Тема 18. Задачи с параметром

18.11 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#20624Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение

( ) ( ) a(a+ 2)− a|x− 2|= 4x− x2− 1 |x − 2|− 4x − x2− 1 (a +2)

имеет ровно два корня.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

$pict$

Решим первое уравнение из совокупности:

$pict$

Таким образом, первое уравнение совокупности имеет один корень при $a +2 = 0$ , то есть при $a= −2$ , и два корня при $a +2 > 0$ , то есть при $a > −2$ . При $a <− 2$ корней нет.

Решим теперь второе уравнение из совокупности:

$pict$

Рассмотрим, как меняется количество корней при разных знаках дискриминанта:

$D > 0 ⇒ уравнение им еет два различны х корня$

$pict$
$D = 0 ⇒ уравнение им еет один корень$

$pict$
$D < 0 ⇒ уравнение не имеет корней$

$pict$

Таким образом, получим следующее:

При $a< −3 <− 2$ оба уравнения не имеют корней, что нам не подходит.
При $− 3< a <− 2$ первое уравнение не имеет корней, второе имеет два различных корня. Тогда совокупность имеет ровно два решения, что нам подходит
При $− 3< −2 < a$ совокупность имеет следующие решения:

$pict$

При этом из $a ⁄= −2, a >− 3$ получаем, что
$2+ a+ 2⁄= 2− (a+ 2), 2+ √3-+-a⁄= 2− √3-+a$
Тогда для того, чтобы решений совокупности было ровно два, должно быть выполнено следующее:

$pict$

Из $a > −2$ получаем, что $a+ 2> 0$ , то есть второе уравнение не имеет решений. Найдем решения первого уравнения:

$pict$

$√- a= −3+2-5 > −3+22-= − 12 > −2$ — подходит,
$a= −3−√5 < −3−2= −2,5< − 2 2 2$ — не подходит
Получили, что совокупность имеет ровно два решения только при $√- a = −3+2-5$
При $a= −3 <− 2$ первое уравнение не имеет корней, а второе имеет ровно один корень, то есть совокупность имеет ровно одно решение, что нам не подходит
При $a= −2 >− 3$ совокупность имеет следующие решения:

$pict$

То есть совокупность имеет три различных корня, что нам не подходит.

Тогда совокупность имеет ровно два различных корня только при $− 3< a< − 2$ или при $√- a = −3+2-5.$

Ответ:

$−3+√5 (− 3;− 2)∪{ 2 }$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#31803Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 2 2 ((a− 2)x + 6x) − 4((a− 2)x + 6x)+4− a = 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 ((a− 2)x + 6x− 2) = a ⇔ (a− 2)x + 6x− 2±a =0

Рассмотрим два случая.

1.

При $a= 2$ оба полученных уравнения являются линейными:

6x =2 ±a ⇒ x= 2±-2 ⇔ x= 0;2 6 3

Следовательно, $a =2$ нам подходит.

2.

При $a⁄= 2$ оба полученных уравнения квадратные, причем при $a= 0$ все их коэффициенты совпадают, а при $a ⁄=0$ только свободные коэффициенты отличаются.

2.1.

Если $a= 0$ , то получаем два одинаковых квадратных уравнения, то есть по сути одно:

2 2 3 ±√5- − 2x + 6x− 2= 0 ⇔ x − 3x+ 1= 0 ⇔ x =---2-

Значит, $a= 0$ нам подходит.

2.2.

Если $a⁄= 0;2$ , то получаем два квадратных уравнения, у которых один коэффициент из трех совпадает. Следовательно, эти уравнения не могут иметь общих корней, значит, чтобы суммарно было два корня, нужно: оба уравнения имеют по одному корню; одно уравнение имеет два корня, а второе не имеет корней.

(i): Оба уравнения имеют по одному корню, следовательно, их дискриминанты равны нулю одновременно: $( ( { 9− (a − 2)(− 2− a)= 0 { a2 = −5 D1,2 =36− 4(a − 2)(−2 ±a)= 0 ⇔ ( 9− (a − 2)(− 2+a)= 0 ⇔ ( (a − 2)2 = 9 ⇔ a∈ ∅$
(ii): Одно уравнение имеет два корня, а другое не имеет корней: $⌊({ D1 > 0 ||( |||( D2 < 0 ⇔ D1D2 < 0 ⇔ (5 +a2)(9− (a− 2)2))< 0 ⇔ |⌈{ D1 < 0 ( D2 > 0 ⌊ (a − 2)2 > 9 ⇔ ⌈ a< −1 a> 5$
Удовлетворяет условию $a ⁄=0;2$ .

Итого ответ $a∈ (∞; −1)∪{0,2} ∪(5;+∞ )$ .

Ответ:

$a ∈(∞;−1)∪ {0,2}∪(5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#31815Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых корни уравнений

2 3x (1) x + a + 2a= 0 12x (2) x2+ -a-− a= 0

перемежаются (т.е. каждое из уравнений имеет два корня и между ними лежит корень другого уравнения).

Показать ответ и решение

Пусть $α 1,2$ – различные корни уравнения (1); $β 1,2$ – различные корни уравнения (2). Заметим, что полностью корни этих уравнений совпадать не могут, так как в таком случае в левых частях бы стояли одинаковые многочлены, то есть $3 12 a = a$ и $2a= −a$ .

Если множества решений этих уравнений различны, то упорядоченные по возрастанию/убыванию корни должны образовывать следующую последовательность: $α1;β1;α2;β2$ .

Если уравнения имеют общий корень, то упорядоченные по возрастанию/убыванию они должны образовывать следующую последовательность: $α1;β1;α2 = β2$ . То есть либо больший корень уравнения (1) совпадает с большим корнем уравнения (2), либо меньший с меньшим.

$∙$ Рассмотрим случай, когда $αi = βj$ . Тогда система из этих уравнений должна иметь решение.

( 3x ( ||{x2+ -a +2a= 0 |{ x2 = −3a || 12x ⇔ |( ⇔ x =3;a= −3 (x2+ -a-− a= 0 3x= a2

Тогда другой корень уравнения (1) $x= −2$ , другой корень уравнения (2) $x= 1$ . Таким образом, $− 2 <1< 3= 3$ . Все хорошо.

$∙$ Пусть $a⁄= −3$ , то есть имеем последовательность $α1;β1;α2;β2$ то есть нет общих корней. Рассмотрим функции $y1 = x2+ 3ax+ 2a$ и $y2 = x2+ 12xa-− a$ . Если корень одного уравнения лежит между корнями другого, то значение одной функции в корне другой будет отрицательным (то есть $y2(α2)<0$ и $y1(β1)< 0$ ) и параболы будут пересекаться, причем их точка пересечения будет находиться между $β1$ и $α2$ , то есть значение функций в этой точке будет отрицательным. Заметим, что это условие также будет гарантировать положительность дискриминантов, так как у каждой функции найдена точка, значение в которой отрицательно, а ветви парабол направлены вверх.

Абсциссу общей точки мы нашли выше – это $x= a32$ . Необходимо:

( ) a2 2+ 3a2-+2a <0 ⇔ a(a3+ 27)<0 ⇔ a∈ (− 3;0) 3 3a

Ответ:

$a ∈[−3;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#36425Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях $b$ уравнение

4 2 √ - √ - 2 √- bx +b + (2 + 2)b+ 2 2= b(b+ 2)+4x

имеет бесконечно много корней?

Показать ответ и решение

Данное уравнение относительно переменной $x$ является линейным. Приедем его к виду $Ax =B$ . Тогда

4 2 √- 2 √- √- (b − 4)x =b (b + 2)− b − (2+ 2)b− 2 2

Линейное уравнение вида $Ax =B$ имеет бесконечно много корней, если коэффициенты $A$ и $B$ равны нулю. Следовательно,

({ b4− 4 =0 ( 2 √- 2 √ - √- b(b+ 2)− b − (2 + 2)b− 2 2

Из первого уравнения $√- b =± 2$ . Во второе подходит лишь $√- b=− 2$ .

Ответ:

$b= −√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#37046Максимум баллов за задание: 4

Найдите $a$ , при которых все корни уравнения

2 3 2 3ax +(3a − 12a − 1)x− a(a− 4)= 0

удовлетворяют условию $|x|< 1$ .

Показать ответ и решение

Уравнение может быть линейным при $a =0$ и квадратичным при $a⁄= 0$ .

1. Пусть $a =0$ . Тогда уравнение принимает вид

−x =0 ⇒ x= 0

Этот корень по модулю меньше 1. Это $a$ нам подходит.

2. $a ⁄=0$ .

3 2 2 2 D = (3a − 12a − 1) +12a (a − 4)

Видим, что скорее всего нам не удастся найти нули дискриминанта обычным способом.

Сделаем замену $3a= t$ , $a(a− 4)=p$ . Тогда уравнение и дискриминант принимают вид

tx2+ (tp− 1)x − p =0 D =(tp − 1)2+4tp= t2p2− 2tp+ 1+ 4tp= (tp +1)2 ≥0

Следовательно, корни уравнения равны

x = −-tp+-1±-(tp+-1)= 1;−p 2t t

Так как корни должны быть по модулю меньше 1, то

( (| ||1|| ( ||||a|> 1 |{ ||t||< 1 ⇒ {|3a|> 1 ⇔ |{ 3 ⇔ a∈ (2+√3;2+ √5) ||( (|a2− 4a|< 1 |||a2− 4a− 1< 0 |− p|<1 |(a2− 4a+ 1> 0

Следовательно, $a= 0$ или $√- √ - a ∈(2+ 3;2 + 5).$

Ответ:

$a ∈{0}∪(2+ √3;2+√5-)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#38366Максимум баллов за задание: 4

Найдите наибольшее значение параметра $a$ , при котором уравнение

x3+ 5x2+ ax + b= 0

с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен $− 2$ .

Показать ответ и решение

Если кубический многочлен имеет 3 корня, то его можно представить в виде произведения трех линейных скобок (причем, если старший коэффициент равен $1$ , то коэффициенты перед $x$ во множителях также будут равны $1$ ):

(x− x1)(x− x2)(x − x3) =0

Так как один из корней равен $− 2$ , то, к примеру, $x1 =− 2$ , следовательно, уравнение можно переписать в виде

(x+ 2)(x2 +Ax + B)= 0 ⇔ x3 +(A + 2)x2+ (B +2A )x +2B = 0

Сопоставив коэффициенты, можно получить следующую систему:

( |||A + 2= 5 { ||B + 2A = a |(2B = b

Так же учтем, что у квадратичного трехчлена должно быть два различных корня, то есть его дискриминант положителен, а также то, что ни один из этих корней не равен $− 2$ :

(| |||| A +2 = 5 ||||{ B + 2A = a 2B = b ||| ||||| A2− 4B > 0 |( 4− 2A +B ⁄= 0

Решая эту систему, получаем, что

b≤ 3, a≤ 7,5

Наибольшее целое $a = 7$ , при котором также получаем целое $b= 2$ .

Ответ:

$a = 7$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#38367Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметров $a,b,c$ множество действительных корней уравнения

5 4 2 x + 2x + ax + b= cx

состоит в точности из чисел $±1$ ?

Ломоносов, 2011

Показать ответ и решение

Если многочлен имеет корни $±1$ , то его можно разложить в произведение двух множителей: $2 (x − 1)$ и кубический многочлен. Так как кубический многочлен всегда имеет как минимум один действительный корень, то у исходного многочлена кратность одного из корней $1$ или $− 1$ равна как минимум $2$ . Следовательно, он делится либо на $M1 = (x + 1)(x− 1)2$ , либо на $M2 = (x+ 1)2(x− 1)$ , причем в частном мы получим квадратичный многочлен $x2+ px+ q$ :

$Mi ⋅(x2+ px+ q)= 0$ $(eq :i)$

У квадратичного трехчлена либо может не быть корней, либо может быть единственный корень $± 1$ , либо два различных корня $1$ и $− 1$ . Следовательно, для коэффициентов $p$ и $q$ должно выполняться следующее:

⌊ 2 |p( − 4q < 0 |||| p2− 4q = 0 ||{ [ |||||( p= 2,q = 1 || p= −2,q = 1 ||({ p2− 4q > 0 ⌈ ( p= 0,q = −1

Раскрывая скобки в двух уравнениях $(eq :i)$ и приравнивая соответствующие коэффициенты у полученных уравнений и исходного уравнения, получим

для $M1$ : $(|| p− 1= 2 (|| p= 3 |||| |||| |||{ q− p− 1= 0 |||{ q = 4 1− q− p= a ⇒ a= − 6 |||| |||| ||||| q− p= c ||||| b= 4 ( q = b ( c= 1$
Этот случай нам подходит, так как мы получаем ситуацию $p2− 4q < 0$ .

для $M2$ : $(| p+ 1= 2 ||||| |||{ q+ p− 1= 0 ({ q− p− 1= a ⇒ p= 1 |||| ( q = 0 ||||| q+ p= c ( −q = b$
Этот случай нам не подходит, так как при нем $p2− 4q > 0$ , но $p⁄= 0$ , $q ⁄=− 1$ .

Ответ:

$a = −6;b= 4;c =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#38368Максимум баллов за задание: 4

Решите уравнение

x3− 3abx =a3 +b3

при всех значениях параметров $a,b$ . Укажите сумму корней уравнения, получающегося при $a= 2018,b = −2019$ , или $0$ , если это уравнение не имеет корней.

ПВГ, 2019

Показать ответ и решение

1.

Перепишем уравнение в виде

x(x2− 3ab)= (a+ b)((a+ b)2− 3ab)

Отсюда видно, что число $x= a +b$ является корнем уравнения при любых $a,b$ . Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

3 3 x − (a +b) − (3abx− 3ab(a +b))= 0 ⇔ (x − (a+ b))(x2+ (a+ b)x +(a+ b)2)− 3ab(x − (a +b))= 0 ⇔ (x − (a+ b))(x2+ (a+ b)x +(a2− ab+ b2))= 0

Квадратичная скобка имеет дискриминант, равный $2 D = −3(a− b) ≤ 0$ . Следовательно:

$∙$ если $a = b$ , то $D = 0$ , откуда второй корень уравнения равен $x= −a$ (первый – это $x= a+ b$ );

$∙$ если $a⁄= b$ , то $D < 0$ и тогда других корней, кроме $x = a+ b$ , уравнение не имеет.

2.

При $a= 2018$ , $b= −2019$ имееем $x= a+ b= − 1$ .

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#38370Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a$ , при которых среди решений

(a4+ 2014a3+ 2014a2+ 2014a+ 2013)x= a3+ 3a2− 6a− 8

есть неотрицательные числа.

ПВГ, 2014

Показать ответ и решение

Данное уравнение является уравнением линейного типа. Рассмотрим коэффициент перед $x$ :

(a4 +2014a2+ 2013)+ 2014a(a2+ 1)= 2 2 2 (a +1)(a +2013)+ 2014a(a + 1)= (a2 +1)(a2+2014a+ 2013)= 2 (a +1)(a+ 1)(a+ 2013)

Рассмотрим свободный член:

3 (a − 8)+ 3a(a − 2)= (a − 2)(a2 +2a +4 +3a)= (a − 2)(a+ 1)(a+ 4)

Тогда уравнение примет вид

(a2+ 1)(a+ 1)(a +2013)⋅x= (a− 2)(a +1)(a+ 4)

1.: Пусть $a= −1$ . Тогда уравнение примет вид $0⋅x =0$ , решением которого являются $x∈ ℝ$ , среди которых есть неотрицательные числа.
2.: Пусть $a= − 2013$ . Тогда левая часть уравнения $0⋅x$ , а правая не равна $0$ , следовательно, уравнение не имеет решений.
3.: При $a⁄= −1;−2013$ решением уравнения будет единственный $(a − 2)(a+ 4) x = (a2-+1)(a+-2013)-$
Этот корень будет неотрицательный, если
$(a− 2)(a+ 4) (a2+-1)(a+-2013) ≥ 0 ⇔ a ∈(−2013;−4]∪[2;+ ∞ )$

Ответ:

$(−2013;−4]∪{− 1} ∪[2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#38375Максимум баллов за задание: 4

Найдите все $a$ , при которых уравнение

x4 − 2x3− 4x2+ 10x− 5− 2ax+ 6a− a2 = 0

имеет не менее трех корней.

Показать ответ и решение

Многочлен четвертой степени разложим в произведение двух многочленов второй степени. Поэтому методом группировки попробуем разложить данный многочлен:

4 2 3 2 2 x − a − 2x − 2ax+ x + a− 5x + 10x− 5+ 5a= (x2− a)(x2 +a)− 2x(x2+ a)+(x2+ a)− 5(x2 − 2x +1 − a)= (x2+ a)(x2 − a − 2x +1)− 5(x2− 2x+ 1− a)= (x2+ a− 5)(x2 − a − 2x + 1)

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

⌊ 2 ⌈x = 5− a (x− 1)2 =a

Исходное уравнение имеет не менее трех корней, если: одно из полученных имеет один корень, второе – два, причем все три различны; оба имеют по два корня, причем максимум один корень одного уравнения может совпадать с корнем другого уравнения.

Значит, во-первых, $5− a≥ 0$ , $a ≥0$ . Отсюда $0 ≤ a≤ 5$ . Заметим, что при $a = 0;5$ совокупность имеет три различных корня. При $0< a< 5$ совокупность имеет четыре корня (быть может, есть совпадающие).

Найдем $a$ , при которых имеются совпадающие корни. Тогда система из полученных двух уравнений имеет решения:

({x2 = 5 − a ((x− 1)2 = a

Решая эту систему как систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными, получаем равенство

x2 = 5− (x− 1)2 ⇔ x2− x− 2= 0 ⇔ x =− 1;2

При $x= − 1$ получаем $a = 4$ , при $x = 2$ получаем $a= 1$ . То есть при найденных $a$ система имеет одно решение, следовательно, полученные два уравнения имеют по два корня, ровно одна пара из которых совпадает (то есть суммарно три различных корня). Эта ситуация нам подходит. Следовательно, нам подходят все $a ∈[0;5]$ .

Ответ:

$0 ≤a ≤ 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#38376Максимум баллов за задание: 4

Найдите $a$ , при которых уравнение

a) x4− 4x3− 6x2 +4ax +6a − a2 =0 4 2 2 b) x − 8x − 9 +10a− a = 0 c) x4− 2x3 − 12x2+ 20x+ 20− 2ax+ 8a− a2 = 0

имеет не менее трех корней.

Показать ответ и решение

Поступим с данными уравнениями аналогично задаче 38375.

$a)$: $(x4− a2)+ (−4x3+ 4ax)+ (− 6x2+ 6a) =0 (x2+ a)(x2− a)− 4(x2− a)− 6(x2 − a) =0 (x2− a)(x2+ a− 4x− 6)= 0$
Получаем совокупность из двух равенств $x2 = a$ , $(x− 2)2 = 10 − a$ . Общие корни $x$ этих уравнений и те значения параметра $a$ , при которых они получаются, находятся, если решить систему из этих двух уравнений. Решая ее, получаем, что при $a =9$ общий корень $x= 3$ , при $a= 1$ общий корень $x= −1$ . То есть при этих значениях параметра уравнения имеют один общий корень, следовательно, суммарно совокупность имеет три различных решения. При остальных $a$ из отрезка $[0;10]$ каждое уравнение имеет два корня и суммарно корней четыре.
$b)$: $4 2 2 2 x − 9x +x − 9 − a + 9a+ a =0 (x2− a2)+ (x2 +a)+ (−9x2− 9+ 9a)= 0 2 2 2 (x + a)(x − a + 1)− 9(x − a+ 1)= 0 (x2+ a − 9)(x2− a + 1) =0$
По два корня каждый из множителей имеет при $1 ≤a ≤ 9$ , причем при $a= 5$ эти множители имеют два общих корня $x= ±2$ . Следовательно, $a= 5$ нам не подходит, так как тогда исходное уравнение имеет два решения.
$c)$: $x4− 2x3− 10x2− 2x2+ 20x +20 − 2ax +10a− 2a− a2 = 0 2 2 3 2 2 (x − a )+(−2x − 2ax)+ (−2x − 2a)+(− 10x + 20x+ 20+ 10a)= 0 (x2+ a)(x2− a)− 2x(x2 +a)− 2(x2+ a)− 10(x2− a− 2x− 2)= 0 (x2− a− 2x− 2)(x2+ a − 10)= 0$
Полученные два множителя имеют по два корня при $− 3 ≤a ≤ 10$ , причем при $a =1$ имеют общий корень $x= 3$ , а при $a= 6$ имеют общий корень $x =− 2$ . То есть при данных двух значениях $a$ они имеют суммарно три различных корня, при остальных $a$ из отрезка $[− 3;10]$ имеют суммарно четыре различных корня.

Ответ:

$a) 0 ≤ a≤ 10$ ;

$b) 1≤ a ≤9,a⁄= 5$ ;

$c) − 3≤ a ≤ 10$ .

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#38737Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|x2+ a2− 6x− 4a|= 2x+ 2a

имеет четыре различных корня.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Уравнение вида $|A|= B$ равносильно системе

(| ⌊ ||{ ⌈A = B (1) | A = −B (2) ||( B ≥ 0

Следовательно, преобразуем таким образом наше уравнение:

(| ⌊ 2 2 ||{ ⌈x +a − 6x − 4a =2x +2a | x2 +a2− 6x − 4a =− 2x− 2a ||( 2x+ 2a≥ 0 (|| ⌊(x − 4)2 = 25− (a− 3)2 (1.1) |{ ⌈ {1} : || (x − 2)2 = 5− (a− 1)2 (2.1) |( x≥ − a

Определим, в каких случаях уравнения (1) и (2) могут иметь общие решения. Пусть $x= x0$ — общий корень этих уравнений. Пусть $A (x0)= A0,$ $B (x0)= B0.$ Тогда при подстановке $x= x0$ в эти уравнения получаем $B0 = A0 = −B0,$ откуда следует, что $A= B = 0.$

Так как уравнения (1) и (2) квадратные, то совокупность из них может иметь не более четырех решений. При этом четыре решения она имеет тогда и только тогда, когда уравнения (1) и (2) не имеют общих корней и каждое из уравнений (1) и (2) имеет по два корня, удовлетворяющих всем условиям.

Пусть $x = x0$ — общий корень уравнений (1) и (2). Тогда в нашем случае $B0 = 2x0+ 2a = 0,$ откуда $x0 = − a.$ Следовательно, $x= − a$ не должен являться корнем уравнений (1) и (2). Учтем это условие, заменив $x ≥ −a$ на $x > −a.$

Уравнения (1.1) и (2.1) имеют по два корня, если правые части положительны:

( ( {25 − (a− 3)2 > 0 { |a− 3|< 5 ( 2 ⇔ ( √- 5 − (a− 1) > 0 |a− 1|< 5 ( {2}: {− 2< a< 8 (1 − √5 < a <1 +√5

Решения уравнения (1.1) — это

x =4 ±∘25-−-(a−-3)2-

Решения уравнения (2.1) — это

∘ ---------- x= 2± 5− (a − 1)2

Они должны удовлетворять условию $x> −a.$ Следовательно, система ${1}$ имеет четыре различных решения при условии выполнения ${2},$ если меньший из корней каждого уравнения больше $− a :$

( ∘ ----------- {4− 25− (a− 3)2 > − a (2− ∘5-−-(a−-1)2->− a ({∘25-−-(a-−-3)2 < a +4 ∘ ---------- ( 5− (a− 1)2 <a +2 ( |||{a+ 2 >0 25− (a2− 6a + 9) <a2 +8a +16 |||( 5− (a2− 2a+ 1)< a2+4a +4

Из последней системы имеем:

a(a+ 1)> 0

Пересечем решения этого неравенства с решениями системы ${2}$ и окончательно получим

√ - √- a∈ (1 − 5;− 1)∪(0;1+ 5)

Способ 2.

Исходное уравнение равносильно системе

(| ⌊ 2 2 ||{ ⌈x + a − 6x− 4a= 2x+ 2a | x2+ a2− 6x− 4a= −2x − 2a ||( 2x+ 2a≥ 0 (| ⌊ 2 2 ||{ ⌈x − 8x+ a − 6a= 0 (1) | x2− 4x+ a2− 2a= 0 (2) ||( x≥ −a

Заметим, каждое из уравнений может иметь не более двух решений, а значит, нам необходимо потребовать от каждого из уравнений совокупности наличие двух различных решений. При этом важно, чтобы решения первого уравнения не совпадали с решениями второго.

Рассмотрим (1):

x2− 8x+ a2− 6a = 0 D =64 − 4(a2− 6a)= 4(16− a2+ 6a)> 0 Получаем т акое неравенство: 2 − a + 6a+ 16> 0 |⋅(−1) a2− 6a− 16 < 0 (a− 8)(a+ 2)< 0 ⇒ a∈ (−2;8)

Таким образом, первое уравнение имеет два различных корня при $a ∈ (− 2;8).$

Рассмотрим (2):

2 2 x − 4x+ a − 2a = 0 D = 16− 4(a2− 2a)= 4(4− a2+ 2a) >0 Получаем т акое неравенство: −a2+ 2a+ 4 >0 |⋅(− 1) a2− 2a− 4< 0 √- √- ( √ - √ -) (a − (1− 5)(a− (1+ 5)< 0 ⇒ a∈ 1− 5;1 + 5

Таким образом, второе уравнение имеет два различных корня при $a ∈(1− √5;1 +√5-).$

Получаем, что оба дискриминанта положительны при $( √ - √-) a ∈ 1 − 5;1+ 5 .$

Заметим, что данные уравнения имеют общий корень лишь в случае $x = −a,$ таким образом, достаточно рассматривать условие $x >− a.$

$xyx =− a$

Пусть $2 2 y1 = x +a − 8x− 6a$ и $2 2 y2 =x +a − 4x− 2a.$

Запишем условия для $y1 :$

( ( { y1(− a)> 0 ⇒ { a(a +1)> 0 ( (y1)в > − a ( 4> −a ( { a∈ (−∞; −1)∪ (0;+∞ ) ( a> − 4

Запишем условия для $y2 :$

( ( { y2(− a)> 0 { a(a +1)> 0 ( ⇒ ( (y2)в > − a 2> −a ( { a∈ (−∞; −1)∪ (0;+∞ ) ( a> − 2

Осталось лишь пересечь полученное с условием, когда оба дискриминанта положительны, и получим

( √- ) ( √-) a ∈ 1− 5;−1 ∪ 0;1+ 5 .

Ответ:

$a ∈(1− √5;− 1)∪(0;1+ √5)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого только включением точек $a= −1$ и / или $a =0$	3

В решении верно найдены все граничные точки множества значений $a$ $( √ - √-) a= 1− 5, a= −1, a= 0, a =1+ 5 ,$ но неверно определены промежутки значений $a$	2
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружностей и прямых (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#44621Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

log (x2+ 1)= log ((a − 5)x) a−6,5 a−6,5

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения на основания логарифмов:

( ( { a− 6,5 > 0 {a > 6,5 ( ⇔ ( a− 6,5 ⁄= 1 a ⁄= 7,5

При выполнении этих ограничений уравнение равносильно системе

( { x2+ 1= (a− 5)x 2 ( x2+ 1> 0 ⇔ x − (a − 5)x+ 1= 0

Получили квадратное уравнение относительно $x,$ которое имеет два корня, если его дискриминант положительный:

⌊ D = (a− 5)2− 4> 0 ⇔ ⌈a > 7 a< 3

Учтем ограничения на $a$ и получим окончальные значения параметра:

a∈ (7;7,5)∪ (7,5;+∞ )

Ответ:

$a ∈(7;7,5)∪ (7,5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#44622Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых общая часть двух отрезков $[− 1;1]$ и $[a;a +1]$

а) является отрезком;

б) состоит из одной точки;

в) является пустым множеством.

Показать ответ и решение

а) Будем располагать отрезок $[a;a +1]$ относительно отрезка $[−1;1].$ А точнее, рассмотрим все варианты расположения точки $a +1$ относительно этого отрезка и для каждого положения определим, где может находиться точка $a,$ чтобы в пересечении отрезков $[−1;1]$ и $[a;a+ 1]$ получался также отрезок.

Заметим, что существует 5 различных мест, где можно расположить точку относительно отрезка $[−1;1]:$

I: левее точки $− 1$

II: в точке $− 1$

III: между точками $− 1$ и $1$

IV: в точке $1$

V: правее точки $1$

I,II.

Тогда в пересечении получается либо пустое множество, либо одна точка, следовательно, эти случаи нам не подходят.

$[][a]−1a1+ 1$

III,IV.

Тогда, вне зависимости от того, где находится точка $a,$ в пересечении мы имеем отрезок, следовательно, этот случай нам подходит.

$[][a]−1a1+ 1$

Значит,

−1 <a +1 ≤ 1 ⇔ −2 <a ≤ 0

V.

Тогда точка $a$ может располагаться в I, II, III местах, чтобы в пересечении мы имели отрезок.

$[][a]−1a1+ 1$
или

$[][a]−1a1+ 1$

Значит,

( { a+ 1> 1 ⇔ 0< a <1 ( a< 1

Итоговый ответ:

a∈ (−2;1)

б) Будем поступать аналогичным образом.

I.

Тогда в пересечении получается пустое множество, потому что точка $a$ в любом случае располагается левее точки $a+ 1.$

$[][a]−1a1+ 1$

II.

Тогда в любом случае в пересечении мы получаем одну точку — как раз точку $a+ 1= − 1.$ Следовательно, нам подходит $a= −2.$

$[][a]a−+111=$

III,IV.

Из пункта а) следует, что в этом случае мы получаем отрезок, следовательно, этот случай нам не подходит.

V.

В этом случае получится одна точка, если точка $a$ будет совпадать с точкой $1.$

$[]1[]a−=a+11$

Заметим, что если мы задаем условие на левую точку $a$ , то на правую точку $a+ 1$ не имеет смысла его задавать, так как она точно правее левой точки. Значит, $a = 1$ .

Итоговые $a ∈{− 2;1}.$

в) $⋆$ Пустое множество получается при пересечении двух отрезков, если они не пересекаются, то есть один из отрезков находится целиком либо правее, либо левее другого.

$[][a]−1a1+ 1$
или

$[][a]−1a1+ 1$

Следовательно, либо точка $a + 1$ находится левее точки $− 1,$ либо точка $a$ находится правее точки $1 :$

⌊ ⌊ a+ 1< − 1 a < −2 ⌈ ⇔ ⌈ ⇔ a∈ (−∞;− 2)∪(1;+∞ ) a> 1 a > 1

$⋆$ Пункт в) можно было решить по-другому. При пересечении двух отрезков может получиться либо пустое множество, либо одна точка, либо отрезок. Так как мы нашли значения параметра, при которых получается точка или отрезок, то при всех остальных значениях параметра мы получим пустое множество. Следовательно, нужно взять дополнение к объединению множеств $a∈ (−2;1)$ и $a ∈{− 2;1}.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#31907Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

({ 2 (a− 1)x + 2ax+ a+4 ≤0 (ax2+ 2(a +1)x+ a+1 ≥0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Оба неравенства могут быть как квадратичными, так и линейными. Заметим, что у линейного неравенство множество решений может быыть представлено либо в виде луча, либо в виде всей числовой прямой, либо в виде пустого множества. Пересечение любых двух множеств такого типа не даст одну точку. Следовательно, неравенства должны быть квадратичными, то есть $a ⁄=0;1$ .

У квадратичного неравенства решение может быть:

1) объединение двух лучей,

2) вся числовая прямая,

3) пустое множество,

4) отрезок,

5) точка.

Нам подходят комбинации: 1 и 4, 1 и 5, 2 и 5, 4 и 5.

1.

Рассмотрим комбинацию 1 и 4. Тогда квадратичные трехчлены должны иметь общий корень. Рассмотрим систему из двух уравнений:

( ( { y1 =(a− 1)x2+ 2ax+ a+4 =0 ⇔ {a(x+ 1)2 = x2− 4 ( y2 =ax2+ 2(a +1)x+ a+1 =0 (a(x+ 1)2 = −2x− 1

Заметим, что $x= −1$ не является решением системы, следовательно, выразим $a$ из обоих равенств:

x2− 4 − 2x− 1 (x+-1)2 =(x+-1)2 ⇔ x2− 4= −2x− 1 ⇔ x =− 3;1

При $x= −3$ имеем $a= 5 4$ ; при $x =1$ имеем $a= − 3 4$ .

Найдем дискриминанты обоих квадратичных трехчленов:

D1 =4(4− 3a) D2 =4(a+ 1)

1.1.: Пусть $a = 5 4$ , тогда $D >0 1$ , $D > 0 2$ и квадратичные трехчлены имеют общий корень $x= −3$ . Тогда второй корень первого трехчлена находим через произведение (теорема Виета): $(1) a+4 x2 = a−1 :(−3)= −7$ . Второй корень второго трехчлена равен $(2) a+1 3 x2 = a :(−3)− 5$ . Следовательно, решение первого неравенства $x∈ [−7;−3]$ , а второго $[ 3 ) x∈ (− ∞;−3]∪ −5;+∞$ . Видим, что в пересечении не получаем одну точку, значит, это значение параметра нам не подходит.
1.2.: Пусть $a =− 34$ , тогда $D1 > 0$ , $D2 > 0$ и квадратичные трехчлены имеют общий корень $x =1$ . Аналогично находим, что $x(21)= − 137-$ , $x(22) =− 13$ . Тогда решение первого неравенства $x∈ (−∞;− 137 ]∪ [1;+∞ )$ , решение второго неравенства $x ∈[− 13;1]$ . Видим, что в пересечении получаем одну точку $x= 1$ . Это значение параметра нам подходит.

2.

Рассмотрим комбинации 1 и 5, 2 и 5, 4 и 5. Тогда у одного из трехчленов дискриминант должен быть равен нулю, следовательно, нужно рассмотреть значения $a= 43;− 1$ .

2.1.: Пусть $a= 43$ , тогда $D1 =0$ , $D2 > 0$ . Решением первого неравенства будет абсцисса вершины параболы $y1$ : точка $x(1(в)ерш ) =− aa−1 = −4$ .
Решением второго неравенства является объединение двух лучей. Так как $y2(x(1) )= y2(−4)> 0 (верш)$ , то $x= −4$ принадлежит какому-то из этих лучей, следовательно, удовлетворяет второму неравенству, то есть общим решением неравенств является одна точка. Значит, это значение параметра нам подходит.
2.2.: Пусть $a= −1$ , тогда $D1 > 0$ , $D2 =0$ . Решением второго неравенства будет абсцисса вершины параболы $y2$ : точка $(2) a+1 x(верш ) =−-a-= 0$ .
Решением первого неравенства является объединение двух лучей. Так как $( ) y1 x((1)верш) = y1(0)> 0$ , то $x =0$ не принадлежит никакому лучу, следовательно, не удовлетворяет первому неравенству. Значит, это значение параметра нам не подходит.

В итоге ответ $a =− 3;4. 4 3$

Ответ:

$a ∈{− 3;4} 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#36426Максимум баллов за задание: 4

1) Для каждого значения $a$ решите неравенство

2 2 log19(x − 6x − a − 5a+ 12)< −1

2) найдите все значения $a$ , при которых множество чисел, не являющихся решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой оси, длина которого меньше $√- 2 3$ .

Показать ответ и решение

Решение

1) Неравенство равносильно

2 2 2 2 x − 6x − a − 5a+ 12 >9 ⇔ (x− 3) > a + 5a +6

При $a∈ (−∞;−3)∪ (− 2;+∞ ) ⇒ x ∈(−∞;3 − √a2-+5a+-6)∪(3+ √a2+-5a-+6;+∞ )$

При $a= −3;−2 ⇒ x∈ ℝ∖{3}$

При $a∈ (−3;− 2) ⇒ x∈ ℝ$

2) Множество чисел, представляющих собой отрезок, может быть лишь в случае, если $a∈ (− ∞;−3)∪(−2;+∞ )$ . Это – отрезок $√ -2------- √ -2------- [3− a +5a+ 6;3+ a +5a+ 6]$ . Его длина равна

∘ --------- √ - ( √-- ) ( √--) a2+ 5a+6 < 3 ⇔ a ∈ −5−2-13;−3 ∪ −2;−5+2-13-

Ответ:

1) $a ∈(−∞;− 3)∪ (− 2;+∞ ) ⇒ x ∈(−∞; 3− √a2-+5a+-6)∪(3+ √a2+-5a-+6;+∞ )$

$a= −3;− 2 ⇒ x ∈ℝ∖{3}$

$a∈(−3;−2) ⇒ x ∈ℝ$

2) $( −5− √13 ) ( − 5+√13-) a∈ ---2---;−3 ∪ − 2;---2----$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#36433Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях $a$ уравнение

ax+2- 3x2−ax+4 3x2+2 + 3 x2+2 = 12

имеет четыре корня?

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

ax2+2 3− ax2+2- 3x +2 + 3 x+2 = 12

Сделаем замену $3axx2++22 = t$ , тогда уравнение примет вид

t+ 27= 12 ⇔ t2− 12t+ 27 =0 ⇔ t= 3;9 t

Сделаем обратную замену и получим

⌊ax+-2 ||x2+ 2 = 1 |⌈ axx2++-22 = 2

Так как $x2+ 2⁄= 0$ $∀x$ , то совокупность равносильна

⌊ x2− ax = 0 |⌈ 2x2− ax +2= 0

Первое уравнение имеет корни $x= 0;a$ , при $a= 0$ оно имеет два совпадающих корня $x= 0$ .
Второе уравнение имеет два корня при $D = a2 − 16> 0$ , откуда $|a|>4$ .
Проверим, могут ли корни первого уравнения быть корнями второго: $x= 0$

0+0 +2= 0 невозм ож но

$x= a$

2a2− a2+ 2= 0 a2 = −2 невозм ож но

Следовательно, объединяя найденные значения параметра, получим $|a|> 4$ .

Ответ:

$|a|> 4$