14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма

а) Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок, перпендикулярный обеим прямым, концы которого лежат на этих прямых. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Проведем Тогда (плоскость — это плоскость ), следовательно, Поэтому построим отрезок один конец которого лежит на прямой а другой — в плоскости так, чтобы этот отрезок был перпендикулярен Тогда этот отрезок будет параллелен общему перпендикуляру к и а длина его будет равна длине общего перпендикуляра.

(Заметим, что плоскость пересекает параллелепипед по многоугольнику )

Пусть Так как а то следовательно, Тогда и следовательно, следовательно, Заметим, что (так как ), а общий перпендикуляр к прямым и параллелен отрезку Следовательно, этот общий перпендикуляр параллелен грани то есть не имеет с ней общих точек. Что и требовалось доказать.

б) как прямоугольные по острому углу: как вертикальные. Следовательно,

а) Заметим, что следовательно, Проведем через точку прямую Тогда перпендикулярна двум пересекающимся прямым и следовательно, перпендикулярна плоскости, построенной на этих прямых. Значит, и

Пусть Тогда следовательно, Следовательно, как прямоугольные по острому углу и равным катетам Следовательно, Следовательно, так как по условию то откуда следует, что то есть Что и требовалось доказать.

б) 1. Так как то можно принять Тогда — ребро куба.

Вспомним, что для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и нужно провести плоскость перпендикулярно прямой спроецировать прямую на эту плоскость и найти расстояние от точки пересечения прямой с этой плоскостью до проекции прямой (см. рис.)

Из пункта а) следует, что плоскость, перпендикулярная прямой уже найдена — это плоскость Сечение куба этой плоскостью — прямоугольник (прямоугольник, так как следовательно, а ).

Точка пересечения прямой с — точка

2. Осталось найти проекцию прямой на Для этого спроецируем точки и на нее.

Найдем проекцию на плоскость Проведем тогда Пусть значит, — проекция на Заметим сразу, что

Найдем проекцию на плоскость Проведем следовательно, а значит Тогда — проекция точки на Проведем через точку как показано на рисунке:

Тогда — проекция точки на

3. Опустим перпендикуляр из точки на Получим отрезок Это и есть искомое расстояние.

Заметим, что если то как прямоугольные по общему острому углу Следовательно,

Необходимо выразить отрезки и через

4. Найдем необходимые отношения.

Так как — середина то по теореме Фалеса

— высота, опущенная из вершины прямого угла следовательно,

Пусть Так как по свойству высоты из прямого угла то получаем квадратное относительно уравнение:

Тогда

Заметим, что следовательно,

По теореме Фалеса

Заметим, что

как прямоугольные по двум катетам. Следовательно,

Тогда

Значит,

Так как — прямоугольник, то следовательно,

Тогда по теореме Пифагора

5. Таким образом, мы нашли, что значит,

Так как ребро куба равно то

а) Пусть Так как то следовательно, Так как то

По теореме Пифагора для треугольников и имеем:

Таким образом, мы получили, что — середина

Пусть точка — середина Так как то равнобедренный и медиана также является и высотой. Следовательно, Так как при этом и то Следовательно, — общий перпендикуляр прямых и Что и требовалось доказать.

б) Тогда длина отрезка и есть расстояние между скрещивающимися прямыми и Пусть Тогда имеем:

Из пункта а) следует, что

По теореме Пифагора для треугольников и имеем:

Получаем систему

Так как по условию расстояние больше 4, то оно равно 5,25.

а) Так как то плоскость (будем называть ее ) пересечет нижнее основание призмы по прямой Следовательно, — сечение призмы плоскостью

Рассмотрим в нем лежат и Докажем, что Отсюда последует, что так как

Так как — прямоугольник, то — середина его диагонали Рассмотрим нижнее основание призмы. Так как делит угол пополам, то — биссектриса в равнобедренном проведенная к основанию, значит, она же и медиана, то есть — середина

Таким образом, — средняя линия в следовательно, и Что и требовалось доказать.

б) Так как то искомое расстояние равно

где — произвольная точка прямой Выберем для поиска расстояния точку

Заметим, что лежит на прямой параллельной следовательно,

где — произвольная точка прямой Таким образом, расстояние от до равно расстоянию от точки до

Выберем точку как середину отрезка Пусть также — середины и соответственно. То есть

Так как прямая параллельна боковому ребру призмы, то она перпендикулярна основаниям призмы. Так как по свойству правильного шестиугольника то по теореме о трех перпендикулярах следовательно, Также Следовательно, перпендикулярна плоскости, построенной на прямых и — плоскости которая сечет призму по четырехугольнику

Проведем Учитывая, что получаем, что Следовательно, так как

Таким образом, длина — искомое расстояние

Точка — середина отрезка равного следовательно, пользуясь теоремой косинусов для равнобедренного с углом против основания

Заметим, что и — середины б´ольших диагоналей правильных шестиугольников, следовательно, это их центры. Тогда параллельна боковому ребру призмы, то есть перпендикулярна основаниям, и равна боковому ребру, то есть высоте призмы (ведь призма правильная).

Получили прямоугольный в котором к гипотенузе проведена высота Она равна

а) Пусть пересекает в точке Обозначим за точку пересечения и Так как то пересечет плоскость по прямой, параллельной и проходящей через Проведем отрезок через Тогда — сечение пирамиды плоскостью

Так как то секущая их плоскость пересечет их по параллельным прямым. Следовательно, плоскость проходит через прямую Получили сечение пирамиды плоскостью

По условию

По теореме о трех перпендикулярах ( ) имеем Так как то Следовательно,

Так как и то Значит,

Отсюда имеем:

Тогда по теореме Фалеса для и из подобия треугольников:

Следовательно, можно принять откуда Тогда

Что и требовалось доказать.

б) следовательно, перпендикулярна любой прямой из этой плоскости. Проведем тогда с учетом получаем, что Пусть Тогда — искомое расстояние. По теореме Фалеса, так как имеем Будем искать

Рассмотрим пирамиду Пусть Тогда имеем:

Из подобия имеем Так как и то Значит, по теореме Пифагора

Тогда

а) Пусть и — середины ребер и соответственно, — точки пересечения медиан граней и соответственно.

Рассмотрим плоскость в которой лежат точки и Проведем прямые и и отметим на них точки и соответственно так, чтобы и были серединами отрезков и Пусть Так как по свойству медиан то по теореме Менелая для треугольника и секущей имеем:

Так как каждый из отрезков и определен одним и тем же образом, то получаем, что отрезки и тоже делят отрезок в отношении то есть проходят через точку Что и требовалось доказать.

б) По теореме Менелая, поступая, как в пункте а), получаем

Тогда

Заметим, что следовательно

Аналогично получаем, что

Значит, с коэффициентом подобия

Пусть — перпендикуляры к плоскости Так как то Так как то Для точек и все аналогично. Тогда

Это значит, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от плоскости следовательно, и расстояние между ними равно

Пусть Тогда так как то получаем Следовательно, если — длина перпендикуляра, опущенного из на то

Тогда

а) По условию Так как точка — центр описанной окружности, то она лежит на серединном перпендикуляре к Пусть — середина Тогда Значит, по теореме о трех перпендикулярах Следовательно,

Аналогично где — середина откуда Значит, то есть — правильный.

Тогда точка пересечения и и есть точка Следовательно, Значит, по определению пирамида — правильная.

б) Так как пирамида правильная, то Значит, плоскости и — плоскости, в которых лежат и соответственно, причем пересекаются эти плоскости по прямой Это значит, что — точка пересечения и также является точкой пересечения и с Cледовательно, — центр вписанного шара. Это значит, что расстояния от точки до всех граней пирамиды равны, то есть

Рассмотрим треугольники Они прямоугольные, — общая, как радиусы описанных окружностей равных треугольников. Следовательно, Значит, достаточно использовать условие для нахождения плоского угла при вершине Заметим, что

Пусть Тогда по теореме синусов для боковой грани радиус описанной окружности Так как как половина центрального, опирающегося на ту же дугу описанной около грани окружности, что и вписанный то Также

как прямоугольные по катету и гипотенузе. Отсюда получаем

а)

 

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые из одной плоскости будут параллельны некоторых двум пересекающимся прямым из другой плоскости.Проведем через точку прямые, параллельные и .
Из свойства правильного шестиугольника следует, что . Проведем в плоскости через точку : .

 

Тогда по теореме Фалеса

 

В плоскости проведем через точку : .

 

Из теоремы Фалеса следует, что

 

Пусть . Из свойств правильного шестиугольника следует, что .

 

Тогда по теореме Фалеса

 

б) Достроим сечение пирамиды плоскостью . Плоскость пересечет плоскость основания по прямой . Значит,

 

Аналогично, плоскость пересекает грань по прямой . Таким образом, – сечение.
Заметим, что сечение представляет собой две равнобокие трапеции и .
 

 

Найдем все их стороны.
Из подобия
Из подобия

 

Достроим трапецию до треугольника – он правильный.
Из подобия

 

Найдем из грани :
По теореме косинусов .

 

В : по теореме косинусов

 

Обозначим высоту трапеции за . Тогда

 

Высота трапеции

 

Тогда площадь сечения

а) Рассмотрим основание . Так как , то равносторонний, следовательно, . Тогда , где – точка пересечения диагоналей ромба. Тогда по теореме Пифагора , следовательно, .
По обратной теореме Пифагора, так как , треугольник является прямоугольным с прямым углом . Следовательно, .
Заметим, что по трем сторонам. Следовательно, .
Предположим, что – не высота пирамиды. Тогда опустим высоту . Проведем и . Тогда по теореме о трех перпендикулярах и .
Прямоугольные треугольники и равны по общему катету и острому углу, следовательно, . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники и также равны по катету и гипотенузе, следовательно, . Следовательно, точка равноудалена от сторон угла , значит, лежит на его биссектрисе.
Таким образом, мы доказали, что основание высоты, проведенной из точки , будет лежать на прямой, содержащей биссектрису угла (то есть на прямой ).
Но тогда из точки проведены две прямые и , перпендикулярные , что невозможно. Следовательно, точки и совпадают.
 

 

б) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что как диагонали ромба, и , так как – высота пирамиды. Следовательно, . Значит, – проекция на плоскость . Таким образом, нужно найти угол . Обозначим его за .
 

 
По теореме Пифагора из :

мы находили ранее и оно равно .
Так как прямоугольный (), то

а) Найдем точку пересечения плоскости (назовем ее плоскостью ) и плоскости . Пусть и – точки пересечения диагоналей оснований и соответственно. Тогда лежит в плоскостях и . По теореме Фалеса прямая пересекает в середине, назовем эту точку точкой . Таким образом, .
 

 
Проведем прямую . Она будет пересекать либо ребро , либо отрезок .
Для того, чтобы это определить, найдем отношение, в котором точка делит . Рассмотрим .
 

 
По условию , следовательно, пусть , тогда . Так как трапеция равнобедренная, то . Следовательно,

Рассмотрим :
 

 
Заметим, что , следовательно, . Пусть – точка пересечения прямой и . Тогда, так как к тому же , , следовательно, . Так как , то тогда .
Следовательно, плоскость пересечет отрезок .

 

Заметим, что прямая параллельна плоскости , так как . Тогда пересечет основание по прямой , параллельной . Действительно, если это не так, то есть пересекается с , следовательно, плоскость и имеют общую точку, что противоречит их параллельности.
Таким образом, нужно через точку провести прямую, параллельную . Пусть она пересечет в точке , а в точке . Так как и , то по теореме Фалеса .
Сечение – пятиугольник .
 

 

б) – линия пересечения плоскостей и . Заметим, что так как , а , то . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная . Следовательно, – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и .
Из пункта а) мы определили, что , следовательно, . Тогда , следовательно, .
Из пункта а): , , .
Следовательно, , следовательно, ; .
 
Тогда из прямоугольного :

а) Построим сечение пирамиды плоскостью . Т.к. точки и являются серединами сторон, то – средняя линия, следовательно, .
Т.к. плоскость параллельна прямой , то она пересечет грани и по прямым, параллельным . Следовательно, .

 

Т.к. , , , то , причем .
 

 

Таким образом, имеем: , , следовательно, – параллелограмм. Т.к. и – середина стороны , то по теореме Фалеса – середина ребра . Аналогично – середина ребра . Т.к. пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, .

 

Рассмотрим и : они равны по двум сторонам и углу между ними (, т.к. в основании лежит правильный треугольник; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, т.к. пирамида правильная).

 

Таким образом, . То есть диагонали параллелограмма равны, следовательно, по признаку он является прямоугольником.

 

б) Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Т.к. , то . Также очевидно, что .

 

Пусть – перпендикуляр на плоскость (то есть точка ). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (, – наклонная) проекция (заметим, что ). Таким образом, мы имеем в плоскости две прямые и , которые перпендикулярны прямой , что возможно только если они параллельны. Но они не параллельны, т.к. имеют одну общую точку , значит, эти прямые совпадают, то есть точка должна лежать на прямой . Следовательно, перпендикуляр из точки на плоскость будет падать на продолжение отрезка .

 

Рассмотрим плоскость : , следовательно,

Найдем , , .
 

 

Т.к. – правильный, то (как высота).

 

Т.к. – средняя линия,то .

 

Т.к. и еще и медианы, а медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Таким образом, .

 

Т.к. плоскость , то . Тогда с коэффициентом . Таким образом, .

 

По той же причине .

 

Т.к. – прямоугольный, то , следовательно, .

 

Тогда из равенства имеем:

1) Назовем плоскость плоскостью .
Найдем линию пересечения и плоскости . Продлим лучи и до пересечения в точке . Тогда мы имеем две точки и в плоскости , следовательно, – линия пересечения и .
Определим, где пересекает прямая пятиугольник (и пересекает ли вообще).
 

 
Рассмотрим плоскость . Так как , то равнобедренный. Так как (по двум углам), то тоже равнобедренный, следовательно, .
Рассмотрим теперь плоскость :
 

 
Пусть прямая пересекает прямую в точке (неизвестно, внутри отрезка или снаружи). Так как по свойству правильного пятиугольника , то по двум углам. Следовательно,

Так как из условия отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне равно , то . Следовательно, получаем: Следовательно, , значит, . Таким образом, плоскость пересекает грань по отрезку .
 

 

Таким образом, нам осталось найти точку пересечения плоскости с ребром .
Рассмотрим плоскость . Она пересекает плоскость по прямой , параллельной прямой , которая в свою очередь является линией пересечения и . Следовательно, пересечет по прямой, параллельной . Таким образом, в плоскости проведем прямую , где – точка пересечения этой прямой с . Получили сечение – пятиугольник.
 

 

2) Так как , то , следовательно, . Аналогично . Следовательно, перпендикуляр из на упадет в середину - точку . Перпендикуляр из на упадет в середину – точку (по свойству равнобедренной трапеции: отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярен основаниям). Следовательно, .
По свойству правильного пятиугольника . Следовательно, – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и основания.
 

 
прямоугольный (), следовательно,

Нужно найти .
 

 
Из прямоугольного : Следовательно,

а) Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения диагоналей квадрата Тогда отрезок пройдет через точку причем Построим сечение пирамиды плоскостью

Плоскости и пересекаются по прямой плоскости и — по прямой Так как то плоскости и пересекутся по прямой

Действительно, если это не так, то есть то — это общая точка плоскости и плоскости следовательно, Но следовательно, что невозможно, так как

Таким образом, — трапеция.

Так как то по теореме Фалеса

Так как пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, Также и все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, то есть, например, Следовательно, откуда

Значит, — равнобедренная трапеция.

б) Нужно найти отношение Пусть То есть нужно найти

Введем обозначения: Тогда

Найдем Тогда

В пирамиде — вершина, — основание. Для того, чтобы найти ее объем, нужно найти высоту

Пусть — середина Так как — середина и трапеция равнобедренная, то то есть — высота трапеции.

Утверждение: точка лежит на прямой

Действительно, пусть проведена Тогда, так как (наклонная), то по теореме о трех перпендикулярах (проекция). Так как к одной прямой в плоскости не может быть проведено два различных перпендикуляра и следовательно,

Прямая пересечет в точке — середине так как — середина и Тогда

с коэффициентом следовательно,

Рассмотрим плоскость и трапецию

Из Так как то следовательно,

Тогда по теореме косинусов из

Заметим, что

По теореме синусов из

Тогда из прямоугольного

Таким образом,

Тогда

Также

Следовательно,