17.13 Окружность. Хорды и касательные

Сразу заметим, что — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если – точка пересечения окружности с катетом , то – диаметр.
 

 

Заметим, что в — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть .
Таким образом, прямоугольные треугольники и (, т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, содержит биссектрису , а так как равнобедренный, то и высоту, то есть .
По условию также , следовательно, . Значит, по теореме Фалеса – середина катета , то есть – средняя линия в .
Значит, радиус окружности равен