Тема 15. Решение неравенств

15.03 Рациональные неравенства и метод интервалов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#2364Максимум баллов за задание: 2

В неравенстве

(−-x-−-A-)(x −-B) (x + C )(x2 + D ) ≥ 0

расставьте вместо $A$ , $B$ , $C$ , $D$ числа $− 1$ , $1$ , $0$ , $2$ так, чтобы ответом полученного неравенства служило множество $(− ∞; − 2 ) ∪ {− 1}$ . Приведите хотя бы один способ расстановки.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x ⁄= − C 2 x + D ⁄= 0

Умножая исходное неравенство на $− 1$ , получим равносильное неравенство

(x + A )(x − B ) ----------2------≤ 0 (x + C )(x + D )

Покажем, что, например, подходит неравенство

2 (x-+-1)(x-−-(−-1))≤ 0 ⇔ (x-+-1)---≤ 0 (x + 2)(x2 + 0) x2(x + 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = − 1

2) Найдём нули знаменателя:

[ 2 x = − 2 x (x + 2) = 0 ⇔ x = 0

По методу интервалов:

$PIC$

откуда и получаем требуемый ответ

x ∈ (− ∞; − 2) ∪ {− 1}.

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$A = 1,B = − 1,C = 2,D = 0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#2530Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) ( ) 5- -14--- √---------2 2x − 3 − x ⋅ x + 1 + 2 + ( − 1 − 2x) ≥ 0

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Так как выражение $√ -- a$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $a ≥ 0$ , то неравенство равносильно системе:

( ( ) ( ) |{ 5- -14--- 2x − 3 − x ⋅ x + 1 + 2 − 1 − 2x ≥ 0 | ( − 1 − 2x ≥ 0

Рассмотрим первое неравенство системы. Приведем слагаемые в каждой скобке к общему знаменателю:

2 2x--−-3x-−-5-⋅ 14 +-2(x +-1) +-(−-1-−-2x)(x-+-1)-≥ 0 ⇔ (x +-1)(2x −-5)⋅ (x +-3)(2x −-5) ≤ 0 x x + 1 x x + 1

Решим данное неравенство методом интервалов. Нулями числителя и знаменателя являются $x = − 3;x = − 1; x = 0;x = 52$ , причем в точках $x = 52$ и $x = − 1$ знак меняться не будет, так как это корни кратности 2: $PIC$
Следовательно, решением первого неравенства будут ${ 5} x ∈ [− 3; − 1) ∪ (− 1;0) ∪ 2$ . Пересекая это решение с решением второго неравенства системы ( $1 x ≤ − 2$ ), получаем окончательный ответ

( ] x ∈ [− 3;− 1) ∪ − 1;− 1- 2

Ответ:

$( ] [− 3;− 1) ∪ − 1;− 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#2746Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x−-1)(x−-2)(x-−-3)-> 1. (x+ 1)(x+ 2)(x + 3)

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

(x-− 1)(x−-2)(x-− 3)− 1 >0 (x +1)(x+ 2)(x +3) (x−-1)(x−-2)(x-−-3)-− (x+-1)(x-+-2)(x+-3)> 0 (x+ 1)(x +2)(x+ 3) (x3− 3x2+ 2x− 3x2+ 9x − 6) − (x3+ 3x2+ 2x+ 3x2+ 9x+ 6) -----------------(x+-1)(x-+2)(x+-3)---------------- > 0 ----−12(x2-+1)----> 0 (x+ 1)(x +2)(x+ 3)

Заметим, что выражение $2 x + 1$ всегда $≥ 1,$ то есть всегда положительно, значит, можно разделить обе части неравенства на это выражение:

-------−12-------> 0 ⇒ --------1--------< 0 (x+ 1)(x +2)(x+ 3) (x+ 1)(x +2)(x+ 3)

Решим последнее неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, нам подходят

x ∈(−∞; −3)∪ (−2;−1)

Ответ:

$(−∞; −3)∪ (− 2;− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#18907Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) ( ) 1 x− 2 | 1 | 2 + x−-3- :|(-x+-3--1+ 1|) ≥ 0 x+-2− 2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $( ||| x− 3⁄= 0 ( ( |||| ---1---- ||||x ⁄= 3 ||| x⁄= 3 ||{ x-+3- 1+ 1⁄= 0 ||{x-+-3− 1⁄= −1 ||{ 8 | x +2 − 2 ⇔ |xx ++ 23 21 ⇔ | x⁄= − 3 |||| x+-3-− 1⁄= 0 ||||x-+-2⁄= 2 |||| x⁄= −4 ||||( x+ 2 2 |(x ⁄= −2 ( x⁄= −2 x+ 2⁄= 0$

Упростим выражение в левой части:

( ) ( ) 1+ x-−-2 :|| ---1----+ 1|| = 2 x − 3 ( x-+3- 1 ) x +2 − 2 (x − 3)+2(x− 2) 1 = ----2(x-− 3)---⋅------------------= -------1-------+ 1 2(x-+3)−-(x+-2) 2(x+ 2) 3x − 7 1 3x − 7 1 = 2(x-−-3)⋅ ---1------= 2(x-−-3)⋅2(x+-2)---= -x-+4--+1 -x+-4--+1 ------- 2(x+ 2) 3x-−-7- -----1------- -3x-−-7- x+-4- = 2(x − 3)⋅ 2(x + 2)+ x +4 = 2(x − 3) ⋅3x+ 8 ----x+-4-----

Получим неравенство: $-3x-−-7-⋅ x+-4-≥ 0 2(x − 3) 3x+ 8$ . По методу интервалов получим:

$PIC$

Учитывая ОДЗ, из полученного множества решений надо отбросить точки -4 и -2. Таким образом, получим ответ

( ) ( ] 8 7 x ∈ (− ∞;−4)∪ − 3;−2 ∪ −2;3 ∪ (3;+ ∞)

Ответ:

$( ) ( ] 8 7 (−∞; −4)∪ − 3;− 2 ∪ − 2;3 ∪ (3;+∞ )$