ ∠P AQ = 60$ и $AP = AQ = 2$ по условию. Тогда $∠AP Q= 60∘.$

Треугольник $ASB$ равносторонний по условию, то есть $∠ASB = 60∘.$ Тогда прямые $PQ$ и $SB$ параллельны, так как равны соотвественные углы $∠AP Q$ и $∠ASB$ при прямых $P Q$ и $SB$ и секущей $AS.$

Рассмотрим треугольник $BSD.$ Его стороны равны $SB = SD = 5$ и $BD = 5√2$ как диагональ квадрата со стороной 5, то есть

2 2 2 BD = SB + SD

Тогда по обратной теореме Пифагора треугольник $BSD$ прямоугольный и $SD ⊥ SB.$ Следовательно, $SD ⊥ P Q,$ так как $P Q∥ SB.$

$PIC$

Докажем, что $SD ⊥ QR.$ Рассмотрим треугольник $BQR$ в плоскости $(ABC ).$ Он прямоугольный равнобедренный, так как $∠QBR = 90∘$ и

BQ = BR = 5− 2= 3

Тогда $∠BQR = 45∘.$

Треугольник $BAC$ прямоугольный и равнобедренный, так как $AC$ — диагональ квадрата $ABCD.$ Тогда $∠BAC = ∠BQR,$ значит, прямые $QR$ и $AC$ параллельны.

Далее, диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ перпендикулярна диагонали $BD.$ Пусть их пересечение — точка $O.$ Тогда $SO$ — высота правильной пирамиды $SABCD,$ то есть $SO ⊥(ABC ).$

Тогда по теореме о трех перпендикулярах $AC ⊥ SD.$ Следовательно, $SD ⊥ QR.$ Получаем, что $SD ⊥ QR$ и $SD ⊥ P Q,$ значит, $SD ⊥ (P QR).$

б) В предыдущем пунке мы доказали, что $SD ⊥ (P QR).$ Пусть плоскость $(PQR )$ пересекает ребро $SD$ в точке $E.$ Тогда расстояние от точки $D$ до плоскости $(P QR )$ равно длине отрезка $DE.$

Поскольку $SD ⊥ (PQR ),$ то прямая $SD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(P QR),$ в частности, $SD ⊥ P E.$

$PIC$

Рассмотрим треугольник $PSE$ в плоскости $(ASD ).$ В нем имеем:

SP = SA− AP = 5 − 2 =3 ∠P SE =∠ASD = 60∘, ∠SEP = 90∘

Тогда отрезок $SE$ равен

SE = SP cos∠P SE = 3⋅cos60∘ = 3 2

Значит, искомое расстояние равно

3 7 DE = SD − SE = 5− 2 = 2

Ответ:

б) $7 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 143#25085Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна 24, а боковое ребро $SA$ равно 19. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

a) Докажите, что плоскость $α$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:1,$ считая от точки $C.$

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

а) Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $(ABC ),$ $′ M$ и $′ N$ — точки пересечения плоскости $α$ с ребрами $AC$ и $BC$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через $MN$ и $M ′N′.$

Пусть $H$ — точка пересечения $SE$ и $MN,$ $H′$ — её проекция на плоскость $(ABC ).$ Тогда $H ′$ лежит на $CE$ и $M ′N′.$

Так как $MN$ — средняя линия в треугольнике $SAB,$ то $H$ — середина $SE$ в силу подобия треугольников $SBE$ и $SNH$ по двум углам.

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $SEO$ и $′ HEH .$ У них $∠SEO$ — общий, следовательно, треугольники $SEO$ и $′ HEH$ подобны по двум углам, откуда

EH ′ EH 1 EO--= -ES = 2

Так как пирамида $SABC$ правильная, то $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC,$ следовательно,

EO = 1⋅CE ⇒ EH ′ = 1 ⋅EO = 1 ⋅CE 3 2 6

Тогда получаем

CH-′= 5 H ′E 1

б) Прямая $MN$ параллельна плоскости $(ABC ),$ поэтому сечение пересекает плоскость $(ABC )$ по прямой $′ ′ M N ,$ параллельной $MN.$ Тогда $′ ′ M MNN$ — трапеция и $1 MN = 2AB =12$ как средняя линия треугольника $ABS.$

Рассмотрим треугольники $M ′N ′C$ и $ABC.$ Они подобны, так как $M ′N ′ ∥AB,$ и по предыдущему пункту их коэффициент подобия равен $CH ′ :CE = 5:6.$ Значит,

M ′N ′ = 5AB = 20 6

Рассмотрим треугольник $SCO.$ Он прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

∘ ---------- ∘ ------(----)2 SO = SC2 − CO2 = SC2 − 2CE = ∘ --------------- 3 2 (2-⋅12√3-)2 √ -------- √ --- = 19 − 3 = 361 − 192 = 169= 13

$PIC$

Поскольку $HH ′$ — средняя линия треугольника $SEO,$ то

HH ′ = 1SO = 13 2 2

Тогда площадь трапеции $′ ′ M MNN$ равна

MN + M ′N ′ SM′MNN ′ =-----2-----⋅HH ′ = 12-+20 13 13 = 2 ⋅2 = 16⋅ 2 = 8⋅13= 104

Ответ:

б) 104

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 144#822Максимум баллов за задание: 3

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ все ребра равны 5. На его ребре $BB1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что $A1P :PB1 =1 :2,$ где $P$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A1B1.$

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2015, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1$ , содержащей $BD1$ , прямую $KN ∥ BD1$ . Пусть $N$ – точка пересечения с отрезком $B1D1$ .

$PIC$

Соединив точки $C1$ и $N$ , получим прямую, пересекающую $A1B1$ в точке $P$ .

Т.к. $KN ∥ BD1$ , то по теореме Фалеса

B1N-= B1K- = 2. ND1 KB 3

Теперь рассмотрим грань $A1B1C1D1$ . $△NB1P ∼ △ND1C1$ , следовательно,

PB1 B1N 2 2 2 C1D1-= ND1-= 3 ⇒ PB1 = 3C1D1 = 3A1B1.

Следовательно, $1 A1P = 3A1B1$ и $A1P :PB1 =1 :2$ .

б) Для того, чтобы найти объем большей из частей, на которые плоскость поделила куб, найдем объем куба и вычтем из него объем пирамиды $P B1KC1$ .
Заметим, что если рассматривать эту пирамиду как пирамиду с вершиной $P$ и основанием $B KC 1 1$ , то она является прямоугольной ( $PB1 ⊥ (B1KC1 )$ ). То есть $PB1$ – ее высота, $△B1KC1$ – основание, являющееся прямоугольным треугольником.

1 1 1 2 1 50 VPB1KC1 = 3 ⋅PB1 ⋅2KB1 ⋅B1C1 = 3 ⋅3 ⋅5⋅2 ⋅2⋅5=-9 .

Объем куба

3 VABCDA1B1C1D1 = 5 = 125.

Тогда объем большей части равен

50 1075 V = 125− 9 = 9 .

Ответ:

б) $1075- 9$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 145#823Максимум баллов за задание: 3

а) Докажите, что $A1P :PB1 =1 :2,$ где $P$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A1B1.$

б) Найдите угол наклона плоскости $α$ к плоскости грани $BB1C1C.$

Источники: ЕГЭ 2015, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1,$ содержащей $BD1,$ прямую $KN ∥ BD1.$

Пусть $N$ — точка пересечения с отрезком $B1D1.$ Соединив точки $C1$ и $N,$ получим прямую, пересекающую $A1B1$ в точке $P.$

Так как $KN ∥BD1,$ то по теореме Фалеса

B1N- B1K- 2 ND1 = KB = 3

$PIC$

Теперь рассмотрим грань $A1B1C1D1.$ Так как $△NB1P ∼ △ND1C1,$ то

PB1--= B1N-= 2 ⇒ PB1 = 2C1D1 = 2A1B1 C1D1 ND1 3 3 3

Следовательно,

1 A1P = 3A1B1 ⇒ A1P :PB1 =1 :2

б) Для того, чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Так как $KC 1$ — линия пересечения этих плоскостей, то опустим перпендикуляр $PH$ на $KC1.$

Поскольку $P B1 ⊥ (BB1C1)$ и наклонная $P H ⊥ KC1,$ то по теореме о трех перпендикулярах проекция $B1H ⊥ KC1.$ Следовательно, по определению $∠PHB1$ — линейный угол двугранного угла, образованного данными плоскостями. Его и нужно найти.

Заметим, что $△P HB1$ прямоугольный, отрезок $PB1$ известен, следовательно, найдя отрезок $B1H,$ мы сможем найти тангенс нужного угла.

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B1KC1,$ в котором $B1H$ — высота. По теореме Пифагора имеем:

∘ ----------- ∘------ √ -- KC1 = KB21 + B1C21 = 22+ 52 = 29

Следовательно,

1 1 -10- SB1KC1 = 2KB1 ⋅B1C1 = 2B1H ⋅KC1 ⇒ B1H = √29

Тогда найдем искомый угол:

√ -- √ -- PB1- -103 --29 --29- tg∠P HB1 = B1H = 1√029 = 3 ⇒ ∠P HB1 = arctg 3

Ответ:

б) $√29 arctg -3--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 146#824Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $30$ , а боковое ребро $SA$ равно $28$ . Точки $M$ и $N$ – середины ребер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $M N$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $α$ делит медиану основания $CE$ в отношении $5 : 1$ , считая от точки $C$ .

б) Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $α$ .

Источники: ЕГЭ 2015, резервный день

Показать ответ и решение

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Проведем прямую, принадлежащую плоскости $α$ и перпендикулярную плоскости основания.
$SE$ – медиана боковой грани, $K$ – точка пересечения $M N$ и $SE$ , $SO$ – высота пирамиды (по свойству правильной пирамиды высота падает в точку пересечения медиан основания). Рассмотрим плоскость $CSE$ . Проведем в ней прямую $KH ∥ SO$ . Тогда $KH$ так же, как и $SO$ , будет перпендикулярна $(ABC )$ . Следовательно, плоскость $M HN$ и есть плоскость $α$ .

$PIC$

Построим сечение пирамиды этой плоскостью.
Плоскость $α$ пересечет плоскость $(ABC )$ по прямой $P R$ , параллельной $AB$ , а значит и $M N$ . Действительно, если $P R$ не параллельно $M N$ , то они пересекаются. Следовательно, $M N$ пересекает и плоскость $ABC$ , что невозможно, т.к. $M N ∥ (ABC )$ по признаку (т.к. $M N ∥ AB$ ). Таким образом, $M N PR$ – сечение пирамиды плоскостью $α$ .

Заметим, что $K$ – середина $SE$ . По теореме Фалеса

OH SK 1 ---- = ---- = 1 ⇒ HE = -OE. HE KE 2

Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины треугольника, то $1 OE = 2CO$ . Следовательно, $1 HE = 4CO$ . Следовательно, $CO = 4HE$ , следовательно, $CH = 4HE + OH = 4HE + HE = 5HE$ , откуда следует утверждение пункта а).

б) Прямая $AB$ параллельна плоскости $α$ (т.к. $AB ∥ P R$ ), следовательно, расстояние от любой точки прямой $AB$ до плоскости $α$ одинаково. Поэтому будем искать это расстояние как расстояние от точки $E$ . Докажем, что $EH$ и есть искомое расстояние.
Во-первых, $HE ⊥ AB$ , $AB ∥ PR$ , следовательно, $HE ⊥ P R$ . Во-вторых, т.к. $KH ⊥ (ABC )$ , то $KH ⊥ HE$ . Таким образом, мы нашли две пересекающиеся прямые в плоскости $α$ ( $P R$ и $KH$ ), перпендикулярные $EH$ . Следовательно, по признаку $EH ⊥ α$ .

Из пункта а) следует, что $EH = 16CE$ . $CE$ – высота в правильном треугольнике со стороной $30$ , следовательно,

√ -- √ -- --3- 1- √-- 5--3- CE = 2 ⋅ 30 ⇒ EH = 6 ⋅ 15 3 = 2 .

Заметим, что в данной задаче условие “боковое ребро $SA$ равно $28$ ” является лишним.

Ответ:

$√ -- 5---3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 147#2115Максимум баллов за задание: 3

Основанием прямой четырехугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3√2,$ высота призмы равна $2√7.$ Точка $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2015, резервный день

Показать ответ и решение

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1,$ содержащей $BD1,$ прямую $KO ∥ BD1.$

Пусть $O$ — точка пересечения с отрезком $B1D1.$ Так как $KO ∥BD1,$ то по теореме Фалеса

B1O B1K OD1- = KB--= 1

$PIC$

Следовательно, $O$ — середина $B1D1.$ Так как $A1B1C1D1$ — квадрат, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $A C 1 1$ содержит $O.$

Таким образом, треугольник $A1KC1$ — искомое сечение. Из равенства боковых граней следует, что отрезки $KC1$ и $KA1$ равны, то есть треугольник $A1KC1$ равнобедренный.

б) Найдем отрезок $KA1$ по теореме Пифагора:

∘ ----------- ∘ (√-)2--(-√-)2- KA1 = KB21 + B1A21 = 7 + 3 2 =5

Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√ - 2,$ следовательно,

√ - A1C1 = A1B1⋅ 2= 6

Таким образом, искомый периметр равен

PA1KC1 = 5+ 5+ 6= 16

Ответ: б) 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 148#2315Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ с основанием $ABC$ стороны основания равны $6$ , а боковые ребра $8$ . На ребре $AC$ находится точка $D$ , на ребре $AB$ находится точка $E$ , а на ребре $AM$ – точка $L$ . Известно, что $CD = BE = LM = 2$ . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $E$ , $D$ , $L$ .

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

1) Заметим, что $△EDL$ есть сечение пирамиды плоскостью $EDL$ . Так как $BE = CD = 2$ и $AB = AC = 6$ , то $AE = AD = 4$ . Следовательно, $△AED ∼ △ABC$ по двум пропорциональным сторонам ( $AE : AB = AD : AC$ ) и углу между ними. Следовательно, $△AED$ тоже равносторонний, откуда $ED = AE = 4$ .

2) Заметим, что так как пирамида правильная, то $∠LAE = ∠LAD$ и $△LAE = △LAD$ . Следовательно, $LE = LD$ .

Рассмотрим грань $AM B$ . По теореме косинусов из $△AM B$ :

2 2 2 cos∠A = AM---+-AB---−--M-B---= 64-+-36-−-64-= 3- 2 ⋅ AM ⋅ AB 2 ⋅ 8 ⋅ 6 8

По теореме косинусов из $△LAE$ :

LE2 = AL2 + AE2 − 2 ⋅ AL ⋅ AE ⋅ cos ∠A = 36 + 16 − 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 3-= 34. 8

3) Рассмотрим $△EDL$ .

$PIC$

Он, как мы уже говорили, равнобедренный. Пусть $LO$ – высота, опущенная к основанию. Тогда

√ --- LO2 = LE2 − EO2 = 34 − 4 = 30 ⇒ LO = 30

Следовательно, площадь

1 √ --- S△EDL = --⋅ LO ⋅ ED = 2 30. 2

Ответ:

$√ --- 2 30$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 149#27471Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ с вершиной $M$ сторона основания $AB$ равна 6. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK :KB = 5:1.$

a) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью $(MKC )$ в отношении $5:1.$

б) Сечение $MKC$ является равнобедренным треугольником с основанием $MK.$ Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Источники: ЕГЭ 2014

Показать ответ и решение

а) Плоскость $(MKC )$ делит пирамиду $MABC$ на пирамиды $MAKC$ и $MBKC.$ Высоты данных пирамид совпадают с высотой пирамиды $MABC,$ пусть $h$ — ее длина. Тогда

1 1 VMAKC = 3 ⋅h ⋅SAKC, VMBKC = 3 ⋅h⋅SBKC

Следовательно,

1 VMAKC-= 3 ⋅h⋅SAKC-= SAKC- VMBKC 13 ⋅h⋅SBKC SBKC

$PIC$

Заметим, что треугольники $AKC$ и $BKC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $C,$ значит,

VMAKC-- SAKC- AK-- 5 VMBKC = SBKC = BK = 1

б) По условию $AK :KB = 5:1$ и $AB = 6,$ значит, $AK =5$ и $BK = 1.$ Запишем теорему косинусов для треугольника $CKB$ с углом $∠KBC = 60∘,$ так как $△ ABC$ — равносторонний:

CK2 = BC2 + BK2 − 2⋅BC ⋅BK cos∠KBC

Отсюда получаем

∘ --------------1 √-- CK = 36+ 1− 2⋅6⋅1⋅ 2 = 31

Тогда по условию $CM = CK = √31.$ Пусть $AN$ — высота треугольника $AMC.$

Рассмотрим треугольники $ANC$ и $BNC.$ В них $∠MCA = ∠MCB,$ так как пирамида $MABC$ правильная, $AB = BC$ и $CN$ — общая сторона. Тогда $△ ANC = △BNC.$ В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит, $∘ ∠ANC = ∠BNC = 90 .$

$PIC$

Тогда исхомый угол между плоскостями равен углу $ANB.$ Из равенства треугольников $ANC$ и $BNC$ знаем, что $AN = BN.$

Найдем длину $BN.$ Для этого запишем теорему косинусов для треугольника $BMC :$

$BM2 = CM2 + BC2 − 2⋅CM ⋅BC cos∠NCB BC2 =2 ⋅CM ⋅BC cos∠NCB √ -- cos∠NCB = -BC--= 3--31- 2CM 31$

В прямоугольном треугольнике $BNC$ имеем:

CN 18√31- cos∠NCB = BC- ⇒ CN = BC cos∠NCB = -31--

Тогда по теореме Пифагора

∘---------- ∘ ----182 ∘ ----9- 6 √----- BN = BC2 − CN2 = 36− 31-= 6 1− 31 = 31 22⋅31

$PIC$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника $ANB :$

$AB2 = AN2 +BN2 − 2 ⋅AN ⋅BN cos∠ANB AB2 = 2AN2 − 2AN2 cos∠ANB cos∠ANB = 1− -AB2- 2AN2$

Подставим найденные ранее значения и найдем угол $ANB :$

36 31 13 13 cos∠ANB = 1− 2⋅36⋅ 22-= 1− 44 = 44 ⇒ ∠ANB = arccos44 31

Ответ:

б) $13 arccos44$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 150#27472Максимум баллов за задание: 3

Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B,$ делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:3.$

a) Докажите, что угол $∠AP B$ меньше $60∘.$

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $(ABP ).$

Источники: ЕГЭ 2014

Показать ответ и решение

а) Пусть $O$ — центр окружности основания. Тогда $AO = BO = 6.$ Рассмотрим меньшую дугу $AB.$ Ее длина составляет $1 4$ длины всей окружности, значит, $∠AOB = 90∘.$ Тогда в треугольнике $AOB :$

∘ ---------- √ ----- √ - √- AB = AO2 +BO2 = 2AO2 = AO 2= 6 2

Заметим, что $√ - √-- AB = 6 2= 72 <9,$ значит, в равнобедренном треугольнике $ABP$ сторона $AB$ является наименьшей и $∠AP B < 60∘.$

$PIC$

б) Сечением конуса плоскостью $(ABP )$ является треугольник $ABP.$ Пусть $M$ — середина $AB.$ Тогда $√- AM =BM = 3 2.$ Заметим, что так как $ABP$ — равнобедренный, то $PM$ является высотой и медианой треугольника $ABP.$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AP M :$

PM = ∘AP--2−-AM2-= √81-− 18-= √63= 3√7

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABP :$

SABP = 1⋅PM ⋅AB = 1⋅3√7-⋅6√2= 9√14- 2 2

Ответ:

б) $√ -- 9 14$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3