Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.05 Банковский кредит: другие схемы платежей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2415Максимум баллов за задание: 2

10 января в банке был взят кредит на 6 лет на следующих условиях:
— 16 числа каждого месяца, начиная с января, на текущий долг начисляется $r$ процентов;
— с 17 по 28 числа каждого месяца заемщик обязан внести платеж в счет погашения кредита так, чтобы сумма долга на 10 число каждого месяца удовлетворяла следующей таблице: $|------|------|------|--------|------|-------|------|------| |Д-ата-|10.01-|10.02-|-10.03--|10.04--|10.05--|10.06--|10.07-| -Д-олг----A-----0,8A---0,65A---0,4A---0,25A---0,1A-----0---|$ Известно, что $r ≤ 10$ , наибольший платеж по кредиту равен $517125$ рублей, наименьший – $187250$ рублей. Определите, сколько рублей составила переплата по кредиту.

Показать ответ и решение

Пусть $p = 0,01r$ , тогда $p ≤ 0,1$ . Составим таблицу:

|-------|-------------------|-------------------|-----------------------| |М-есяц-|Д-олг-на-10-числ-о-|Д-олг-на-16-число--|-------П-латеж---------| |01 | A | A + pA | pA + 0,2A = x1 | |02-----|------0,-8A--------|-0,8A-+--p ⋅ 0,-8A-|p-⋅ 0,8A-+-0,15A-=--x--| |-------|-------------------|-------------------|---------------------2-| |03-----|------0,65A--------|0,65A-+--p ⋅ 0,-65A|p ⋅ 0,65A-+-0,25A-=-x3-| |04-----|------0,-4A--------|-0,4A-+--p ⋅ 0,-4A-|p-⋅ 0,4A-+-0,15A-=--x4-| |05 | 0,25A |0,25A + p ⋅ 0, 25A|p ⋅ 0,25A + 0,15A = x5 | |06-----|------0,-1A--------|-0,1A-+--p ⋅ 0,-1A-|-p ⋅ 0,-1A-+-0,1A-=-x--| ---------------------------------------------------------------------6---

Определим наибольший платеж. Заметим, что $x2 > x4 > x5 > x6$ (действительно, например, $x2 > x4$ , так как $0,8p > 0,4p$ , потому как $p$ положительное, а второе слагаемое у них одинаковое).
Также $x1 > x2$ . Следовательно, претенденты на наибольший платеж – это $x1$ и $x3$ . Так как $0 < p ≤ 0,1$ , то $0,2 < p + 0,2 ≤ 0,3$ и $0,25 < 0,65p + 0,25 ≤ 0,315$ . Графики выглядят так:

$PIC$

Следовательно, видим, что $x > x 3 1$ при любом $p ∈ (0;0,1]$ . Таким образом, наибольший платеж – это $x3$ .

Определим наименьший платеж. Из предыдущих рассуждений заключаем, что $x3 > x1 > x2 > x4 > x5 > x6$ . Таким образом, наименьший платеж – это $x6$ .

Следовательно:

{ { (0,65p + 0, 25)A = 517125 A = 1750000 (0,1p + 0, 1)A = 187250 ⇔ p = 0,07

Тогда переплата по кредиту равна

pA + p ⋅ 0,8A + p ⋅ 0,65A + p ⋅ 0,4A + p ⋅ 0,25A + p ⋅ 0,1A = = 0,07 ⋅ 1750000 ⋅ (1 + 0,8 + 0,65 + 0,4 + 0,25 + 0,1) = 392000

Ответ: 392000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#15825Максимум баллов за задание: 2

Планируется выдать льготный кредит размером 1260 тысяч рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите общую сумму выплат заёмщика в тыс. руб.

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 1260$ тыс. рублей. Обозначим выплаты за 4-й и 5-й годы через $d$ (по условию они равны).

По условию в 1-м, 2-м и 3-м годах выплачиваются только проценты, поэтому долг остается равным 1260 тысяч рублей, то есть равным $S.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

Значение в столбце «Выплата» за 1-й, 2-й и 3-й годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты». По условию оно равно начисленным по кредиту процентам.
Сумма долга после выплаты за 4-й и 5-й годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга		Сумма долга
	до начисления %,	после начисления %,	Выплата,	после выплаты,
	тыс. рублей	тыс. рублей	тыс. рублей	тыс. рублей

1 год	$S$	$1110S$	$110S$	$S$

2 год	$S$	$1110S$	$110S$	$S$

3 год	$S$	$1110S$	$110S$	$S$

4 год	$S$	$11 10S$	$d$	$11 10S− d$

5 год	$11 10S− d$	$11(11 ) 10 10S − d$	$d$	$11(11 ) 10 10S − d − d$

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 5-м году равна 0. Запишем это в виде уравнения, подставив $S = 1260:$

11( 11 ) 10 10 ⋅1260− d − d =0 121⋅1260= 21d 100 10 d = 121⋅126 21 d= 726

Всего заёмщик выплатил в тыс. руб.

1 2d +3 ⋅10S = 2 ⋅726+ 3 ⋅126 =1452+ 378= 1830

Ответ: 1830 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#20053Максимум баллов за задание: 2

15-го января некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца, если сумма долга делится на 100 тысяч рублей, долг возрастает на $y%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца; если же к моменту начисления процентов сумма не делится на 100 тысяч рублей, то к сумме долга прибавляются $y%$ от суммы долга на начало предыдущего месяца;

– со 2-ого по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;

– 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

При каком наименьшем $y$ переплата составит не менее 120 тысяч рублей?

Показать ответ и решение

Платеж дифференцированный, размер кредита 300 (здесь и везде ниже будем считать в тысячах рублей), срок — 6 месяцев. Значит, в конце $i$ -го месяца размер долга должен составлять

6− i -6--⋅300

Составим таблицу, помня условие, что если сумма долга делится на 100, то ...

|------|--------------------|---------------------|-------------|--------------------| |Месяц | Сумма долга | С умма долга | Сумма долга | Вы плата | | | до начисления % | после начисления % |после выплаты | | |1-----|-300 (делится-на 100)|300-+300⋅-y-=-300+-3y-|6−1⋅300=-250-|300+-3y−-250-=-50+-3y-| |------|--------------------|---------10y0----------|66−2----------|--------------------| |2-----|250-(не делится-на 100)|250-+300⋅-100 =-250+-3y-6-⋅300=-200-|250+-3y−-200-=-50+-3y-| |3-----|-200 (делится-на 100)|200-+200⋅-y100 =-200+-2y|6−63⋅300=-150-|200+-2y−-150-=-50+-2y-| |4-----|150-(не делится-на 100)|150-+200⋅-y100 =-150+-2y|6−64⋅300=-100|150+-2y−-100-=-50+-2y-| |5 | 100 (делится на 100)|100+ 100⋅-y-= 100 +y | 6−5-⋅300 = 50 | 100+ y− 50= 50+ y | |------|--------------------|---------100y----------|-66−6---------|--------------------| -6------50 (не-делится на-100)--50+-100⋅100-=-50+-y-----6-⋅300=-0-----50+-y−-0=-50+-y----

Осталось записать условие, что переплата, то есть сумма всех выплат за вычетом размера кредита, не менее 120:

2((50 +3y)+ (50+ 2y)+ (50+ y)) − 300≥ 120 12y ≥ 120 y ≥ 10

Таким образом, наименьшее подходящее $y = 10.$

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#20054Максимум баллов за задание: 2

В июле 2010-го года планируется взять кредит в банке на сумму 670 тыс. рублей на 11 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

– в июле каждого года с 2011 по 2019 долг должен быть на 50 тыс. рублей меньше долга на июль предыдущего года;

– в последние два года должны быть внесены равные платежи;

Чему будет равна общая сумма выплат, если известно, что пятый по счету платеж должен быть равен 144 тыс. рублей?

Показать ответ и решение

Кредит взят на 11 лет, то есть он будет полностью погашен в июле 2021 года. Так как кредит взят в июле 2010 года, то в этом году не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим размер кредита в тыс. рублей за $S.$

Составим таблицу за 2011 — 2019 годы с учетом того, что в этот период долг уменьшался равномерно на 50 тыс. рублей каждый год.

Значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2011$	$S$	$S + -rS 100$	$50+ -rS 100$	$S − 50$

$2012$	$S− 50$	$(S− 50)+ 1r00(S− 50)$	$50+ 1r00(S − 50)$	$S − 50 ⋅2$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$2015$	$S− 50⋅4$	$(S− 50⋅4)+ -r(S− 50⋅4) 100$	$50+ -r(S − 50 ⋅4) 100$	$S − 50 ⋅5$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$2019$	$S− 50⋅8$	$-r- (S− 50⋅8)+ 100(S− 50⋅8)$	$-r- 50+ 100(S − 50 ⋅8)$	$S − 50 ⋅9$

Пятый по счету платеж равен 144 тыс. рублей. Так как первая выплата будет в 2011 году, то пятая выплата будет в 2015 году. Опираясь на данные из таблицы за 2015 год и сразу подставив в них $S = 670,$ получим

$pict$

Итак, мы получили, что процент по кредиту равен 20. Тогда сумма выплат за 2011 — 2019 годы равна сумме значений по столбцу «Выплата» за эти годы:

$pict$

Подставив сюда $S = 670, r = 20,$ получим в тыс. рублей

$pict$

В последние два года были сделаны равные выплаты. Обозначим эти выплаты за $B$ и составим таблицу с учетом того, что процент по кредиту равен 20.


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2020$	$S− 50⋅9$	$1,2(S − 50⋅9)$	$B$	$1,2(S − 50 ⋅9)− B$

$2021$	$1,2(S − 50 ⋅9) − B$	$1,2(1,2(S − 50⋅9)− B)$	$B$	$1,2(1,2(S− 50⋅9)− B)− B$

В июле 2021 года долг был полностью погашен, то есть

$pict$

Подставим $S = 670$ и получим в тыс. рублей

$pict$

Таким образом, размеры выплат за 2020 и 2021 годы равны 144 тыс. рублей. При этом за 2011 — 2019 годы общая сумма выплат составила 1296 тыс. рублей. Тогда общая сумма выплат по кредиту в тыс. рублей равна

1296+ 144 +144 =1584

Ответ: 1 584 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#20528Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит на $n$ лет на неизвестную сумму. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года, начиная с 2026, долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле каждого года, начиная с 2030, долг должен быть на 10 тыс. рублей меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю $(2025 +n )- го$ года долг должен быть полностью погашен.

На какое наименьшее количество лет должен быть взять кредит, чтобы седьмой платеж был не менее 30 тыс. рублей?

Показать ответ и решение

Обозначим через $S$ тысяч рублей сумму долга. В соответствии с условием составим таблицу. Запишем долг до начисления процентов и долг после платежей, а также заполним всю седьмую строку. Платеж в седьмой год равен сумме 10 тысяч рублей и начисленных за седьмой год процентов.

|---|-------------|--------------------|---------------|--------------------| |Год|--Долг до-%--|----Долг после %----|----Платеж-----|--Долг после платежа| |-1-|------S------|--------...---------|------...------|-------S-−-20-------| |-2-|----S−-20----|--------...---------|------...------|-------S-−-40-------| |-3-|----S−-40----|--------...---------|------...------|-------S-−-60-------| |-4-|----S−-60----|--------...---------|------...------|-------S-−-80-------| |-56-|----SS−−-8900----|--------......---------|------......------|-----S-S−-−909−010-----| |---|-------------|1-------------------|1--------------|--------------------| | 7 | S− 90− 10⋅k |10 ⋅(S− 100)+ S− 100|10 ⋅(S− 100)+ 10 S− 110 | |...|-----...-----|--------...---------|------...------|---------...---------| |-n-|-----...-----|--------...---------|------...------|S-−-90−-10⋅(n-−-5)-=0-| -----------------------------------------------------------------------------

Так как в пятый год долг после платежа равен $S− 90,$ а с пятого года до $n$ -ого прошло $n− 5$ лет, то долг после платежа в последний год равен

S− 90− 10⋅(n− 5)= 0

Получаем выражение для $S :$

S = 90+ 10⋅(n − 5)

Платеж за седьмой год равен

1-⋅(S − 100)+ 10 10

По условию он равен хотя бы 30 тысячам рублей. Таким образом, получаем

1- 10 ⋅(S− 100)+ 10≥ 30 S − 100 +100 ≥300 S ≥ 300

Тогда имеем неравенство

90 +10 ⋅(n − 5)≥ 300 10n − 50 ≥210 10n ≥260 n≥ 26

Значит, наименьшее количество лет равно 26.

Ответ: 26

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#21460Максимум баллов за задание: 2

31-го декабря Борис взял в банке $6951000$ рублей в кредит под $10%$ годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31-го декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $10%$ ), затем Борис переводит в банк платёж. Весь долг Борис выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Показать ответ и решение

Пусть $S = 6951000$ рублей — сумма кредита, $x$ рублей — величина ежегодной выплаты при трёх платежах, а $y$ рублей — величина ежегодной выплаты при двух платежах. Платеж в обоих случаях аннуитетный. Размер долга каждый раз увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза.

Рассмотрим первый случай, когда Борис выплатил кредит тремя платежами. Составим таблицу.

|----|----------------|--------------------|---------------------------|---------| |Год | Сумм а долга | Сум ма долга | Сумм а долга | Выплата | | | | | | | |----|до-начисления %-|-после начисления-%-|-------после вы-платы------|---------| |1 | S | 1,1S | 1,1S − x | x | |----|----------------|--------------------|---------------------------|---------| |2 | 1,1S − x | 1,1(1,1S − x) | 1,1(1,1S − x)− x | x | |----|----------------|--------------------|---------------------------|---------| -3----1,1(1,1S-−-x)−-x--1,1(1,1(1,1S −-x)-− x-)-1,1(1,1(1,1S-−-x)−-x)−-x-=-0---x-----

Найдем размер каждого из трёх платежей. Так как после третьей выплаты долг был погашен, мы имеем следующее уравнение:

1,1(1,1(1,1S − x)− x)− x = 0

-x- 1,1(1,1S − x)− x = 1,1

1,1S − x =-x--+ -x- 1,12 1,1

S = -x3-+ -x-2 +-x- 1,1 1,1 1,1

1+ 1,1+ 1,12 S = x ⋅----1,13----

---S-⋅1,13-- x = 1,12 + 1,1+ 1

6951000⋅1,13 6951⋅1331 x = 1,21+-1,1+-1-= ---3,31--- = 2100⋅1331 = 2795100

Рассмотрим второй случай, когда Борис мог выплатить кредит двумя платежами. Составим таблицу.

|----|----------------|------------------|--------------------|--------| |Год | Сумм а долга | Сумм а долга | Сумм а долга |Выплата | | |до н ачи сления % |после начисления %| после вы платы | | |----|----------------|------------------|--------------------|--------| |1 | S | 1,1S | 1,1S − y | y | |----|----------------|------------------|--------------------|--------| -2--------1,1S-−-y---------1,1(1,1S-− y)----1,1(1,1S-−-y)−-y-=-0-----y-----

Найдем размер каждого из двух платежей. Так как после второй выплаты долг был погашен, мы имеем следующее уравнение:

1,1(1,1S − y)− y = 0

y 1,1S − y = 1,1

S = -y--+ -y- 1,12 1,1

S = y⋅ 1+-1,21- 1,1

S ⋅1,12 y = 1-+-1,1-

6951000⋅1,12 69510⋅121 y = 2,1 = 2,1 = 33100 ⋅121 = 4005100

Тогда в первом случае Борис суммарно заплатит $3x$ рублей, а во втором случае $2y$ рублей. Значит, искомая величина в рублях равна

3x− 2y = 3⋅2795100− 2⋅4005100 = 8385300 − 8010200 = 375100

Ответ:

$375100$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#41110Максимум баллов за задание: 2

15 января некоторого года Антон взял кредит на 3 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го февраля, апреля и июня долг должен быть на одну девятую часть от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15-го числа предыдущего месяца;

– 15-го марта, мая и июля долг должен быть на две девятых части от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15-го числа предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 220 тыс. рублей больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Пусть $S = 3000$ тыс. рублей, $y = 0,01r.$ Тогда можно составить следующую таблицу:

|М-есяц-|Долг-до %-|Долг после %|Выплата-| |------|----------|------------|-----1--| |фев---|----S-----|--S-+-Sy----|Sy-+-9S-| |мар---|---89S-----|-89S-+-89Sy---|89Sy+-29S-| |апр---|---69S-----|-69S-+-69Sy---|69Sy+-19S-| |май | 5S | 5S + 5Sy |5Sy+ 2S | |------|---93------|-93----93-----|93----91--| |июн---|---92S-----|-92S-+-92Sy---|92Sy+-92S-| -июл-------9S-------9S-+-9Sy----9Sy+-9S--

Из условия следует, что переплата составила 220 тыс. рублей. Из таблицы следует, что переплата равна

( ) Sy ⋅ 1+ 8+ 6 + 5+ 3 + 2 9 9 9 9 9

Тогда имеем уравнение

( 8 6 5 3 2 ) Sy⋅ 1+ 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 220

Отсюда получаем

3000⋅0,01r⋅ 33= 220 9

Тогда $r =2.$

Ответ: 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#45226Максимум баллов за задание: 2

15-го января выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

|-----------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| |---Д-ата----|15.01-|15.02-|15.03-|15.04-|15.05-|15.06-|15.07-| | Долг (в % |100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% | | от кредита)| | | | | | | | -------------------------------------------------------

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. Заметим, что 5% от числа $a$ равны $1-a. 20$ Составим таблицу, отслеживающую изменения суммы долга:

|--------|-----------------|--------------------|--------------|----------| |Период |Долг до начисления|Д олг после начисления | Выплата |Долг п&#x0 | | процентов | процентов | | вы платы | |янв- ф-ев--|---------S-------|------S+--1⋅S-------|---1-⋅S+-0,1S--|--0,9S----| |--------|-----------------|---------201---------|-1-20----------|----------| |фев- м-ар--|------0,9S-------|---0,9S+-20 ⋅0,9S---|20 ⋅0,9S+-0,1S-|--0,8S----| |мар- апр--|------0,8S-------|---0,8S+-210 ⋅0,8S---|210 ⋅0,8S+-0,1S-|--0,7S----| |апр- май | 0,7S | 0,7S+ 210 ⋅0,7S |210 ⋅0,7S+ 0,1S | 0,6S | |май- ию-н-|------0,6S-------|---0,6S+--1⋅0,6S----|-1⋅0,6S+-0,1S--|--0,5S----| |--------|-----------------|---------201---------|201------------|----------| -июн-июл--------0,5S-----------0,5S+-20 ⋅0,5S----20 ⋅0,5S+-0,5S------0-----|

Общая сумма выплат — сумма всех выражений из столбца «Выплата»:

-1 ⋅S⋅(1+ 0,9 +0,8+ 0,7+ 0,6+ 0,5)+ S = 9-S+ S 20 40

Чтобы найти, на сколько процентов число $A$ больше числа $B,$ нужно найти значение выражения $A-− B B ⋅100%.$ Следовательно, общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит, на

490S+-S-−-S S ⋅100% = 22,5%

Ответ:

$22,5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#72797Максимум баллов за задание: 2

31 декабря 2023 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $p%$ ), затем Василий переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 32805 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 58725 рублей, то за 2 года. Найдите $p.$

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, которая взята в кредит. Обозначим $1+ 1p00 = k.$ Составим таблицу сначала для двух лет:

|----|---------|---------------|-------|------------------| |Год-|Долг-нач.-|---П-роценты----|П-латеж-|-----Долг-кон.-----| |-1--|---S-----|-----S⋅1p00---p-|-58725-|---2-Sk−-58725-----| --2---Sk−-58725--(Sk−-58725)⋅100---58725--Sk--−-58725k−-58725-

Поскольку при такой схеме долг выплачен за два года, то получаем уравнение:

Sk2− 58725k − 58725= 0.

Выразим из него $S :$

S = 58725(k+-1). k2

Теперь составим таблицу для четырех лет:

|---|---------------|-------------------|-------|----------------------| |Год|---Д-олг-нач.---|-----Проценpты-------|Платеж--|------Д-олг кон.------| |-1-|-------S-------|------S-⋅100---p----|-32805--|----2-Sk-− 32805------| |-2-|---S2k−-32805---|--(Sk-−2-32805)⋅100---|-32805--|--Sk-−332805k-−-322805---| | 3 | Sk −− 3322880055k− | (Sk−3−283052)8⋅05pk− | 32805 | S−k32−80352k8−053k28−05 | |-4-|-Sk3−-32805k2−--|--(Sk3−-3280510k02−----|-32805--|Sk4−-32805k3-− 32805k2−| | | −32805k − 32805|−32805k− 32805)⋅-p- | | −32805k− 32805 | ------------------------------------100---------------------------------

И получим уравнение:

4 3 2 Sk − 32805k − 32805k − 32805k− 32805 =0.

Снова выразим $S :$

3 2 S = 32805k-+-32805k-+4-32805k+-32805. k

Так как сумма, которая бралась в кредит, была одинакова для обеих схем выплат кредита, то оба выражения для $S$ можно приравнять:

3 2 58725(k-+1)= 32805(k-+k--+k-+1), k2 k4

3 2 3 2 58725k + 58725k = 32805k +32805k + 32805k+ 32805,

3 2 25920k +25920k − 32805k− 32805= 0,

2 25920k (k + 1) − 32805(k +1) =0,

(25920k2− 32805)(k +1) =0.

$k1 = −1$ не удовлетворяет условию задачи, так как $k$ является положительным числом.

32805 k2 = 25920,

k2 = 81, 64

k = ± 9, 8

$k = − 98$ не удовлетворяет условию задачи. Соответственно $k = 98.$ Откуда

1+ -p- = 9, 100 8

p 1 100 = 8,

p= 12,5.

Ответ: 12,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#72799Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на $12%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на $8%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— со февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Показать ответ и решение

Пусть сумма, взятая в кредит, это $A = 900$ тыс. руб. При этом сумма долга в течение десяти лет снижается равномерно, то есть каждый год уменьшается на одну десятую часть от $A.$ Составим таблицу с учетом этого.

|----|---------|---------|-------------|---------| |Год-|Д-олг-нач.|Проценты-|---Платеж----|Долг кон.| |2026-|---A-----|-A-⋅0,12--|-1A0 +-A-⋅0,12-|--190A----| |2027-|---910A----|-910A-⋅0,12-|1A0 +-190A-⋅0,12|--180A----| |2028-|---810A----|-810A-⋅0,12-|1A0 +-180A-⋅0,12|--170A----| |2029-|---710A----|-710A-⋅0,12-|1A0 +-170A-⋅0,12|--160A----| |2030-|---6105A----|-6105A-⋅0,12-|1A0A +-1605A-⋅0,12|--1504A----| |2031-|---104A----|-104A-⋅0,08-|10A +-104A-⋅0,08|--103A----| |2032-|---103A----|-103A-⋅0,08-|10A +-103A-⋅0,08|--102A----| |2033-|---102A----|-102A-⋅0,08-|10A +-102A-⋅0,08|--101A----| |2034-|---101A----|-101A-⋅0,08-|10A +-101A-⋅0,08|--10A----| -2035-----10A------10A-⋅0,08--10 +-10A-⋅0,08----0-----

Искомая сумма выплат это начальная сумма кредита плюс сумма всех выплаченных процентов, которые можно найти, используя формулу для суммы арифметической прогрессии. Поскольку в течение первых пяти лет действовала одна процентная ставка, а в течение следующих пяти лет другая, у нас две арифметические прогрессии по 5 слагаемых в каждой:

0,12A + 6⋅0,1102A 5⋅01,008A-+ 0,0180A A + ------2-----⋅5+ ------2-----⋅5=

0,6A-+0,36A+-0,2A-+-0,04A- = 2 = 1,6A.

Подставим $= 900$ и получим искомую сумму выплат: $1,6A = 1,6 ⋅900 = 1440$ тыс. рублей.

Ответ: 1440000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#72800Максимум баллов за задание: 2

Георгий взял кредит в банке на сумму 804000 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10% оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Показать ответ и решение

Начальную сумму равна 804000 рублей. Ежегодно начисляемые банком проценты составляют $p% = 10%.$ Так как кредит был выплачен тремя платежами, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то удобно взять выплату за 1 год, равную $4x.$ С учетом этого составим таблицу:

|----|----------------|------------|-------|------------------| |Год-|Д-олг-до процентов--Проценты--|П-латеж-|Д-олг после платежа |-1--|-----804000-----|----80400----|--4x---|----884400-− 4x----| |-2--|---884400−-4x---|-88440-− 0,4x|--2x---|---972840−-6,4x----| --3------972840−-6,4x----97284−-0,64x-----x------1070124−-8,04x---

Так как за 3 года кредит полностью выплачен, то получаем уравнение

1070124− 8,04x= 0

Отсюда получаем $x= 133100$ рублей — выплата в третий год.

Ответ: 133 100 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#72801Максимум баллов за задание: 2

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. С учетом условия задачи составим таблицу:

|------|---------|-------------|--------------------|---------| |М-есяц-|Долг-нач.-|--Проценты---|------П-латеж--------|Д-олг кон. |--1---|---S-----|---S-⋅0,03----|-----80-+0,03S-------|--S−-80--| |--2---|-S-−-80--|(S-− 80)⋅0,03-|--80+-(S−-80)⋅0,03---|-S-−-160-| |--3---|-S-− 160-|(S−-160)⋅0,03-|--80+-(S-−-160)⋅0,03--|-S-−-240-| |-...--|---...---|-----...------|---------...---------|---...---| |--10--|-S-− 720-|(S−-720)⋅0,03-|--80+-(S-−-720)⋅0,03--|-S-−-800-| ---11----S-− 800--(S−-800)⋅0,03--S−-800+-(S-−-800)⋅0,03-----0-----

С 1-й по 10-й месяцы размер выплаты изменяется по законам арифметической прогрессии. А за 11-й месяц мы выплачиваем всю оставшуюся часть кредита. Сумму платежей за первые 10 месяцев находим по формуле суммы арифметической прогрессии и к ней прибавляем 11-й платеж. По условию задачи общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей. Тогда получаем уравнение:

80+-0,03S+-80+-(S−-720)⋅0,03- 2 ⋅10+ (S− 800)+(S − 800)0,03= 1198 800− 108+ 0,3S +1,03S − 800− 24 = 1198 1,33S− 132= 1198 1,33S = 1330

Отсюда $S = 1000$ тысяч рублей — сумма, которую взяли в кредит. Тогда искомый долг в конце 10-го месяца равен $1000− 800= 200$ тысяч рублей.

Ответ: 200000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#78017Максимум баллов за задание: 2

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 672 тысячи рублей на $n +1$ месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– последний платеж составит 113,4 тысячи рублей;

– к 15-му числу $(n +1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $n$ , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $925,5$ тысячи рублей.

Показать ответ и решение

Все расчёты будем вести в тысячах рублей. Пусть $A$ — размер кредита, $x$ — ежемесячное уменьшение долга. Составим таблицу:

|-----|-----------|----------------|------------------|---------| |месяц-|--долг-нач.-|----проценты-----|------платеж-------|долг-кон.-| |--1--|-----A-----|-----0,05A-------|-----0,05A-+x------|--A-− x--| |--2--|---A-−-x---|---0,05(A-− x)---|--0,05(A-−-x)+-x---|-A-−-2x--| |--3--|---A−-2x---|---0,05(A-−-2x)---|--0,05(A-− 2x)+-x--|-A-−-3x--| |-...-|----...----|------...-------|-------...--------|---...---| |--n--|A-−-(n−-1)x-|0,05(A-−-(n-− 1)x)|0,05(A−-(n−-1)x)-+x-|-A-−-nx--| -n+-1------108---------0,05-⋅108-------------113,4------------0-----

Так как в последний месяц платеж составил $113,4$ тыс. рублей, то долг на начало этого месяца равен $113,4:1,05= 108$ тыс. рублей. За $n$ месяцев сумма долга уменьшилась на $672− 108= 564$ тыс. рублей. Ежемесячно сумма долга уменьшалась на сумму $x = 564- n$ тыс. рублей.

Общая сумма выплат равна сумме всех платежей, при этом заметим, что все платежи с 1-го по $n$ -й образуют арифметическую прогрессию. Тогда воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:

0,05A+-x+-0,05(A-− (n-− 1)x)+-x 2 ⋅n = 0,05A+ x+ 0,05A − 0,05nx+ 0,05x +x = ---------------2---------------⋅n = 564 = 0,1A+-2,05x-− 0,05⋅n⋅-n-⋅n = 2 0,1A-+-2,05⋅ 56n4−-28,2 = 2 ⋅n = (0,1⋅672 28,2 ) 2,05⋅564 = ---2---− -2-- ⋅n + --2n---⋅n =19,5n+ 578,1.

Тогда имеем уравнение на общую сумма выплат:

19,5n+ 578,1+ 113,4 = 925,5 19,5n= 234 n = 12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#78018Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

|дата-|июль.20-|июль.21-|июль.22-|июль.23-|ию-ль.24-|июль.25-| |долг-|--S----|--0,9S---|-0,75S--|-0,55S--|--0,3S---|---0---| ---------------------------------------------------------

Найдите наибольшее $S,$ при котором общая сумма выплат будет меньше 24 млн. рублей.

Показать ответ и решение

Все расчёты в миллионах рублей

|---|---------|---------|------------------|--------| |год-|долг-нач.-|проценты--|-----платеж-------|долг кон. |-1-|----S----|--0,2S----|-0,2S-+-0,1S =-0,3S-|--0,9S---| |-2-|--0,9S---|--0,18S---|0,18S+-0,15S-=-0,33S-|--0,75S--| |-3-|--0,75S---|--0,15S---|0,15S-+-0,2S =-0,35S-|--0,55S--| |-4-|--0,55S---|--0,11S---|0,11S+-0,25S-=-0,36S-|--0,3S---| --5----0,3S------0,06S----0,06S-+-0,3S =-0,36S-----0-----

Общая сумма выплат равна

0,3S + 0,33S +0,35S + 0,36S+ 0,36S < 24,

1,7S < 24,

S < 14 2-. 17

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 14. Значит искомый размер кредита — 14 млн.рублей.

Ответ: 14

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#82225Максимум баллов за задание: 2

В середине января некоторого года планируется взять кредит в банке на 8 месяцев на 228 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-ого февраля, марта, апреля и мая долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— с 10 по 20 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 25-ого февраля, марта, апреля и мая долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца;

— 1-ого июня, июля, августа и сентября долг будет возрастать на некоторое одинаковое число процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— 25-ого июня, июля, августа и сентября долг должен быть на 40 000 рублей меньше долга на конец предыдущего месяца;

— к 25-ому сентября долг должен быть выплачен полностью.

Сколько рублей составит наибольшая выплата по кредиту, если переплата по этому кредиту равна 222 000 рублей?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение 8 месяцев кредитования. Будем вести все вычисления в тыс. рублей. Пусть $x$ тыс. рублей — сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в течение первых четырех месяцев, а $t$ — часть долга (десятичный процент), на которую он увеличивается каждый из последних четырех месяцев.

|------|-------------------|----------------------|----------------| |Месяц-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления-%-|----Выплата-----| |--1---|--------228---------|-----228+-0,2-⋅228------|---0,2-⋅228-+x----| |--2---|------228−-x-------|-228−-x+-0,2⋅(228-− x)-|0,2⋅(228−-x)+-x-| | 3 | 228 − 2x |228− 2x+ 0,2⋅(228 − 2x)|0,2⋅(228 − 2x)+ x| |------|-------------------|----------------------|----------------| |--4---|------228-− 3x------|228−-3x+-0,2⋅(228-− 3x)|0,2⋅(228-− 3x)+-x| |--5---|----228−-4x-=-A-----|--------A-+tA---------|-----tA-+-40-----| |--6---|------A-−-40-------|---A-−-40+-t(A-− 40)---|--t(A-−-40)-+40---| | 7 | A − 80 | A − 80+ t(A − 80) | t(A − 80) +40 | |--8---|------A-− 120------|--A-−-120+-t(A-− 120)--|-t(A−-120)+-40--| --------------------------------------------------------------------

По условию после восьмой выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,

A − 160= 0 ⇔ 228− 4x =160 ⇔ x = 17

Переплата по кредиту равна

222= 0,2(228+ 228− x+ 228 − 2x + 228 − 3x)+ t(A + A − 40+ A − 80+ A− 120) 222= 0,2(4⋅228− 6x)+ t(4A − 240) 222= 0,2(4⋅228− 6⋅17)+ t(4⋅160− 240) t= 0,15

Рассмотрим первые четыре выплаты:

V = 0,2 ⋅228 +x 1 V2 = 0,2 ⋅(228− x)+ x V3 = 0,2 ⋅(228− 2x)+ x V4 = 0,2 ⋅(228− 3x)+ x

Заметим, что второе слагаемое у них одинаковое, а среди первых слагаемых наибольшее у первой выплаты. Значит, среди первых четырех выплат наибольшая — первая.

Аналогично среди выплат $V5,$ $V6,$ $V7$ и $V8$ наибольшая выплата — пятая.

Следовательно, среди всех восьми выплат наибольшей будет либо $V1,$ либо $V5.$ Найдем каждую из них и выберем наибольшую.

V = 0,2⋅228+ 17= 62,6 1 V5 = 0,15⋅160+ 40= 64

Таким образом, пятая выплата наибольшая и составит 64 000 рублей.

Ответ:

64 000 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#82241Максимум баллов за задание: 2

В середине января некоторого года планируется взять кредит в банке на 9 месяцев на 143 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-ого февраля, марта, апреля и мая долг будет возрастать на некоторое одинаковое число процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

– с 10 по 20 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 25 февраля, марта, апреля и мая долг должен быть на 12 000 рублей меньше долга на конец предыдущего месяца;

– 1-ого июня, июля, августа, сентября и октября долг будет возрастать на 22% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– 25-ого июня, июля, августа, сентября и октября долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца;

– к 25-ому октября долг должен быть выплачен полностью.

Сколько рублей составит наименьшая выплата по кредиту, если переплата по этому кредиту равна 112 700 рублей?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение 9 месяцев кредитования. Будем вести все вычисления в тыс. рублей. Пусть $y$ тыс. рублей — сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в течение последних пяти месяцев, а $r$ — часть долга (десятичный процент), на которую он увеличивается каждый из первых четырех месяцев.

|------|-------------------|------------------------|-----------------| |Месяц-|Долг до-начисления-%|-Д-олг-после-начисления-%--|-----Выплата-----| |--1---|--------143---------|-------143+-r⋅143-------|----r⋅143+-12----| |--2---|------143-− 12------|--143−-12+-r⋅(143−-12)---|-r⋅(143−-12)+12--| | 3 | 143 − 2 ⋅12 |143− 2⋅12+ r⋅(143− 2⋅12) |r⋅(143− 2⋅12)+ 12 | |------|-------------------|------------------------|-----------------| |--4---|-----143-− 3-⋅12-----|143−-3⋅12+-r⋅(143−-3⋅12)-|r⋅(143−-3⋅12)+-12-| |--5---|---143−-4⋅12=-A----|--------A+-0,22A---------|----0,22A+-y-----| |--6---|-------A−-y--------|----A-− y-+0,22(A-−-y)---|--0,22(A-−-y)-+y---| | 7 | A − 2y | A − 2y +0,22(A − 2y) | 0,22(A− 2y)+ y | |--8---|------A-−-3y-------|---A-−-3y-+0,22(A-−-3y)---|--0,22(A−-3y)+-y--| |------|-------------------|------------------------|-----------------| ---9----------A-−-4y-----------A-−-4y-+0,22(A-−-4y)------0,22(A−-4y)+-y---

По условию после девятой выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,

A− 5y = 0 ⇔ 143 − 4 ⋅12 = 5y ⇔ y = 19

Переплата по кредиту равна

112,7= r(143 +143− 12+ 143− 2⋅12+ 143− 3⋅12)+ 0,22(A + A − y +A − 2y+ A − 3y +A − 4y) 112,7= 500r+ 0,22(5A − 10y) 112,7= 500r+ 0,22⋅285 r = 0,1

Рассмотрим первые четыре выплаты:

V = r⋅143+ 12 1 V2 = r⋅(143− 12)+12 V3 = r⋅(143− 2⋅12)+ 12 V4 = r⋅(143− 3⋅12)+ 12

Заметим, что второе слагаемое у них одинаковое, а среди первых слагаемых наименьшее у четвертой выплаты. Значит, среди первых четырех выплат наименьшая — четвертая.

Аналогично среди выплат $V5,$ $V6,$ $V7,$ $V8$ и $V9$ наименьшая выплата — девятая.

Следовательно, среди всех девяти выплат наименьшей будет либо $V4,$ либо $V9.$ Найдем каждую из них и выберем наименьшую.

V = 0,1⋅(143− 3⋅12)+ 12 = 22,7 4 V9 = 0,22y+ y = 23,18

Таким образом, четвертая выплата наименьшая и составит 22 700 рублей.

Ответ: 22700 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#85264Максимум баллов за задание: 2

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на сумму 8,2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

— в феврале 2025 и 2026 годов сумма долга увеличивается на $x%$ по сравнению с январем текущего года;

— с марта по июнь каждого из 2025 и 2026 годов необходимо внести платеж;

— сумма долга в июле каждого из 2025 и 2026 годов должна быть на четверть исходной суммы долга меньше по сравнение с июлем прошлого года;

— в феврале 2027 и 2028 годов сумма долга увеличивается на $y%$ по сравнению с январем текущего года;

— с марта по июнь 2027 и 2028 годов необходимо внести одинаковые платежи так, чтобы к июлю 2028 года долг был выплачен полностью.

Известно, что $x+ y = 20$ и $x$ и $y$ — целые числа, не меньшие 5. Найдите наибольшую общую сумму выплат по такому кредиту. Ответ дайте в рублях.

Показать ответ и решение

По условию задачи в течение первых двух лет кредитования долг равномерно уменьшается на $14S,$ где $S = 8,2$ млн рублей, а последние два года выплачивается одинаковыми платежами. Пусть $m = 0,01x,$ $n= 1+ 0,01y,$ $A$ — платежи (в млн рублей) в 2027 и 2028 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования:

|----|--------------------|----------------------|----------| |Год-|-Долг до-начисления %|Долг после начисления %-Выплата--| |2025| S | S+ m ⋅S |m ⋅S + 14S | |----|---------3----------|------3------3--------|---3---1--| |2026|---------4S---------|------4S+-m-⋅4S-------|m-⋅4S+-4S-| |2027|------24S-=-12S-------|--------n⋅ 12S---------|----A-----| |2028| n⋅ 12S − A | n ⋅(n ⋅ 12S− A ) | A | -------------------------------------------------------------

По условию после четвертой выплаты долг должен быть погашен полностью, следовательно,

( 1 ) n2 n n ⋅2S − A − A = 0 ⇔ A = 2(n-+-1)S

Тогда общая сумма выплат равна

∑ ( 2 ) = S 1 + 7m + -n--- 2 4 n+ 1

Из условия следует, что $m = 1,2 − n,$ следовательно,

∑ ( 2 ) ( 2 ) = S 1+ 7 ⋅1,2− 7n + -n--- = S 2,6− 3n-+-7n 2 4 4 n+ 1 4(n+ 1)

Рассмотрим функцию

2 f(n) = 3n-+-7n- 4(n + 1)

Общая сумма выплат $∑$ будет принимать наибольшее значение, если $f(n)$ будет принимать наименьшее значение при $n ∈[1,05;1,15]$ (с учетом того, что $x ≥ 5,$ $y ≥ 5$ ).

Производная

′ 3(n+-1)2+-4 f(n)= 4(n + 1)2

Так как производная положительна для любого $n,$ то $f(n)$ возрастает, значит, наименьшее значение принимает в начале исследуемого промежутка. Следовательно, $fнаим = f(1,05).$ Тогда

∑ ( ) = 8,2 2,6− 1,05(3⋅1,05-+-7) = 8,2 ⋅2,6− 1,05(3⋅1,05+ 7)= 10,6625 наиб 4(1,05 +1)

Следовательно, наибольшая общая сумма выплат составляет 10 662 500 рублей.

Ответ: 10 662 500 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#85295Максимум баллов за задание: 2

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

— в феврале 2025, 2026 и 2027 годов сумма долга увеличивается на $x%$ по сравнению с январем текущего года;

— с марта по июнь каждого из 2025, 2026 и 2027 годов необходимо внести платеж;

— сумма долга в июле каждого из 2025, 2026 и 2027 годов должна быть на 20% исходной суммы долга меньше по сравнению с июлем прошлого года;

— в феврале 2028 и 2029 годов сумма долга увеличивается на $y%$ по сравнению с январем текущего года;

— с марта по июнь 2028 и 2029 годов необходимо внести одинаковые платежи так, чтобы к июлю 2029 года долг был выплачен полностью.

Известно, что $x+ y = 30,$ $x$ не меньше 5, а $y$ не меньше 10. Найдите наименьшую общую сумму выплат по такому кредиту.

Показать ответ и решение

По условию задачи в течение первых трех лет кредитования долг равномерно уменьшается на $1 5S,$ где $S = 4,5$ млн рублей, а последние два года выплачивается одинаковыми платежами. Пусть $m = 0,01x,$ $n= 1+ 0,01y,$ $A$ — платежи (в млн рублей) в 2028 и 2029 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования:

|----|--------------------|----------------------|----------| |Год-|-Долг до-начисления %|Долг после начисления %-Выплата--| |2025|---------S----------|-------S+-m-⋅S--------|m-⋅S-+-15S-| |2026| 4S | 4S+ m ⋅ 4S |m ⋅ 4S+ 1S| |2027|---------53S---------|------53S+-m-⋅5 3S-------|m-⋅5 3S+-51S-| |----|---------52----------|------5---2--5--------|---5---5--| |2028|---------5S---------|-------(n⋅5S----)-----|----A-----| -2029-------n⋅ 25S-− A----------n-⋅n-⋅ 25S−-A-----------A------

По условию после пятой выплаты долг должен быть погашен полностью, следовательно,

( 2 ) -n2-- 2 n n ⋅5S− A − A = 0 ⇔ A = n+ 1 ⋅ 5S

Тогда общая сумма выплат равна

( ) ( 2 ) ∑ = mS 1+ 4 + 3 + 3⋅ 1S+ 2A = 3S+ 4 S 3m + -n--- 5 5 5 5 5 n +1

Из условия следует, что $m = 1,3− n,$ следовательно,

∑ ( 2 ) = 3S+ 4 S 3,9− 2n-+-3n 5 5 n+ 1

Рассмотрим функцию

2n2+-3n- f(n) = n+ 1

Общая сумма выплат $∑$ будет принимать наименьшее значение, если $f(n)$ будет принимать наибольшее значение при $n∈ [1,1;1,25]$ (с учетом того, что $x ≥ 5,$ $y ≥ 10$ ).

Производная

′ 2(n+-1)2+-1 f(n)= (n+ 1)2 > 0 ∀n

Так как производная положительна для любого $n,$ то $f(n)$ возрастает, значит, наибольшее значение принимает в конце исследуемого промежутка, то есть в точке $n= 1,25= 5. 4$ Следовательно, $fнаиб = f(1,25).$ Тогда

( ) f 5 = 55 4 18

Следовательно, наименьшее общая сумма выплат по кредиту равна

∑ ( ) = 35 ⋅ 92 + 45 ⋅ 92 3,9 − 5158 = 5,74 наим

Следовательно, наименьшая общая сумма выплат составляет 5,74 млн рублей.

Ответ:

5,74 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#86558Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке сроком на 15 лет. Условия его возврата таковы:

– с февраля по апрель каждого года, начиная с 2026, долг увеличивается на 20% по сравнению с долгом на июль предыдущего года;

– с мая по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2041 года долг должен быть выплачен полностью.

Ровно один раз за весь период кредитования у клиента есть возможность просрочить платеж.

Назовем текущим долгом долг на конец апреля соответствующего года.

Условия просрочки платежа на $k$ дней таковы:

– за первый день клиент будет оштрафован на 1% от текущего долга, за второй день — на 2% от текущего долга, за третий — на 3% от текущего долга и так далее, за $k$ -ый день — на $k%$ от текущего года;

– $k$ не может превышать 30;

– общая сумма штрафа оплачивается клиентом отдельно после внесения ежегодного платежа и не должна превышать 4,2% от суммы, взятой в кредит.

Определите номер года (число от 1 до 15) и количество дней просрочки, при которых выгода банку будет наибольшей.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. Так как кредит взят на 15 лет, то каждый год долг должен равномерно уменьшаться на $1- 15S.$ Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования.

|----------|-------------------|----------------------|-----------------| | | | | | |Номер-года-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%-----Платеж------| | | | | 1 | | 1 | S | S + 0,2S | 0,2S+ 15S | |----------|--------14---------|-----14--------14------|------14-----1----| | 2 | 15S | 15-S+ 0,2⋅15S | 0,2⋅ 15-S+ 15S | |----------|-------------------|----------------------|-----------------| | ... | ... | ... | ... | |----------|-------------------|----------------------|-----------------| | i+1 | 15−-iS | 15−-iS+ 0,2⋅ 15−-iS |0,2⋅ 15−-iS + 1S | |----------|--------15---------|---15----------15-----|------15------15---| | ... | ... | ... | ... | |----------|-------------------|----------------------|-----------------| | 15 | 1-S | 1-S+ 0,2⋅ 1-S | 0,2⋅ 1-S+ -1S | --------------------15---------------15--------15-------------15----15----|

Пусть просрочка была сделана клиентом в $(i+ 1)$ -й год сроком на $k$ дней. Тогда общая сумма штрафа равна

( ) ( ) D = 15-− iS +0,2⋅ 15-− iS ⋅ 1--+ -2-+ ...+ -k- = 15 15 100 100 100 = 15−-iS ⋅1,2⋅ k(k-+1)- 15 200

Так как она не должна превышать 4,2% от $S,$ то

D = 15-− iS ⋅1,2 ⋅ k(k-+-1)-≤-42-S 15 200 1000

Получаем следующее неравенство:

(15− i)⋅k(k+ 1)≤ 105

Нам необходимо найти такие пары целых чисел $i$ и $k,$ где $0≤ i≤ 14,$ $1 ≤k ≤ 30,$ при которых выражение $(15− i)⋅k(k+ 1)$ не превышает 105. Среди найденных пар та пара чисел, при которой значение выражения $(15− i)⋅k(k+ 1)$ будет наибольшим, является решением задачи.

Введем обозначения:

j = 15− i, 1≤ j ≤ 15 y = k(k+ 1), 2≤ y ≤30 ⋅31

Тогда получим

j⋅y ≤ 105

Из неравенства следует, что $j ≤105$ (это удовлетворяет условию $1≤ j ≤15$ ), $y ≤105.$ Решим неравенство

k(k+ 1)≤ 105 ⇔ k2 +k − 105 ≤ 0 −1−-√421- −-1+-√421 2 ≤ k ≤ 2 ⇒ 1 ≤ k ≤ 9

Тогда получаем следующую систему, с которой будем работать:

( ||||| j⋅y ≤105 |||| 1≤ j ≤ 15 ||||{ 2≤ y ≤90 (∗) |||| 1≤ k ≤9 |||| |||| y = k(k+ 1) |( j,k ∈ ℕ

Пробежимся по всем возможным значениям $k.$ Посмотрим на следующую таблицу. Для каждого $k ∈ [1;9]$ найдем $y,$ а по нему из системы $(∗)$ наибольшее возможное $j,$ после чего вычислим значение $j⋅y.$ Нам подойдет та пара $(j;y),$ для которой число $j⋅y$ максимально.

|--|-----------|---|----| |-k|y-=-k(k-+-1)-|-j-|j⋅y-| |-1|-----2-----|15-|30--| |-2|-----6-----|15-|90--| | 3| 12 | 8 |96 | |-4|----20-----|-5-|100-| |--|-----------|---|----| |-5|----30-----|-3-|90--| |-6|----42-----|-2-|84--| --7-----56-------1--56--| | 8| 72 | 1 |72 | |--|-----------|---|----| --9-----90-------1--90--|

Нам подходит пара $k = 4,j =5.$ Так как $j = 15− i,$ то $i= 10.$

Следовательно, наибольшую выгоду банку даст просрочка, сделанная на 11-ый год кредитования и длящаяся 4 дня.

Ответ:

11-й год, 4 дня просрочки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#86922Максимум баллов за задание: 2

В январе некоторого года планируется взять кредит в банке сроком на некоторое количество лет. Условия его возврата таковы:

– с февраля по апрель каждого года долг увеличивается на 10% по сравнению с долгом на январь текущего года;

– с мая по июнь необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Платежи бывают двух видов. После платежа первого вида долг уменьшается на 10% по сравнению с долгом на январь текущего года. После платежа второго вида долг остается равным долгу на январь текущего года, но впоследствии клиент обязан выплатить банку штраф в виде некоторой суммы.

Штраф расчитывается следующим образом: если платеж второго вида был совершен в $k$ -ый год, то штраф составит $k%$ от долга на январь $k$ -го года и должен быть внесен вместе с платежом в $(k +1)$ -ом году.

Известно, что за весь период кредитования будет сделано два платежа второго вида, причем переплата по кредиту примет наибольшее значение среди возможных. Определите, через сколько лет кредит будет выплачен полностью, в какие по счету годы будут сделаны платежи второго вида и сколько процентов от кредита составит переплата.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. Каждый год, когда совершается платеж первого вида, долг уменьшается на $1- 10S$ по сравнению с долгом на начало текущего года. Следовательно, если первые $n$ платежей будут первого вида, то на начало $(n+ 1)$ -го года долг составит $n S− 10S.$ Каждый платеж второго вида оставляет сумму долга равной долгу на начало текущего года. Следовательно, если через $(n +2)$ года долг будет выплачен полностью, то есть будет совершено $n$ платежей первого вида и два платежа второго вида, то на начало $(n+ 3)$ -го года долг составит $n- S− 10S = 0.$ Отсюда получаем, что $n = 10.$ Следовательно, кредит должен быть взят на 12 лет.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования. Пусть платежи второго вида будут совершены на $(i+ 1)$ -ый и $(j+ 1)$ -ый годы кредитования.

|---------|----------------|-----------------------------|-----------------------| |Номер года |Долг до начисления % Долг после начисления % | П латеж | |---------|----------------|-----------------------------|-----------------------| |---1-----|-------S--------|-----------S+-0,1S------------|-------0,1S-+0,1S--------| |---2-----|----(1− 0,1)S----|-----(1− 0,1)S+-0,1(1− 0,1)S----|----0,1(1− 0,1)S-+0,1S----| | ... | ... | ... | ... | |---------|----------------|-----------------------------|-----------------------| |--i+-1---|----(1−-0,1i)S-----|----(1−-0,1i)S+-0,1(1− 0,1i)S----|------0,1(1−-0,1i)S-------| |--i+-2---|----(1−-0,1i)S-----|----(1−-0,1i)S+-0,1(1− 0,1i)S----|--0,1(1− 0,1i)S+0,1S+-A1-| | ... | ... | ... | ... | |---------|----------------|-----------------------------|-----------------------| |--j+-1---|--(1−-0,1(j− 1))S--|(1−-0,1(j− 1))S+-0,1(1− 0,1(j−-1))S----0,1(1−-0,1(j-− 1))S----| |--j+-2---|--(1−-0,1(j− 1))S--|(1−-0,1(j− 1))S+-0,1(1− 0,1(j−-1))S|0,1(1− 0,1(j−-1))S+0,1S+-A2| | ... | ... | ... | ... | |---------|----------------|-----------------------------|-----------------------| ----12-----------0,1S----------------0,1S-+0,1⋅0,1S---------------0,1⋅0,1S+-0,1S-------

Штрафы выглядят следующим образом:

A1 =0,01(i+1)(1− 0,1i)S A2 =0,01(j+1)(1− 0,1(j− 1))S

Рассмотрим сумму $A0$ этих двух штрафов и найдем $i$ и $j,$ при которых она будет наибольшей.

A0 = 0,001S⋅((i+ 1)(10− i)+ (j +1)(11 − j)), 0≤ i< j ≤ 11

Тогда $A0$ принимает наибольшее значение при наибольшем значении выражения

f(i;j)= (i◟+-1)◝(1◜0−-i)◞+(◟j+-1)◝(1◜1−-j)◞ g(i) h(j)

Рассмотрим по отдельности функции $g(i)$ и $h(j).$ Графиком каждой из них является парабола, ветви которой направлены вниз. Изобразим их:

$g4(i,5)$ $h5(j)$

Наибольшее значение выражения $f(i;j)= g(i)+ h(j)$ равно сумме наибольших значений выражений $g(i)$ и $h(j)$ при условии, что $0≤ i< j ≤ 11$ и $i,j ∈ ℕ.$