04 Законы сохранения в механике - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#81708Максимум баллов за задание: 2

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз, неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен $α = 60∘$ . Какова масса груза?

Показать ответ и решение

В момент попадания пули в груз выполняется закон сохранения импульса

m ⃗v = (M + m )⃗u

В проекции на ось $x$ :

mv = (m +M )u,

где $m$ – масса пули, $M$ – масса груза, $v$ – скорость пули в момент столкновения, $u$ – скорость составного тела после столкновения.
Отсюда

u= -mv--. m+ M

Далее при движении составного тела выполняется закон сохранения энергии. При этом в нижней точке тело имеет только кинетическую энергию, равную

2 Eк = (m-+-M-)u-, 2

а в верхней точке имеет только потенциальную энергию, равную

E п = (m +M )gh= (m + M)gl(1 − cosα).

Запишем закон сохранения энергии

Eк = Eп ⇒ (m-+-M-)u2= (m +M )gl(1− cosα) 2

или

m2v2 ∘ ----m2v2--- 2(m-+M-)2 = gl(1 − cosα)⇒ m2v2 = 2gl(m + M )2(1− cosα)⇒ M = 2gl(1-− cosα) − m

Подставляем числа из условия

∘ ------------------------ M = ---(9⋅10−3-кг)2⋅(20 м/с)2-− 9⋅10−3 кг = 81 г 2 ⋅10 м/с2⋅0,4 м(1− cos60∘)

Ответ:

$∘ ----m2v2--- M = 2gl(1-−-cosα) − m = 81 г$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	2
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, формула кинетической энергии, формула потенциальной энергии);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования,
приводящие к правильному ответу;
IV) представлен правильный ответ

Правильно записаны все необходимые положения теории,	1
физические законы, закономерности, и проведены преобразования,
направленные на решение задачи, но имеется один или несколько
из следующих недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения
и не зачёркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях допущены
ошибки, и (или) в математических преобразованиях пропущены
логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерения величины)

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#22644Максимум баллов за задание: 2

Пробирка с каплей эфира подвешена на нити длиной 1 м. С какой скоростью должна вылететь пробка после нагревания эфира, чтобы пробирка сделала полный оборот в вертикальной плоскости? Масса пробирки 100 г, а пробки – 20 г.

Показать ответ и решение

Закон сохранения импульса связывает скорость пробирки $v0$ со скоростью $v1$ пробки сразу после вылета:

Mv0 = mv1.

Здесь $M$ – масса пробирки, $m$ – масса пробки.
А закон сохранения механической энергии — скорость пробирки тела сразу после вылета с его скоростью $v2$ в верхней точке:

2 2 Mv-0= Mv-2 +Mg ⋅2l 2 2

Второй закон Ньютона в векторном виде

M ⃗g+ ⃗T =M ⃗a,

где $T$ – сила натяжения нити, $a$ – ускорение тела.
Условие минимальности скорости $v0$ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Центростремительное ускорение в верхней точке

2 aц = v2 l

Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление x в этот момент принимает вид:

Ma ц = Mg = Mv22 l

Выразив отсюда $2 v2$ и подставив этот результат в закон сохранения энергии, получим:

2 v2 = gl

Подставим в закон сохранения механической энергии:

Mv20 Mgl- 2 = 2 + 2Mgl

Mv20 = Mgl +4Mgl

Откуда $v20$ :

∘ --- v0 = 5gl

Из закона сохранения импульса:

M M ∘ --- v1 =-m v0 = m- 5gl.

v1 = 100√5-⋅10⋅1= 35,4 м/с 20

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	2
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения импульса в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон сохранения механической энергии, записаны формулы центростремительного ускорения точки, кинетической энергии точки, потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести, второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось для верхней точки траектории с учетом условия ее прохождения пробиркой);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования,
приводящие к правильному ответу;
IV) представлен правильный ответ

Правильно записаны все необходимые положения теории,	1
физические законы, закономерности, и проведены преобразования,
направленные на решение задачи, но имеется один или несколько
из следующих недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения
и не зачёркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях допущены
ошибки, и (или) в математических преобразованиях пропущены
логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерения величины)

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#102955Максимум баллов за задание: 2

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх шарик массой 100 г поднимается на высоту 2 м. Какова жёсткость пружины, если до выстрела она была сжата на 5 см? Сопротивление воздуха движению шарика не учитывать.

Источники: Банк ФИПИ ЕГЭ

Показать ответ и решение

При выстреле потенциальная энергия сжатия пружины переходит сначала в кинетическую энергию шарика, а затем в потенциальную энергию. Запишем закон сохранения энергии

Eп1 = Eп2.

Потенциальная энергия сжатия пружины равна

kx2 E п1 = -2-,

где $k$ – жёсткость пружины, $x$ – её сжатие.
Потенциальная энергия тела при максимальной высоте

E п2 =mgh,

где $m$ – масса тела, $h$ – высота подъема.
Отсюда

2 kx- = mgh, 2

k = 2mgh-= 2⋅0,1⋅10⋅2 =1600 H/м. x2 0,052

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#81706Максимум баллов за задание: 2

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх шарик массой 100 г поднимается на высоту 2 м. Насколько была сжата пружина до выстрела, если ее жесткость равна 1600 Н/м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

При выстреле потенциальная энергия сжатия пружины переходит сначала в кинетическую энергию шарика, а затем в потенциальную энергию. Запишем закон сохранения энергии

Eп1 = Eп2.

Потенциальная энергия сжатия пружины равна

kx2 E п1 = -2-,

где $k$ – жёсткость пружины, $x$ – её сжатие.
Потенциальная энергия тела при максимальной высоте

E п2 =mgh,

где $m$ – масса тела, $h$ – высота подъема.
Отсюда

∘ ----- ∘-------------------- kx2= mgh ⇒ x = 2mgh-= 2⋅0,1 кг⋅10 Н/-кг⋅2 м-= 0,05 м 2 k 1600 Н/ м

Ответ:

$∘-2mgh- x = -k---= 0,05 м$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	2
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: формула потенциальной энергии в поле силы тяжести, закон сохранения энергии, формула силы упругости деформированной пружины);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования,
приводящие к правильному ответу;
IV) представлен правильный ответ

Правильно записаны все необходимые положения теории,	1
физические законы, закономерности, и проведены преобразования,
направленные на решение задачи, но имеется один или несколько
из следующих недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения
и не зачёркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях допущены
ошибки, и (или) в математических преобразованиях пропущены
логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерения величины)

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#102180Максимум баллов за задание: 2

Закреплённый пружинный пистолет стреляет вертикально вверх, в результате него пуля поднимается на высоту $H = 100 м$ . Кинетическая энергия $Ek$ пули на высоте $h= 50 м$ равна 1 Дж. Чему равна жёсткость пружины $k$ , если деформация пружины перед выстрелом $Δl = 5 см$ ? Трением и массой пружины пренебречь; считать $Δl ≪ h$ .

Источники: ЕГКР 2025.№3

Показать ответ и решение

Сразу же уточним для чего дано условие $Δl ≪ h$ - чтобы не учитывать, потенциальную энергия, возникающую за счёт того, что пуля изначально находилась на высоте $l$ , поэтому $mg(h+ l) ≈ mgh$ .
Начальная механическая энергия системы при условии $Δl ≪ h$ равна

2 E1 = kΔl-. 2

Второе состояние - пуля подяналось на высоту $h= 50 м$

E = mgh + E . 2 k

Третье состояние тело поднялось на максимальную высоту $H = 100 м$ , на которой ее скорость равна нулю

E3 = mgH.

Найдем неизвестную массу пули из закона сохранения для состояний 2 и 3

E2 = E3,

mgH = mgh + Ek,

-Ek-- --1-- −3 m = g(Hh) = 10⋅50 = 2⋅10 кг.

Теперь приравняем состояния 1 и 3

E1 = E3,

2 kΔ2l-= mgH,

2mgH 2⋅2⋅10−3⋅10⋅100 k = -Δl2- = -----0,052-----= 1600 H/ м.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#92499Максимум баллов за задание: 2

Нить, удерживающая вертикально расположенную лёгкую пружину в сжатом на 1 см состоянии, внезапно оборвалась (см. рисунок). Какова масса шарика, если он приобретает при этом начальную скорость 10 м/с? Жёсткость пружины 2 кН/м. Колебаниями пружины после отрыва шарика пренебречь.

Источники: Демидова 2019

Показать ответ и решение

Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия пружины момент обрыва нити полностью переходит в кинетическую энергию шарика:

mV 2 kx2 --2- = -2-

где $m$ - масса шарика, $V$ - скорость шарика после обрыва нити, $k$ - жесткость пружины, $x$ - удлинение пружины.
Выразим нужную нам массу:

kx2 2000-⋅0,012- m = V 2 = 102 = 0,002 кг

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#14410Максимум баллов за задание: 2

При разрыве нити, удерживающей пружину в сжатом на 1 см состоянии (см. рисунок), шарик приобретает скорость 10 м/с. Жесткость пружины 2кН/м. Какова масса шарика. Колебаниями пружины после отрыва шарика пренебречь.

$PIC$

Показать ответ и решение

При разрыве нити потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию мяча.
По закону сохранения энергии:

kx2 mv2 -2- = -2--

где $2 kx- 2$ – потенциальная энергия деформированной пружины, $2 mv-- 2$ – кинетическая энергия мяча, $k$ – жесткость пружины, $x$ – сжатие, $m$ – масса шарика, $v$ – скорость шарика.
Отсюда масса шарика

kx2 2⋅103 Н/м-⋅10−-4 м2 −3 m = v2 = 102 м2/с2 = 2⋅10 кг= 0,002 кг

Ответ:

$kx2 m = v2 = 0,002 кг$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	2
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: формула потенциальной энергии деформированной пружины, формула кинетической энергии, закон сохранения энергии);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования,
приводящие к правильному ответу;
IV) представлен правильный ответ

Правильно записаны все необходимые положения теории,	1
физические законы, закономерности, и проведены преобразования,
направленные на решение задачи, но имеется один или несколько
из следующих недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения
и не зачёркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях допущены
ошибки, и (или) в математических преобразованиях пропущены
логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерения величины)

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#92335Максимум баллов за задание: 2

Нить, удерживающая вертикально расположенную лёгкую пружину в сжатом на 1 см состоянии, внезапно оборвалась (см. рисунок). Определите скорость, которую приобрёл при этом шарик массой 4 г. Жёсткость пружины 1 кН/м. Колебаниями пружины после отрыва шарика пренебречь.

Источники: Демидова 2019

Показать ответ и решение

Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия пружины момент обрыва нити полностью переходит в кинетическую энергию шарика:

mV 2 kx2 --2- = -2-

где $m$ - масса шарика, $V$ - скорость шарика после обрыва нити, $k$ - жесткость пружины, $x$ - удлинение пружины.
Выразим нужную нам скорость:

∘ k-- ∘ -1000-- V = m-⋅x= 4-⋅10−3 ⋅0,01= 5 м/с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#81700Максимум баллов за задание: 2

К бруску массой 2 кг, лежащему на горизонтальной поверхности стола, прикреплена пружина жёсткостью 400 Н/м. Свободный конец пружины тянут медленно в вертикальном направлении (см. рисунок). Определите величину потенциальной энергии, запасённой в пружине к моменту отрыва бруска от поверхности стола. Массой пружины пренебречь.

Показать ответ и решение

Потенциальная энергия пружины равна

kx2 E = -2-,

где $k$ – жёсткость пружины, $x$ – удлинение.
На брусок действует сила тяжести $m⃗g$ , сила реакции опоры $⃗N$ и сила упругости пружины $F⃗упр2$ . На противоположный конец пружины действует сила $⃗F$ и сила упругости пружины $F⃗упр2.$

При этом по третьему закону Ньютона

Fупр1 = Fупр2= Fупр = F.

Запишем второй закон Ньютона

m ⃗g+ ⃗N + F⃗упр2 = m ⃗a

где $a$ – ускорение бруска.
Так как движение медленное, то $a= 0$ .
В проекции на вертикальную ось $Oy$ :

N + Fупр − mg = 0.

По закону Гука

Fупр = kx.

В момент отрыва $N = 0$ , значит

kx = mg

Тогда искомая потенциальная энергия

m2g2 22 кг2⋅(10 м/с2)2 E = -2k--= ---2⋅400 Н/м---= 0,5 Дж

Ответ:

$m2g2- E = 2k = 0,5 Д ж$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	2
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона, формула потенциальной энергии упругой деформации пружины, закон Гука);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования,
приводящие к правильному ответу;
IV) представлен правильный ответ

Правильно записаны все необходимые положения теории,	1
физические законы, закономерности, и проведены преобразования,
направленные на решение задачи, но имеется один или несколько
из следующих недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения
и не зачёркнуты.
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях допущены
ошибки, и (или) в математических преобразованиях пропущены
логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерения величины)

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1 или 2 балла

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#123263Максимум баллов за задание: 2

Каково среднее давление пороховых газов в стволе орудия, если скорость вылетевшего из него снаряда $1.5 км/с?$ Длина ствола $3м,$ его диаметр $45мм,$ масса снаряда $2кг.$ (Трение пренебрежимо мало.)

Показать ответ и решение

Поскольку трением снаряда в стволе пренебрегаем, можем утверждать, что сила давления пороховых газов на снаряд совершила работу по увеличению кинетической энергии снаряда при его движении внутри ствола: