14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

а) Прямая так как принадлежит плоскости перпендикулярной Пусть пересекает в точке тогда нам нужно доказать, что

Рассмотрим треугольник Его сторона равна как диагональ квадрата со стороной 12. Получили, что

Следовательно, треугольник равносторонний. Поскольку и — его высоты, а значит, и медианы, то медиана делит медиану в отношении считая от точки

б) Отрезок является проекцией отрезка на плоскость основания. Пусть — проекция середины отрезка на основание пирамиды. Тогда — середина и откуда Из этого следует, что прямая параллельна плоскости

Таким образом, расстояние между прямыми и равно расстоянию между прямой и плоскостью

Рассмотрим высоту из вершины треугольника Имеем а также перпендикулярна прямым (так как и плоскости Тогда длина — это и есть расстояние между прямой и плоскостью

Далее имеем:

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Значит, окончательно из прямоугольного треугольника

Прямые и скрещиваются по признаку, т.к. прямая пересекает плоскость , в которой лежит , в точке , не лежащей на .
 

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой и плоскостью, проходящей через параллельно . Т.к. , то плоскость параллельна .
Докажем, что – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, (как диагонали квадрата) и (т.к. ребро перпендикулярно всей плоскости ). Таким образом, перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, .

 

, как диагональ квадрата, равна , то есть . Тогда .

По условию является проекцией на плоскость . Так как — прямоугольник, то прямая перпендикулярна проекции , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна и наклонной .

Тогда по теореме Пифагора для треугольника

В прямоугольнике имеем , тогда по теореме Пифагора для треугольника

.

и .

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Так как то проекция наклонной на эту плоскость — это прямая

Пусть Опустим из точки на перпендикуляр и докажем, что это и есть искомое расстояние. Так как по определению расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что перпендикулярен прямой

Действительно, проведем Следовательно, Тогда так как то и Тогда по теореме о трех перпендикулярах так как проекция то наклонная

Таким образом, — искомое расстояние.

Заметим, что по двум углам. Следовательно,

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая пересекает плоскость , в которой лежит , в точке , не лежащей на .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой и плоскостью, проходящей через параллельно .
 

 
Для этого проведем — она параллельна . Следовательно, по признаку плоскость .

 

2) Опустим перпендикуляр на эту плоскость и докажем, что точка упадет на продолжение отрезка , где – точка пересечения диагоналей квадрата .
Действительно, т.к. по свойству квадрата , то по теореме о трех перпендикуляр проекция . Но равнобедренный, следовательно, – медиана и высота. Значит, точка должна лежать на прямой .

 

3) Рассмотрим плоскость .
 

 

по двум углам (, ). Таким образом,

По теореме Пифагора из :

Следовательно, из теперь можно найти перпендикуляр

а) Пусть — точка пересечения продолжений боковых сторон и трапеции Тогда плоскости и пересекаются по прямой

Так как плоскости и перпендикулярны плоскости то по свойству перпендикулярных плоскостей их общая прямая тоже перпендикулярна плоскости Это значит, что перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости в частности, и Следовательно, угол между плоскостями и равен углу

Рассмотрим треугольник В нём по условию и Тогда по сумме углов треугольника имеем:

Значит, плоскости и перпендикулярны.

б) Из решения пункта а) следует, что и значит,

Опустим в плоскости перпендикуляр из точки на прямую Тогда и так как лежит в плоскости то Значит, — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и

Рассмотрим треугольник в плоскости Так как — трапеция и то

Тогда в прямоугольном треугольнике с острым углом имеем:

В пункте а) доказано, что значит, — высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

Тогда отрезок как высота в прямоугольном треугольнике равен

а) В треугольнике отрезок — средняя линия, следовательно, . Значит, угол между прямыми и равен углу между прямыми и .

Введем обозначения , . Тогда по теореме Пифагора из и соответственно:

Следовательно, по теореме косинусов для :

Из равенства следует, что , то есть грань представляет собой квадрат, что противоречит условию. Следовательно, возможно только равенство , из которого следует, что что и требовалось доказать.

б) Так как — прямоугольный параллелепипед, то , следовательно, — проекция на плоскость . Значит, угол между прямой и плоскостью равен .

Тогда из прямоугольного следует, что , откуда Объем параллелепипеда равен

Так как , то расстояние между скрещивающимися прямыми и () равно расстоянию между прямой и плоскостью , что равно отрезку . — средняя линия в , откуда

а) Прямая перпендикулярна плоскости так как и Поскольку то — перпендикуляр к плоскости а — ортогональная проекция наклонной на эту плоскость. По условию задачи значит, по теореме о трёх перпендикулярах Диагонали прямоугольника перпендикулярны, значит, это квадрат. Следовательно,

б) Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из центра квадрата на прямую Прямая перпендикулярна плоскости так как и Значит, и — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и Тогда расстояние между этими прямыми равно длине отрезка то есть половине высоты прямоугольного треугольника опущенной из вершины прямого угла.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

Тогда в прямоугольном треугольнике мы можем найти высоту

Следовательно, расстояние между прямыми и равно

Рассмотрим призму , в основании которой лежит четырехугольник , диагонали которого равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: . Тогда расстояние между основаниями призмы равно Значит, объем этой призмы

Распишем, чему равен объем данного тетраэдра

Возьмем диагональ . Непересекающее ее боковое ребро — это . Заметим, что любая прямая плоскости перпендикулярна . Проведем , а также , следовательно, — искомое расстояние.

. Для

Будем искать расстояние между прямыми и . Проведем , следовательно, расстояние от до — расстояние между и . , , . Таким образом, — искомое расстояние, то есть этот отрезок перпендикулярен обеим прямым и . Перенесем его таким образом, чтобы он пересекал обе прямые. Для этого проведем , . На отрезке отложим . Тогда — прямоугольник, следовательно, и , следовательно, перпендикулярна и . — общий перпендикуляр этих прямых.

Пусть . Тогда

— равносторонний с , следовательно, . Тогда , следовательно, по теореме Фалеса ( — средняя линия). Тогда , . Следовательно, .

Нашла положения концов общего перпендикулярна на отрезках и .

а)

1. — высота пирамиды значит, и в частности.

2. Пирамида правильная, в её основании лежит квадрат. Раз так, то очевидно, что — прямоугольник, где и

3. Более того, основание высоты пирамиды точка — центр основания, делящий отрезок пополам.

4. Ну и в конце концов раз пирамида правильная, то боковые рёбра равны и — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно.

5. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

6. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

Поскольку имеем:

7. В таком случае а То есть — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно, а значит, точка — середина Ч.Т.Д.

б) Расстояние между двумя прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из приведённого тезиса следует, что перпендикулярна любой прямой в плоскости

То есть чтобы построить искомый общий перпендикуляр, нам всего лишь следует провести перпендикуляр из точки на прямую

В таком случае по озвученному факту и по построению.

2. Найдём из подобия поскольку и

3. поскольку — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно.

4. Из подобия треугольников имеем следующие отношения их соответствующих сторон: