Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.06 Банковский вклад

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#87059Максимум баллов за задание: 2

Банк предоставляет услуги по открытию счета на следующих условиях:

– с 10 по 20 число каждого месяца банк увеличивает сумму на счете на 2%;

– с 21 по 29 число каждого месяца вкладчик имеет право внести на счет любую сумму или снять со счета сумму, не превышающую имеющуюся.

2 мая 2025 года два друга решили сложить свои накопления и открыть счет в банке на эту сумму. 28 мая первый друг увеличил свою часть на счету на $n%,$ в результате чего его доля увеличилась на 10%. Найдите наибольшее целое $n,$ при котором 22 июня 2025 года прибыль первого друга составит не менее 3%.

Под прибылью понимается разница между вырученными и всеми вложенными средствами.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ и $y$ — накопления первого и второго друзей соответственно. Тогда на счет в банке было положено $x+ y,$ доля первого друга составляет $-x--- x+ y.$ После первого начисления процентов сумма на счете составила $1,02(x+ y).$ После этого первый друг увеличил сумму на вкладе на $t,$ в результате чего его доля составила $--x+-t- . x + y+ t$ По условию

-x+-t--= 1,1 ⋅-x--- x+ y+ t x+ y

В следующем месяце после начисления процентов на счете оказалось

1,02(1,02(x+ y)+ t)

Учитывая то, чему равна новая доля первого друга, от этой суммы ему полагается

x+ t S = 1,02(1,02(x +y)+ t)⋅x+-y-+t

По условию $t$ составляет $n%$ от $x.$ Следовательно, $n= -t⋅100 x$ — эту величину нужно найти.

Прибыль первого друга равна разности $S − (x+ t)≥ 0,03(x+ t).$ Следовательно,

1,02(1,02(x +y)+ t)⋅--x+-t- ≥1,03(x +t) x+ y+ t

Получаем систему

(|{ -x-+t--= 1,1⋅--x-- x+ y+ t x+ y |( 1,02(1,02(x +y)+ t)⋅-x-+-t- ≥1,03(x +t) ( x+ y+ t |{ -11xt- x+ y = 10t− x |( 1,022(x +y)+ 1,02t≥ 1,03(x+ y+ t)

Рассмотрим неравенство после подстановки в него выражения для $x+ y :$

2 -11xt- (1,02 − 1,03)⋅10t− x ≥0,01t 0,1144x − 0,01(10t− x) -------10t−-x-------≥ 0 t−-1,244x ≤ 0 t− 0,1x 0,1x < t≤ 1,244x 10% < t ⋅100% ≤ 124,4% x

Следовательно, наибольшее целое $n =124.$

Ответ:

124

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2424Максимум баллов за задание: 2

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году:
Схема 1. К счету Ивана прибавляется $10%$ от находящейся на счете суммы;
Схема 2. К счету Ивана прибавляется $5%$ от находящейся на счете суммы и еще 50000 рублей.
Известно, что по прошествии 4 лет Иван может получить максимум 417967 рублей прибыли, если выберет оптимальную схему начисления прибыли. Сколько рублей положил Иван на счет в банке?
Если возможны несколько вариантов ответа, найдите хотя бы один.

Показать ответ и решение

Пусть в какой-то год на счете у Ивана будет $S$ рублей. Определим, каким должно быть $S$ , чтобы ему было выгодно выбрать схему 1. Если Иван выберет схему 1, то его прибыль в этом году составит $0,1S$ рублей. Если схему 2 — то $0,05S + 50000$ рублей. Если схема 1 выгоднее, то прибыль в случае выбора схемы 1 больше:

0,1S > 0,05S + 50000 ⇒ S > 1000000

Заметим, что если $S = 1000000$ рублей, то прибыль для схем 1 и 2 будет одинаковой. Таким образом, если в какой-то год на счете у Ивана окажется не меньше 1000000 рублей, то ему выгоднее выбирать схему 1 в этот и в последующие годы, поскольку далее сумма на счете только увеличивается. Если сумма на счете в какой-то год меньше 1000000 рублей, то ему выгодно в этот год выбирать схему 2 и так далее до тех пор, пока сумма на счете не станет больше или равна 1000000 рублей.
Таким образом, мы доказали, что не может быть такого, что Ивану в какой-то год выгодно выбрать схему 1, а потом — схему 2.

1) Последовательность выбора схем: 1, 1, 1, 1.
Пусть Иван изначально положил на счет $A ≥ 1000000$ рублей. Тогда он сразу выбирает схему 1 и сумма на счете через четыре года будет равна $4 1,1 ⋅ A$ рублей. Значит, прибыль будет равна $4 1,1 ⋅ A − A$ рублей. Проверим, может ли эта прибыль принимать максимальное значение, равное 417967:

1,14A − A ≤ 417967 ⇒ A ≤ 417967-⋅ 104 4641

Число $417967 -------⋅ 104 4641$ меньше 1000000. Следовательно, получили противоречие, поскольку рассматривали случай $A ≥ 1000000$ .

2) Последовательность выбора схем: 2, 1, 1, 1.
Пусть Иван положил на счет $A < 1000000$ рублей. Тогда в первый год ему выгодно выбрать схему 2, но уже во второй год ему выгодно выбрать схему 1. Сумма на счете в начале второго года будет равна $1,05A + 50000$ рублям, значит, чтобы далее выгодно было выбрать схему 1, эта сумма должна быть не меньше 1000000 рублей:

1,05A + 50000 ≥ 1000000 ⇒ A ≥ 19⋅ 106 21

Таким образом, мы получили границы для $A$ :

19- 6 21 ⋅ 10 ≤ A < 1000000 (∗)

В этом случае прибыль в конце четвертого года будет равна

3 1,1 (1,05A + 50000 ) − A

Оценим прибыль аналогично первому случаю:

3 351417- 6 1, 1 (1, 05A + 50000 ) − A ≤ 417967 ⇒ A ≤ 397550 ⋅ 10

Проверим, пересекается ли эта оценка с $(∗)$ . Для этого сравним числа

351417 19 ------- ⋅ 106 ∨---⋅ 106 397550 21

Поскольку $351417 ⋅ 21 − 397550 ⋅ 19 < 0$ , то получим

351417-⋅ 106 < 19-⋅ 106 397550 21

Тогда нет ни одного подходящего для этого случая значения $A$ .

3) Последовательность выбора схем: 2, 2, 1, 1.
Пусть в первые два года Ивану было выгодно выбирать схему 2, а дальше – схему 1. Тогда на начало третьего года сумма на счете больше или равна 1000000 рублей: