19.15 Среднее арифметическое и минимальная сумма

а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), то, как правило, работает классическая идея минимальной суммы.

Предположим, что наименьшее число равно 4. Тогда наименьшая возможная сумма пяти наименьших чисел равна

Тогда наименьшее среднее арифметическое пяти наименьших чисел равно

Мы взяли пять самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 4. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое пяти любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 4, будет больше 5.

Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 4.

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел

Тогда по условию имеем:

Отсюда получаем

Наименьшее возможное значение — это 4, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение — это 5. Но тогда наибольшая возможная сумма всех чисел равна

Значит, наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно

Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 10.