Рассмотрим рисунок. Заметим, что из условия следует, что основаниями трапеции будут $N K$ и $M B$ . Если меньшее основание трапеции параллельно гипотенузе, то и большее ей параллельно, следовательно, и $N K ∥ AB$ , и $M B ∥ AB$ . Так как $M B$ и $AB$ имеют общую точку $B$ , то $M$ лежит на $AB$ . Следовательно, отсюда однозначно определятся, как трапеция вписана в треугольник.

По теореме Пифагора гипотенуза $AB = 10$ . Заметим, что $∠CAB = ∠CN K$ как соответственные при $N K ∥ AB$ и $AC$ секущей. Значит, прямоугольные треугольники $CN K$ и $AN M$ равны по катету и острому углу. Следовательно, $AN = N K$ . Введем обозначения: $AN = y$ , $CN = x$ , $CK = z$ . Проведем $KH ⊥ AB$ .

Тогда $x + y = 6$ . Так как $M H = N K = y$ (так как $M N KH$ прямоугольник), то $AH = x + y = 6$ . Следовательно, $HB = 10 − 6 = 4$ . Также $KB = CB = CK = 8 − z$ . Следовательно, по теореме Пифагора из $△KHB$ :

(8 − z)2 = z2 + 42 ⇒ z = 3.

Заметим, что $∠KBH = ∠CKN$ как соответственные при $AB ∥ N K$ и $CB$ секущей. Следовательно, прямоугольные $△KBH ∼ △KCN$ . Значит,

KB--= KH---= HB-- ⇒ 5-= 3-= 4- ⇒ x = 9- и y = 15. N K CN CK y x 3 4 4

Тогда площадь трапеции равна

S = N-K-+-M--B-⋅ N M = 69-. 2 4

06 Подобие треугольников и пропорциональные отрезки