14.19 Расстояние между скрещивающимися прямыми

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая пересекает плоскость , в которой лежит , в точке , не лежащей на .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой и плоскостью, проходящей через параллельно .
 

 
Для этого проведем — она параллельна . Следовательно, по признаку плоскость .

 

2) Опустим перпендикуляр на эту плоскость и докажем, что точка упадет на продолжение отрезка , где – точка пересечения диагоналей квадрата .
Действительно, т.к. по свойству квадрата , то по теореме о трех перпендикуляр проекция . Но равнобедренный, следовательно, – медиана и высота. Значит, точка должна лежать на прямой .

 

3) Рассмотрим плоскость .
 

 

по двум углам (, ). Таким образом,

По теореме Пифагора из :

Следовательно, из теперь можно найти перпендикуляр