14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

 

По определению угол между скрещивающимися прямыми - это угол между одной прямой и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Найдем плоскость, проходящую через параллельно .

 

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Т.к. , то проекция наклонной на эту плоскость – это прямая .

 

Пусть . Опустим из точки на перпендикуляр и докажем, что это и есть искомое расстояние. Т.к. по определению расстояние между скрещивающимися прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым, то осталось доказать, что перпендикулярен прямой .
Действительно, проведем (следовательно, ). Тогда т.к. , то и . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция ) наклонная , чтд.
Таким образом, – искомое расстояние.

 

Заметим, что (по двум углам). Следовательно,