16.04 Банковский кредит: дифференцированный платеж

Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

 

1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен , то в начале 2-ого — , в начале 3-его — , в начале 4-ого — и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это , во 2-ой год — это , в 3-ий — это и т.д. Следовательно, переплата:

2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим:

Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более выгодно.

 

Выгода равна , значит, она составляет от суммы кредита.

Пусть млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу:

Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку

Тогда за последние 4 года он отдал банку

Следовательно, за последние 4 года от отдал банку млн. рублей.

Пусть тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это часть от ; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

Из полученного уравнения можно найти

Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку:     тыс. рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на часть, то есть на млн рублей. Составим таблицу (расчеты ведем в млн рублей):

Таким образом, общая сумма выплат в млн рублей составляет

В процессе вычислений в больших скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен -ый равен 1, а количество членов равно

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию 24,5 млн рублей, то получаем

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за сумму кредита:

Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны

Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то

С использованием формулы суммы арифметической прогрессии далее имеем:

Отсюда получаем

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а последний - наименьшим. Действительно, если кредит взят на рублей сроком на лет под годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен , после второго – и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это ). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше.
 
В первый год долг равен , то есть первый платеж равен .
В последний год долг равен , следовательно, последний платеж равен .

 

По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на наименьший платеж, то есть должен составлять не более от наименьшего, следовательно:

Так как – количество лет, то есть целое число, то .

Так как кредит взят в августе 2022 года, в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим размер кредита через а процентную ставку за первый год через При этом каждый год процентная ставка увеличивается на 1. Кредит взят на 3 года, то есть в январе 2023-го года сумма долга увеличится на в январе 2024-го года — на в январе 2025-го года — на

1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года. Обозначим эту величину за

Таким образом, сумма долга после выплаты в 2023-ем году составит в 2024-ом году в 2025-ом году При этом в 2025-ом году долг должен быть погашен, то есть и

Отсюда получим, что сумма долга после выплаты в 2023-ем году равна сумма долга после выплаты в 2024-ом году равна

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».

По условию переплата по кредиту не превосходит При этом переплата равна разности суммы выплат (сумма по столбцу "Выплата") и изначальной суммы кредита Выпишем это в виде неравенства:

Таким образом, максимально возможная процентная ставка по кредиту за первый год составляет 16%.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Кредит взят на 23 месяца, обозначим размер кредита за Так как из условия платеж дифференцированный, то каждый раз за месяц сумма долга должна уменьшаться на Можем составить таблицу:

Переплата по кредиту равна сумме всех первых слагаемых из столбца «Выплата», по условию она составляет Запишем и решим уравнение:

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Фраза «кредит выплачивался ежестолетними платежами, уменьшающими долг каждые 100 лет на одну и ту же величину» означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждые 100 лет после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную части от суммы, взятой в кредит, так как он взят на 4 столетия.

Пусть — сумма, взятая в кредит, — годовой процент в банке «You’ll never pay». Тогда обозначим величину

Составим таблицу:

Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна

Значит, переплата равна

Необходимо, чтобы переплата составила не менее 30% от суммы кредита, то есть

Таким образом, наименьший годовой процент равен 12%.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Вычисления будем проводить в миллионах рублей.
Пусть Дед Мороз взял в кредит миллионов рублей.
Составим таблицу выплат. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется арифметическая прогрессия, поэтому строки с 4-й по 11-ю можем пропустить:

Нас интересует столбец выплат. При этом величины выплат образуют арифметическую прогрессию. Заметим, что первые слагаемые в каждой выплате одинаковые, а для вторых слагаемых воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

Общая сумма выплат равна миллиона рублей:

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Все вычисления будем проводить в миллионах рублей. Пусть миллионов рублей.

Составим таблицу выплат для первых 12 платёжных периодов. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется арифметическая прогрессия, поэтому строки от четвертой до 11-й можем опустить:

У задачи есть два пути решения. Первый: найти сумму первых 12 выплат и разделить её на 12. Второй: найти среднее арифметическое первой и последней (12-й) выплат, откуда по характеристическому свойству арифметической прогрессии мы автоматически найдём ответ.

Пойдём вторым путем.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:

Переплата в первом банке составит

Заметим, что сумма долга станет меньше в конце 4-го года (после 4-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за

Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 4-х лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна

Необходимо, чтобы

Пусть Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:

Переплата в первом банке составит

Заметим, что сумма долга станет меньше в конце 5-го года (после 5-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за

Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 5-ти лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна

Необходимо, чтобы

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение шести лет пользования кредитом, приняв за тыс. рублей.

Заметим, что к декабрю 2023 года Тимофей успеет внести четвертый платеж по кредиту и его долг составит Следовательно, в случае, если Тимофей решит погасить кредит досрочно, вместо последних двух платежей ( и ) ему необходимо будет выплатить банку сумму, равную тыс. рублей.

Если Тимофею выгодно погасить кредит досрочно, то переплата в случае досрочного погашения кредита должна быть меньше переплаты в случае погашения кредита за шесть лет дифференцированными платежами. Поэтому получаем следующее неравенство:

Следовательно, наибольшее целое равно 27.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть млн рублей, — число лет, на которое взят кредит. Тогда так как долг каждый год уменьшается равномерно и через выплат равен нулю, то каждый год он уменьшается на Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.

Наименьший годовой платеж — последний, так как второе слагаемое у него такое же, как и у остальных платежей, а первое — самое меньшее среди первых слагаемых всех платежей. Следовательно, получаем

Тогда общая сумма выплат равна

Кредит взят на лет, размер платежа тысяч рублей, платеж дифференцированный, значит, каждый раз за год сумма долга должна уменьшаться на Составим таблицу, учитывая, что каждый январь сумма долга увеличивается на то есть увеличивается в раз. Значение в ячейке столбца «Выплата» в задачах на дифференцированный платеж можно вычислить двумя способами:

1.

как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты»;

2.

как разность дифференцированного платежа (в данной задаче это ) процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это где — значение в столбце «Сумма долга до начисления %»).

Найдем сумму выплат и найдем при которых она не меньше 40 тыс. рублей. Выплаты образуют арифметическую прогрессию длины с первым членом и разностью -1. Тогда сумма такой прогрессии удовлетворяет неравенству

Нас интересует минимальное натуральное удовлетворяющее этому условию — это

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.