17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Рассмотрим треугольники и : – общий, , тогда треугольники и подобны по двум углам.

Из подобия треугольников и :

Рассмотрим треугольники и :

тогда треугольники и подобны (по пропорциональности сторон и равенству углов между ними).
 

 

б) Проведем к описанной около окружности касательную , проходящую через точку . Из подобия треугольников и : .

По теореме об угле между касательной и хордой угол между прямыми и равен половине меньшей из дуг , но – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, тогда тоже равен половине меньшей из дуг , следовательно,

но и – внутренние накрест лежащие при прямых , и секущей , откуда .

Так как – касательная к окружности в точке , то , но , тогда , следовательно, угол между и равен .

а) – медиана в прямоугольном треугольнике , тогда

– медиана в прямоугольном треугольнике , тогда

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник :

Рассмотрим прямоугольный треугольник : , откуда

 

Так как

a – общий для треугольников и , лежащий между пропорциональными сторонами, то треугольники и подобны, откуда то есть , следовательно, и

а) Рассмотрим четырехугольник . Углы при вершинах и прямые из условия. Таким образом, является вписанным (сумма противоположных углов ). Тогда по свойству вписанного четырехугольника, что и требовалось.

б) Аналогично первому пункту . по условию является серединным перпендикуляром к , тогда как прямоугольные с равными соответствующими катетами. Тогда . Получили тройку равных углов . Из этого с коэффициентом по двум углам. Отношение радиусов описанных окружностей подобных треугольников равняется коэффициенту подобия. Найдем его

Требуемое в условии отношение обратно найденному .

а) — равнобедренный по условию, следовательно, . Далее, как накрест лежащие при и секущей . Получили, что — биссектриса угла .

б) Заметим, что площади треугольников и равны, так как они имеют общее основание , а равенство высот следует из параллельности прямых и . Пусть — полупериметр треугольника , все стороны которого нам известны, . Тогда имеем:

Несложно понять, что угол меньше . Допустим обратное, то есть . Тогда как накрест лежащие при и секущей . Получили противоречие, так как в равнобедренном треугольнике угол при основании должен быть строго меньше . Тогда

Найдем по теореме косинусов для треугольника :

Найдем по теореме косинусов для треугольника

Так как то — наибольшая сторона в треугольнике следовательно, напротив нее лежит наибольший угол. Таким образом, угол — наибольший в треугольнике, при этом его косинус положителен, следовательно, треугольник остроугольный.

а) Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов для треугольника

Угол — острый, следовательно, его синус равен

Тогда по теореме синусов для треугольника

Найдем теперь длину Точка — центр описанной окружности, — середина стороны, следовательно, — серединный перпендикуляр к стороне Найдем длину отрезка

Отрезок равен радиусу описанной окружности треугольника то есть по теореме синусов для треугольника

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

б) Из пункта а) мы знаем, что

По теореме косинусов для треугольника

Так как то

Тогда по теореме синусов для треугольника

а) В первом пункте высота из никак не фигурирует, поэтому пока забудем про нее. У угла косинус положителен он острый точка лежит на луче . точка находится ближе , чем к точке , а значит, точка лежит строго на отрезке . Так мы поняли, какой примерный вид должна иметь картинка.

Пусть , . Тогда

По теореме косинусов

Получили, что — тупой.

б) Нарисуем новую картинку, пользуясь знаниями из первого пункта. Заметим, что по двум углам (, — общий) с коэффициентом . Тогда , а значит , т.к. точки , и лежат на одной прямой. Итого

а) Заметим, что биссектрисы внешних углов при вершинах и и биссектриса внутреннего угла при вершине треугольника пересекаются в одной точке. Тогда — биссектриса внешнего угла при вершине Аналогично — биссектриса внешнего угла при вершине Тогда и — биссектрисы вертикальных углов и точки и лежат на одной прямой.

Так как и — биссектрисы смежных углов при вершине то они перпендикулярны, то есть

Аналогично и — биссектрисы смежных углов при вершине следовательно,

Рассмотрим четырёхугольник В нем и они опираются на сторону Таким образом, — вписанный.

Четырехугольник — вписанный, значит, и опирающиеся на сторону будут равны.

б) Треугольник — равнобедренный, значит, биссектриса будет также высотой и медианой.

Пусть биссектрисы пересекаются в точке Обозначим тогда Из вписанности

Тогда так как накрест лежащие углы и равны. Так как то Тогда рассмотрим четырехугольник В нем имеем:

Значит, четырехугольник — вписанный.

Заметим, что — биссектриса треугольника Тогда имеем:

Так как четырехугольник — вписанный, то имеем

Следовательно,

Заметим, что

Из прямоугольного треугольника

Запишем теорему синусов для треугольника и найдем искомый отрезок:

а) По теореме об отрезках касательной тогда имеем:

Что и требовалось доказать.

 

 

б) Пусть и искомое отношение равно Тогда по условию и по теореме об отрезках касательных имеем:

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставляя известные величины, получим:

а) Пусть — середина . Тогда — медиана прямоугольного треугольника , проведенная из вершины прямого угла. Значит,

по углу (, т.к. — равнобедренный) и прилегающим к нему сторонам (), следовательно, . Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , следовательно, .

б) Из прямоугольных треугольников и находим, что

Через вершину проведём прямую, параллельную Пусть — точка пересечения этой прямой с прямой , и — точки пересечения прямой с прямыми и соответственно.

Из равенства треугольников и (соответствующие углы равны из параллельности, а также ) получаем, что , a из подобия треугольников и (по углам из параллельности) следует Значит, — середина .

Треугольник подобен треугольнику (по углам из параллельности) с коэффициентом , поэтому , а так как параллельна , — средняя линия треугольника . Значит,

Следовательно,

а) Пусть тогда Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины треугольника, то Следовательно, Тогда имеем:

Значит, — прямоугольный с

б) Обозначим Тогда по теореме Пифагора в и :

Отсюда получаем

По теореме Пифагора в имеем:

Тогда сумма квадратов медиан равна

а) Заметим, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Тогда так как они опираются на одну дугу

Рассмотрим четырёхугольник В нём имеем:

 

 

Значит, четырёхугольник является вписанным. Тогда так как они опираются на одну дугу Следовательно,

Значит, четырёхугольник тоже является вписанным. Тогда сумма его противоположных углов равна То есть

б) Пусть высота трапеции равна а длина основания равна Тогда площадь трапеции равна

 

 

Рассмотрим треугольник Пусть — его высота. Тогда так как и и являются высотами трапеции С одной стороны, площадь равна

С другой стороны, так как по предыдущему пункту то площадь равна

а) Рассмотрим треугольник . По условию отрезок в нем — высота и медиана, то есть треугольник равнобедренный, и .

По условию — диаметр, значит, вписанный угол . Кроме того,

причем и гарантированно непараллельны.

Тогда — вписанная трапеция, значит, она равнобедренная и .

В итоге имеем

Тогда в четырехугольнике стороны и параллельны и равны, то есть это параллелограмм.

б) По теореме Пифагора для треугольника найдем .

Из пункта a) знаем .

Треугольник равнобедренный аналогично треугольнику . Тогда с учетом вертикальных углов .

Также как вписанные, опирающиеся на меньшую дугу окружности.

Тогда , отсюда треугольник — равнобедренный и . Кроме того, как противоположные стороны параллелограмма .

По свойству пересекающихся хорд

Представим площадь как сумму площадей треугольника и трапеции :

а) Рассмотрим В нем так как — высота треугольника по условию. Также и Тогда мы можем найти катет

Теперь напишем теорему синусов для треугольника учитывая, что радиус описанной окружности треугольника равен 6 по условию:

Тогда мы можем найти сторону , если вычислим синус угла Заметим, что — угол треугольника, поэтому он меньше а его синус положителен. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем

Теперь найдем длину стороны

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, поэтому зная и длину мы можем найти длину Найдем

Воспользовавшись основным тригонометрическим тожедеством, мы можем найти

Определим знак косинуса угла Заметим, что так как На области определения косинус убывает, поэтому поэтому

б) Рассмотрим треугольник В нем так как — высота треугольника Тогда имеем:

Рассмотрим четырехугольник Сумма его противоположных углов равна

Значит, четырехугольник является вписанным. Тогда углы, которые опираются на его сторону равны, то есть

Рассмотрим четырехугольник В нем углы и равны и опираются на одну сторону следовательно, четырехугольник является вписанным. Тогда углы, которые опираются на его сторону равны, то есть следовательно,

Заметим, что является прямоугольным с гипотенузой значит,

а) Рассмотрим треугольники и Прямые и параллельны, поэтому как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей

Аналогично как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей

Тогда треугольники и подобны по двум углам, то есть

По условию и то есть и В трапеции эти два равных угла опираются на одну сторону следовательно, — вписанный четырехугольник.

Заметим, что если трапеция является вписанной, то она равнобедренная. В равнобедренной трапеции боковые стороны и углы при основаниях равны, то есть и

Тогда треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников ( и — общая). В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому и Значит, подобные треугольники и являются равнобедренными, то есть и

Теперь рассмотрим треугольник Он прямоугольный, так как по условию Тогда

б) Нам нужно найти радиус окружности, вписанной в треугольник Вспомним, что площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра то есть

Значит, нам нужно найти площадь и периметр треугольника В предыдущем пункте мы доказали, что и

Пусть где Тогда Треугольник прямоугольный, значит, по теореме Пифагора

С другой стороны, треугольник тоже прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора в нем

Приравняем полученные значения и найдем

Тогда найдем площадь Так как он прямоугольный, площадь равна полупроизведению длин катетов и то есть

Найдем периметр

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной окружности треугольника

а) Рассмотрим треугольник . В нем , так как по условию. Тогда в :

Рассмотрим четырёхугольник . В нем , так как — трапеция с основанием , кроме того, . Следовательно, — параллелограмм, так как две его противоположных стороны равны и параллельны.

В параллелограмме диагонали и пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит, — середина .

б) В предыдущем пункте мы доказали, что и . Значит,

Заметим, что так как — параллелограмм, как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей .

Рассмотрим треугольник . В нем , тогда по теореме Пифагора

Так как — трапеция,

Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему синусов:

а) Пусть — центр вписанной окружности треугольника . Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, — биссектриса угла . Поскольку — радиус вписанной окружности треугольника , то и . Тогда треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому . Следовательно, .

б) Обозначим . Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому , и . Тогда , и . По теореме Пифагора для треугольника :

Тогда и .

Следовательно, площадь треугольника равна:

а) Пусть , , , — полупериметр треугольника, а вневписанная окружность касается продолжений сторон и в точках и соответственно. Тогда, так как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то , и . Поскольку , и , то можем записать следующее равенство:

Значит,

Тогда можем найти длину отрезка :

Докажем лемму.

Длина отрезка касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности, .

Рассмотрим произвольный треугольник . Пусть его вписанная окружность касается сторон , и в точках , и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки проведенных из одной точки касательных к окружности равны. Поэтому , и .

Тогда можем составить систему:

Вернемся к задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и его вписанной окружности. Получим, что . Тогда

б) Пусть — центр вписанной окружности треугольника , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Радиусы и этих окружностей параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой .

Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .
Тогда — прямоугольник, поэтому , и .
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим

Первый способ. а) Пусть — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому — диаметр меньшей окружности.

Пусть хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно. Точка лежит на окружности с диаметром , значит, а так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то — середина Аналогично, — середина поэтому — средняя линия треугольника Следовательно,

б) Опустим перпендикуляр на хорду Тогда — середина Из прямоугольного треугольника находим, что

Пусть — центр меньшей окружности. Тогда Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на Тогда

а так как то из прямоугольного треугольника находим, что

Отрезок — средняя линия треугольника поэтому — середина Следовательно,

Второй способ. а) Пусть — центр большей окружности. Тогда — диаметр меньшей, значит, Следовательно, — середина хорды Аналогично — середина хорды Таким образом, — средняя линия треугольника и значит,

б) Отрезок — средняя линия треугольника поэтому

Обозначим По теореме о касательной и секущей

а так как то или После возведения в квадрат, получаем, что или

По теореме синусов

Тогда

Применив к треугольнику теоремy косинусов, получим, что

откуда Из равенства находим, что

Из теоремы об угле между касательной и хордой, а также из параллельности прямых и следует, что

т. е. — биссектриса треугольника а значит, — биссектриса треугольника

По свойству биссектрисы треугольника значит,

Треугольники и подобны с коэффициентом 2, поэтому По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

Следовательно,

Третий способ. а) Поскольку окружности касаются, у них есть общая касательная в точке . На этой касательной отметим такую точку что и лежат по разные стороны от прямой

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что и поэтому Следовательно,

б) Пусть уже известно, что а — биссектриса треугольника

Треугольники и подобны с коэффициентом 2, поэтому По формуле для квадрата биссектрисы треугольника и по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

откуда Следовательно,

Четвёртый способ. б) Пусть уже известно, что а — биссектриса треугольника

Тогда

По формуле для биссектрисы треугольника

а) Пусть траектория Ани пересекает в точке Тогда по теореме Менелая для и прямой

По теореме Менелая для и прямой

Перемножив два этих равенства, получим

 

 

б) Из первого равенства имеем:

Отсюда

Пусть тогда так как площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания. Так как то

Аналогично

 

 

Так как то

Тогда искомое отношение площадей равно

а) Пусть Тогда выполнено: Требуется доказать, что

По теореме Вариньона — параллелограмм со сторонами и Пусть Тогда следовательно, По теореме косинусов из и

Тогда

Таким образом, мы доказали тождество параллелограмма: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

По условию следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) По условию Из пункта а) следует, что а — ромб со стороной и углом

По формуле площади четырехугольника имеем:

Четырехугольник — ромб, следовательно,

Но с другой стороны, его площадь равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба, то есть

Следовательно, получаем