Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Тема 17. Задачи по планиметрии

17.06 Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#31018Максимум баллов за задание: 3

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $E$ . Через точку $E$ проведены прямая $ED$ параллельно стороне $BC$ и прямая $EF$ параллельно стороне $AB$ ( $D$ и $F$ — точки на этих сторонах). Докажите, что $√ ---------- SBDEF = 2 SADE ⋅SEFC$ .

Показать ответ и решение

Пусть $S = S ADE 1$ , $S = S EFC 2$ , $S = S BDEF 0$ . Требутся доказать, что $S =2√S-S-- 0 12$ .

$PIC$

Пусть $EF = x$ , $DE = y$ . Так как $△EF C ∼ △ABC$ ( $∠C$ — общий, $∠EFC = ∠ABC = α$ как соответственные при $EF ∥AB$ и секущей $BC$ ). Тогда, если $AB :EF = k$ , то $AD = (k − 1)x$ .

Аналогично $△ADE ∼△ABC$ и

BC AB k k 1 -y-= AD- = k− 1 ⇒ BC = k−-1y ⇒ FC =BC − y = k−-1y

Тогда с учетом $∠ADE = ∠ABC = α$ (как соотвественные при $DE ∥ BC$ и секущей $AB$ ) имеем:

S1 = 1AD ⋅DE ⋅sin ADE = 1(k − 1)xysinα 21 12 1 S2 = 2EF ⋅F C⋅sinEF C =2 ⋅k−-1xysinα 1 1 k2 SABC = 2AB ⋅BC ⋅sinABC = 2 ⋅ k− 1xysinα 1 ( k2 1 ) 1 S0 =SABC − S1− S2 = 2xysinα⋅ k− 1-− (k− 1)− k−-1 = 2xysinα ⋅2

Тогда

∘ --------- ∘ (-----------)--(------------)- S0 = 2 1x2y2sin2α =2 1(k− 1)xysinα ⋅ 1 ⋅-1--xy sinα =2∘S1S2- 4 2 2 k− 1

Ч.т.д.

Ответ: Доказательство