14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

а) В треугольнике отрезок — средняя линия, следовательно, . Значит, угол между прямыми и равен углу между прямыми и .

Введем обозначения , . Тогда по теореме Пифагора из и соответственно:

Следовательно, по теореме косинусов для :

Из равенства следует, что , то есть грань представляет собой квадрат, что противоречит условию. Следовательно, возможно только равенство , из которого следует, что что и требовалось доказать.

б) Так как — прямоугольный параллелепипед, то , следовательно, — проекция на плоскость . Значит, угол между прямой и плоскостью равен .

Тогда из прямоугольного следует, что , откуда Объем параллелепипеда равен

Так как , то расстояние между скрещивающимися прямыми и () равно расстоянию между прямой и плоскостью , что равно отрезку . — средняя линия в , откуда