Тема 18. Задачи с параметром

18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#37032Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметра $a$ неравенство

2 ax − 4x + 3a + 1> 0

выполнено для всех $x> 0?$

Показать ответ и решение

1. Рассмотрим случай, когда неравенство становится линейным, то есть $a = 0$ , тогда неравенство примет вид

1 −4x +1 > 0 ⇔ x< 4

Данное неравенство не выполнено для всех $x> 0$ , следовательно. этот случай нам не подходит.

2. Неравенство может быть линейным и квадратным. Рассмотрим случай, когда оно квадратичное, то есть $a⁄= 0$ .

$D = 16− 4a(3a+ 1)$ .

Рассмотрим все виды парабол в зависимости от ветвей и точек пересечения с осью абсцисс и их решения для неравенства со знаком $>$ .

$PIC$

Условие задачи означает, что множество решений неравенства должно содержать в себе множество $x> 0$ . Это возможно лишь для трех верхних парабол. Следовательно, рассматриваем только случай $a> 0$ .

1) третья парабола - $D < 0$ . Для нее это условие выполнено всегда. Тогда $a=∈ (−∞; − 4) ∪(1;+ ∞ ) 3$ . Пересекая со случаем $a> 0$ , получаем $a > 1$ .

2) вторая парабола $D = 0$ , то есть $a =− 4;1 3$ . Для нее это условие выполнено тогда, когда $xв ≤ 0$ .

Найдем $xв = 2a$ . Подходит лишь при $a= − 43$ . Но оно не удовлетворяет случаю $a > 0$ .

3) третья парабола $D > 0$ , это при $( ) a∈ − 43;1$ .

Тогда нужно, чтобы число 0 находилось $IV,V$ местах.

$PIC$

Следовательно, нужно,

( |{D > 0 y(0)≥ 0 ⇔ a∈ ∅ |(xв < 0

Следовательно, ответ $a> 1$ .

Расшифровка:
$I$ – до левого корня,
$II$ – в левом корне,
$III$ – между корнями,
$IV$ – в правом корне,
$V$ – правее правого корня.

Ответ:

$a ∈(1;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#37033Максимум баллов за задание: 4

При каких $a$ корни $x1$ и $x2$ уравнения

2 (3a+ 2)x +(a− 1)x+ 4a+ 3= 0

удовлетворяют условию $x1 < − 1< x2 < 1?$

Показать ответ и решение

У уравнения должно быть два корня, следовательно, $3a+ 2⁄= 0$ и $D >0 :$

2 D = (a − 1) − 4(4a + 3)(3a+ 2)= = − 47a2− 70a− 23> 0 − 1< a < − 2, − 2 < a< − 23 3 3 47

Рассмотрим одновременно случаи, когда ветви параболы направлены вверх или вниз.

При этом параболы должны выглядеть так:

$PIC$

Получаем следующую систему:

( |||| D >0 |||| ⌊( ||||| ||||| 3a+ 2> 0 |||| ||{ ||||{ |||||| y(− 1)< 0 |||( y(1)> 0 ||| || ||||| ||(|| 3a+ 2< 0 |||| ||||{ ||||| |||| y(1)< 0 |||| ⌈|||( ( y(− 1)> 0

Решая данную систему, получаем

( 2) a∈ − 1;− 3

Расшифровка:

$I$ — левее левого корня

$II$ — в левом корне

$III$ — между корнями

$IV$ — в правом корне

$V$ — правее правого корня

Ответ:

$( 2) a ∈ −1;−3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны) или не рассмотрен случай $2 a= −3$	3

Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания	2

Рассмотрен случай $a= − 23$ и/или верное введение функции и её исследование	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#37034Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях $a$ один из корней уравнения

2 2 (a + a+ 1)x +(2a− 3)x+ a− 5= 0

больше 1, а другой меньше 1?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a2 +a + 1> 0$ при любом $a∈ ℝ.$ Следовательно, мы имеем дело с параболой, ветви которой обращены вверх. Чтобы было два корня,

D = (2a− 3)2 − 4(a2+ a+ 1)(a− 5)> 0 (∗)

Пусть это выполнено. Тогда выглядеть картинка должна так:

$PIC$

Это задается следующими условиями (1 должна попасть в $III$ место):

{D > 0 y(1)< 0

Заметим, что условие на дискриминант в данной случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.

Решая второе неравенство, получаем $( √-- √ -) a∈ − 2− 11;−2 + 11 .$

Расшифровка:
$I$ — до левого корня,
$II$ — в левом корне,
$III$ — между корнями,
$IV$ — в правом корне,
$V$ — правее правого корня.

Ответ:

$( √-- √--) a ∈ − 2− 11;−2+ 11$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование (обосновано, что график функции парабола при любом $a$ )	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#37035Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых среди корней уравнения

2 ax + (a+ 4)x +a +1= 0

имеется ровно один отрицательный.

Показать ответ и решение

Уравнение может быть линейным и квадратным. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1. Уравнение линейное, то есть $a =0$ , тогда уравнение принимает вид

1 4x+ 1= 0 ⇔ x =− 4

Этот корень отрицательный, значит, это значение $a$ нам подходит.

2. Уравнение квадратное, то есть $a⁄= 0$ . Тогда нам подходят парабола, у который $D = 0$ и $D >0$ .

$PIC$

— Случаи парабол в $D = 0$ разберем отдельно.

2 2 2 ( √ -) D= (a+ 4) − 4a(a+ 1)=− 3a +4a+ 16= 0 ⇔ a= 3 1± 13

В данном случае нам нужно, чтобы абсцисса вершины параболы $xв <0$ . Она равна

a+ 4 xв = −-2a-< 0 ⇔ a< −4,a >0

Видим, что нам подходит только значение $2( √--) a= 3 1 + 13$ .

— Пусть $D > 0$ . Рассмотрим отдельно случаи, когда один из корней равен $0$ и посмотрим, является ли второй отрицательным или нет.

y(0) =a +1= 0 ⇔ a= −1

Тогда второй корень по теореме Виета равен $x= − a+a4 =3$ . Следовательно, этот случай нам не подходит.

Теперь пусть один отрицательный, а второй точно положительный. Тогда число $0$ должно располагаться в $III$ месте. Получаем

( ||||D >( 0 |||||⌊ {a >0 ( |{|| (y(0) <0 ⇔ {D > 0 |||||| ( (a⋅y(0)<0 ||||||⌈ {a <0 ||( (y(0) >0

Решая полученную систему и объединяя с найденным ранее, получаем ответ ${ √-} a∈(−1;0]∪ 2+23-13$ .

Ответ:

$a ∈(−1;0]∪ {2+2√13} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#37036Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых из неравенства

2 x − (3a+1)x+ a> 0

следует, что $x> 0$ .

Показать ответ и решение

Условие задачи значит, что решение неравенства должно содержаться в $x> 0$ . Заметим, что мы имеем дело с параболой, ветви которой направлены вверх и неравенство представляет вид $y > 0$ . У такой параболы могут быть такие виды решений:

$PIC$

В любом из этих множеств не может содержаться множество $x ∈(0;+ ∞)$ . Следовательно, ответ $a ∈∅$ .

Ответ:

$a ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#37037Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых система

({ 2 −x + 12x − a≥ 0 ( x≤ 2

выполняется хотя бы при одном значении $x$ .

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде

({ 2 x − 12x+a ≤0 (x ≤2

Рассмотрим параболу $2 y =x − 12x+ a$ . Ветви ее направлены вверх. Вершина $xв = 6$ .

$PIC$

Следовательно, при $D >0$ левый корень должен удовлетворять условию $xм ≤2$ ; при $D = 0$ вершина $xtext ≥ 2$ ; при $D < 0$ условие не будет выполняться никогда.

D = 144 − 4a= 4(36 − a)

1) Пусть $D > 0$ , то есть $a< 36$ . Тогда число $2$ должно попасть в $III$ место (в $IV$ или $V$ места оно не может попасть, иначе оно будет правее вершины, а вершина равна 6). Следовательно,

y(2)≤0 ⇔ −20+ a≤ 0 ⇔ a≤ 20

Удовлетворяет условию дискриминанта.

2) Пусть $D= 0$ , то есть $a= 36$ . Тогда вершина параболы равна 6, что больше 2. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Следовательно, ответ $a≤ 20$ .

Ответ:

$a ∈(−∞;20]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#37038Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при которых квадратный трехчлен

2 (a − 1)x − (2a+ 1)x +2 +5a

имеет один или два корня, каждый из которых больше 1.

Показать ответ и решение

Трехчлен квадратный по условию, следовательно, $a⁄= 1.$ Нам подходят следующие случаи, когда $D > 0.$ Тогда число 1 должно попасть в $I$ место.

$PIC$

Теперь рассмотрим случай $D > 0$ и картинки выше.

( ||||| D > 0 |||| xв > 1 ( |||| ⌊({ ||| D > 0 { || a− 1> 0 ⇔ { x > 1 ||| ||( y(1)> 0 ||| в ||||| ||({ ( (a− 1)⋅y(1)> 0 |||| |⌈ a− 1< 0 |( ( y(1)< 0

Решая эту систему, получаем

( ) a∈ 1; 1 (2+ √13) 4

Также нам подходит случай, когда $D = 0.$ Рассмотрим этот случай отдельно:

1( √ -) D =− 4(2a − 1)2+ 13= 0 ⇔ a = 4 2± 13

Тогда вершина $xв = 22(aa+−-11)$ должна быть больше 1. Это верно лишь при $a= 14 (2+ √13).$

Объединяя все найденные случаи, получаем ответ

( √--] a∈ 1; 2+-13- 4

Расшифровка:
$I$ — левее левого корня
$II$ — в левом корне
$III$ — между корнями
$IV$ — в правом корне
$V$ — правее правого корня

Ответ:

$( 2+-√13] a ∈ 1; 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верно найдены значения параметра $a,$ при которых уравнение имеет два корня	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#37039Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметра $a$ у уравнения

2 x − 2(a +1)x+ 9a− 5= 0

есть корни, и все они удовлетворяют условию $x> 5$ ?

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $2 y = x − 2(a +1)x+ 9a− 5.$ Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $D = 4(a+ 1)2− 4(9a− 5)= 0,$ откуда $a= 1;6.$ Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = a+ 1

Видим, что она больше 5 лишь при $a = 6.$

2) $D > 0,$ то есть $a ∈(−∞; 1)∪ (6;+∞ ).$ Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

(| ||{D > 0 |y(5)> 0 ||(xв > 5

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что число 5 не попадет в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $a∈ [6;10).$

Ответ:

$a ∈[6;10)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Ответ может отличаться от верного невключением $a = 6$	3
ИЛИ
Некоторые переходы недостаточно обоснованы

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом может быть верно найдено хотя бы одно из значений параметра $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#37040Максимум баллов за задание: 4

При каких $a$ все корни уравнения

2 2 x − 6ax+ 10a − a− 4= 0

больше $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $y = x2− 6ax +10a2− a− 4$ . Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $2 2 D= 36a − 4(10a − a− 4)=0$ , откуда $1 √-- a= 2(1± 17)$ . Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = 3a

Найдем, когда она больше $a$ :

3a> a ⇔ a> 0

Видим, это возможно лишь при положительном $a= 12(1+ √17)$ .

2) $D> 0$ , то есть $( ) a∈ 12(1− √17);12(1+ √17)$ . Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

( |||{D > 0 |y(a)>0 ||(xв > a

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что число $a$ не попадет в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $( -] a ∈ 1;1+√217$ .

Ответ:

$a ∈(1;1+√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#37041Максимум баллов за задание: 4

При каких $a$ корни уравнения

2 x − 2(a+ 1)x+ 9a− 5= 0

удовлетворяют условию $|x|< 6$ ?

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $y = x2− 2(a+ 1)x +9a− 5$ . Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $2 D= 4(a +1) − 4(9a− 5) =0$ , откуда $a= 1;6$ . Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = a+1

Заметим, что лишь при $a= 1$ она по модулю меньше 6.

2) $D> 0$ , то есть $a∈ (−∞; 1)∪(6;+∞ )$ . Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

( |||| D >0 ||{ y(6)> 0 || y(− 6)> 0 ||||( −6< xв < 6

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что числа $− 6$ и $6$ не попадут в одно и тоже место, например, в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $( 43 ] a ∈ −21;1$ .

Ответ:

$a ∈(− 43;1] 21$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#37042Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых один корень уравнения

2 x − 2(a +1)x+ 9a− 5= 0

заключен в промежутке $[2;4),$ а другой удовлетворяет неравенству $x ≤ −3.$

Показать ответ и решение

Обозначим

2 y(x)= x − 2(a+ 1)x + 9a − 5

Рассмотрим картинку, которая нам подходит:

$PIC$

Заметим, что число -3 может находиться во $II$ и в $III$ местах. Число 2 может находиться в $III$ или $IV$ месте. Число 4 может находиться только в $V$ месте.

Случаи, когда один из корней попадает в $II$ или в $IV$ место, рассмотрим отдельно. Это значит, что один из корней уравнения равен -3 или 2. Проверим, при каких $a$ это происходит.

x = − 3 ⇒ 9+ 6(a +1)+ 9a− 5= 0 1 a= − 2 ⇒ x =2(a+ 1)− (− 3)= 11∈ (2;4) 3 2 3 x2 = 2 ⇒ 4 − 4(a+ 1)+ 9a− 5= 0 a= 1 ⇒ x = 2(a+ 1)− 2= 2 >− 3 1

Следовательно, случай $2 a =− 3$ нам подходит, а случай $a = 1$ — нет.

Теперь можно считать, что число -3 должно находиться в $III$ месте. Число 2 должно находиться в $III$ месте. Число 4 может находиться только в $V$ месте. Это задается следующей системой:

( ||||D > 0 ||{y(−3)< 0 | ||||y(2)< 0 |(y(4)> 0

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем

( 2] a∈ − 3;− 3

_____________________________________________________________________________

Замечание.

Условие на дискриминант здесь необязательно, так как если хотя бы в одной точке для параболы с ветвями вверх значение функции отрицательно, то автоматически парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Также здесь не нужно условие на абсциссу вершины, так как число 4 не может попасть в $I$ место, иначе оно было бы меньше -3.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Расшифровка мест:

$I$ — до левого корня

$II$ — в левом корне

$III$ — между корнями

$IV$ — в правом корне

$V$ — правее правого корня.

Ответ:

$( 2] a ∈ −3;−3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай, когда один из корней может быть равен 2 или $− 3,$ из-за чего ответ может отличаться от верного невключением точки $a =− 23$	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование	1
ИЛИ
верно найдены корни квадратного уравнения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#44618Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых ровно один корень уравнения

2 ax + 4x+ a+ 1= 0

больше 1.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1.

$a= 0.$ Тогда уравнение является линейным и имеет единственный корень $x= − 1, 4$ меньший 1. Следовательно, это значения параметра нам не подходит.

2.

$a⁄= 0.$ Тогда уравнение является квадратным. Его дискриминант равен

( −1 − √17-)( −1 +√17-) D = 4(−a2− a+ 4)= −4 a− ---2---- a− ---2----

Рассмотрим параболу

y =ax2+ 4x +a +1

Абсцисса ее вершины равна

2 x(верш) = −a

2.1.

Пусть $D = 0,$ отсюда получаем

√ -- a = −1-±--17 2

Тогда уравнение $ax2+ 4x + a+ 1= 0$ имеет единственный корень

2 x = x(верш) = − a

При $√-- a = −1−2-17$ имеем:

x(верш) =---4√---< 1 1 + 17

Это значение параметра не подходит.

При $−1+√17 a = 2$ имеем:

4 x(верш) = 1-− √17-< 0

Это значение параметра не подходит.

2.2.

Пусть $D > 0,$ отсюда получаем

( √-- √--) a∈ −-1−--17; −-1+-17 2 2

Тогда уравнение $2 ax + 4x + a+ 1= 0$ имеет два корня.

Рассмотрим отдельно случай, когда один из корней равен 1 и определим при этом, чему равен второй корень.

Пусть $x= 1,$ тогда после подстановки вместо $x$ числа 1 уравнение $2 ax +4x +a + 1= 0$ становится верным равенством. Тогда найдем соответствующее значение параметра:

5 a +4 + a+ 1= 0 ⇔ a= − 2

Так как по теореме Виета произведение корней равно $a+-1, a$ то второй корень равен

a-+1 3 x= a :1= 5 < 1

Следовательно, $5 a= − 2$ нам не подходит.

Пусть теперь ни один из корней уравнения $ax2+ 4x+ a+ 1= 0$ не равен 1. Тогда чтобы было выполнено условие задачи, парабола $2 y = ax + 4x+ a+ 1$ должна принимать один из двух видов:

$1$
Рис. 1: 1 находится в III месте

$1$
Рис. 2: 1 находится в III месте

Рис. 1 задается системой

( |{ a> 0 |( y(1)< 0

Рис. 2 задается системой

(|{ a< 0 |( y(1)> 0

Если объединить две системы, то получим

5 a⋅y(1) < 0 ⇔ a(2a+ 5)< 0 ⇔ − 2 <a < 0

Пересечем полученное множество значений параметра с $a ⁄= 0$ и с

( √-- √--) a∈ −-1−--17; −-1+-17 2 2

Тогда окончательно получим

( 5 ) a ∈ −2;0

Ответ:

$( ) a ∈ − 5;0 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны) или не рассмотрен случай $a= 0$	3

Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания	2

Рассмотрен случай $a= 0$ и/или верное введение функции и её исследование	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#80013Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

log x2 = log√-10(lg(10a)− ||lg x||) 100 x | a|

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $x >0,x ⁄=1.$ При этих $x$ уравнение можно переписать в виде

-2- lgx = lgx ⋅(1+ lga − |lgx− lga|)

Сделаем замены: $t= lgx,$ $b= lga.$ Тогда $t ∈(−∞; 0)∪(0;+∞ )$ и уравнение примет вид

t2+ 2|t− b|− 2− 2b= 0

Найдем те $b,$ при которых полученное уравнение не имеет решений или имеет решение $t= 0.$ Тогда при всех оставшихся $b$ это уравнение, ровно как и исходное, наоборот будет иметь решения.

Раскроем модуль:

⌊( ⌊ ( { t≥ b {t ≥b ||( 2 || ( 2 ||( t + 2t− 2b− 2− 2b= 0 ⇔ || ((t+ 1) = 4b +3 ||⌈{ t< b ||⌈ {t <b ( 2 ( √ - t − 2t+ 2b− 2− 2b= 0 t =1 ± 3

Вторая система не имеет решений при $√- 1− 3≥ b.$ При этих $b$ первая система должна либо не иметь решений, либо иметь решение $t= 0.$ Рассмотрим случаи:

1.

$3 4b+3 < 0 ⇔ b< − 4.$ Тогда первая система не имеет решений.

2.

$1 4b+3 = 1 ⇔ b= − 2$ — не удовлетворяет $√ - b≤ 1− 3,$ следовательно, этот случай (при нем один из корней уравнения первой системы равен 0) можно не рассматривать.

3.

$4b+3 ≥ 0,4b+ 3⁄= 1 ⇔ b ≥ − 3,b⁄= − 1. 4 2$ Тогда уравнение первой системы имеет два решения, причем оба ненулевых. Следовательно, чтобы первая система не имела решений, оба корня должны быть меньше $b.$

Рассмотрим функцию $y = (t+ 1)2 − (4b+ 3).$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось абсцисс в двух точках. Изобразим параболу и точку $t= b$ так, чтобы обе точки пересечения с осью абсцисс были меньше $b:$

$tb$

Таким образом, нужно, чтобы

(|y(b)> 0 (|b2− 2b− 2> 0 ||{ ||{ √ - √- |tверш < b ⇔ |− 1< b ⇔ b∈ (−1;1− 3)∪(1+ 3;+∞ ) ||(b ⁄=− 1 ||(b⁄= − 1 2 2

Пересечем $b,$ найденные в каждом случае, с $√ - b≤ 1 − 3.$ Объединив случаи, получим

√- b ∈(−∞; 1− 3)

Следовательно, при $√- b≥ 1− 3$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение. Значит, ответ

- b≥ 1− √3- ⇒ lg a≥ 1− √3 ⇔ a ≥ 101−√3

Ответ:

$a ∈[101−√3;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#96756Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства

2 2 3x +(a− 4)x− a + a< 0

является интервал $(− 2;2)?$

Показать ответ и решение

Рассмотрим множество функций

2 2 fa(x)= 3x + (a− 4)x − a + a

При каждом фиксированном $a$ это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. При этом она может выглядеть как (1) $(D = 0),$ (2) $(D > 0)$ или (3) $(D < 0):$

$PIC$

Для того, чтобы решением неравенства являлся интервал $(−2;2),$ необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть необходимо выполнение следующих условий:

( 2 ( 2) |{ D =(a− 4) − 4⋅3 a− a > 0 |( fa(−2)= 0 fa(2)= 0 ( 2 ( 2 ) |{ (a −2 4) + 12 a − a > 0 |( −a − a+ 20= 0 −a2+ 3a+ 4= 0 ( 2 ( 2 ) |{ (a − 4) + 12 a − a > 0 |( −(a− 4)(a+ 5)= 0 −(a− 4)(a+ 1)= 0 { 2 12 > 0 a = 4 a= 4

Следовательно, получаем

a ∈{4}

Замечание.

Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии $fa(−2)= fa(2)= 0,$ поскольку квадратный трехчлен имеет два корня $x =− 2$ и $x =2.$

Ответ:

$a ∈{4}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны)	3

Верно наложены все условия для того, чтобы решением неравенства являлся заданный отрезок, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование	1
ИЛИ
верно найдены корни квадратного уравнения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#2751Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ √ -------- log2 xy + 2x = log2(x + 1 ) |y − ax − a| = 2

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем данную систему:

( ( || √xy--+--2x = x + 1 || xy + 2x = (x + 1)2 ||{ ||{ x[ + 1 > 0 x[ > − 1 || y − ax − a = 2 ⇔ || y = ax + a + 2 ||( ||( y − ax − a = − 2 y = ax + a − 2

Данная система при $x > − 1$ равносильна системе:

{ { ⌊ x2 − xy + 1 = 0 ⌊ (1 − a)x2 − (a + 2 )x + 1 = 0 (1) | | | y = ax + a + 2 | y = ax + a + 2 || { 2 ⇔ || { 2 ⌈ x − xy + 1 = 0 ⌈ (1 − a)x − (a − 2 )x + 1 = 0 (2) y = ax + a − 2 y = ax + a − 2

Заметим, что решения первой и второй системы из данной совокупности всегда будут различны, т.к. $ax + a + 2 ⁄= ax + a − 2$ при всех $x$ и $a$ .

I. При $a = 1$ уравнения (1) и (2) – линейные, имеющие корни $x = 1 3$ и $x = − 1$ соответственно. Но т.к. $x > − 1$ , то система не будет иметь два решения.
Следовательно, данное значение $a$ нам не подходит.

При $a ⁄= 1$ уравнения (1) и (2) являются квадратными. Найдем их дискриминанты:

D (1) = a2 + 8a, D (2) = a2.

II. Рассмотрим $a ∈ (− ∞; − 8) ∪ (0;1) ∪ (1;+ ∞ )$ .

Тогда $D (1) > 0$ и $D (2) > 0$ . Следовательно, оба уравнения имеют по два различных корня.

Корни уравнения (1):

∘ ----- a + 2 ± D (1) x1 = --------------, x1 < x2. 2(1 − a)

Корни уравнения (2):

--1--- x3 = − 1 и x4 = a − 1.

Т.к. $x > − 1$ , то корень $x3$ точно не подходит.

Рассмотрим три случая:
$∙$ $a ∈ (0; 1)$ . Тогда $x4 = -1-∈ (− ∞; − 1) a−1$ . Следовательно, $x4$ тоже не подходит.
Тогда для того, чтобы исходная система имела два различных решения, нужно, чтобы $x1 > − 1,x2 > − 1$ .
Рассмотрим параболу $2 y = (1 − a )x − (a + 2)x + 1$ . При рассматриваемых $a$ ее ветви направлены вверх, следовательно, т.к. $y (− 1) = 4 > 0$ , то можно сказать, что корни $x1$ и $x2$ находятся либо одновременно правее $− 1$ (подходит), либо одновременно левее $− 1$ (не подходит).
Для того, чтобы оба были правее $− 1$ , нужно, чтобы и вершина параболы была правее $− 1$ , то есть

-a-+-2-- > − 1 ⇔ a-−-4-> 0 ⇔ a ∈ (− ∞; 1 ) ∪ (4;+ ∞ ). 2(1 − a) a − 1

Пересекая полученные значения с $a ∈ (0;1)$ , получим $a ∈ (0;1 )$ .

$∙$ $a ∈ (− ∞; − 8)$ . Тогда $( ) x4 = a1−1 ∈ − 19;0$ . Следовательно, $x4$ нам подходит.
Тогда для того, чтобы исходная система имела два решения, нужно, чтобы $x1 ≤ − 1$ , а $x > − 1 2$ .
Парабола и в данном случае с ветвями, направленными вверх, следовательно, учитывая $y(− 1) = 4 > 0$ , можно сказать, что оба корня $x1$ и $x2$ находятся либо одновременно левее, либо одновременно правее $− 1$ . Такая ситуация нам не подходит.

$∙$ $a ∈ (1;+ ∞ )$ . Тогда $x = -1- ∈ (0;+ ∞ ) 4 a−1$ . Следовательно, $x 4$ нам подходит.
Тогда нужно, чтобы $x1 ≤ − 1$ , а $x2 > − 1$ .
Парабола в данном случае с ветвями вниз, то есть, учитывая $y(− 1) = 4 > 0$ , корни находятся по разные стороны от $− 1$ . Значит, этот случай нам подходит.

Следовательно, при $a ∈ (0;1) ∪ (1;+ ∞ )$ система имеет два решения.

III. При $a ∈ (− 8;0)$ имеем: $D (1) < 0$ и $D (2) > 0$ . Следовательно, уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет те же два корня $x3 = − 1$ и $x4 = a−11$ , из которых $x3$ не подходит под $x > − 1$ . Следовательно, мы не получим два решения системы.

IV. При $a = − 8$ имеем $D (1) = 0$ и $D(2) > 0$ . Следовательно, уравнение (1) имеет один корень $x1 = − 13$ , уравнение (2) имеет корни $x3 = − 1$ и $x4 = − 19$ . Таким образом, учитывая $x > − 1$ , система будет иметь два решения:

( 1 10) ( 1 82) − -;− --- и − -;− --- . 3 3 9 9

V. При $a = 0$ имеем $D (1) = 0$ и $D (2) = 0$ , следовательно, оба уравнения имеют по одному корню: $x1 = 1$ и $x3 = − 1$ . Видим, что двух решений система не имеет.

Таким образом, ответ: $a ∈ { − 8} ∪ (0;1) ∪ (1;+∞ )$ .

Ответ:

${− 8} ∪ (0;1) ∪ (1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#33330Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘--2------2---------- 2 (x + |x|)(x + 5|x|+6)+ 1= 3|x|− 3ax− a +1

имеет корни как большие $− 3$ , так и меньшие $− 3$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем подкоренное выражение:

|x|(|x|+1)(|x|+2)(|x|+ 3)+1 =(x2+ 3|x|)(x2+3|x|+ 2)+1 = 2 2 2 2 2 =(x + 3|x|) + 2(x + 3|x|)+ 1= (x +3|x|+ 1)

Так как $2 x + 3|x|+1 >0$ , то $∘ --2-------2- 2 (x +3|x|+ 1) =x + 3|x|+ 1$ , следовательно, уравнение имеет вид

2 2 2 2 x + 3|x|+ 1=3|x|− 3ax− a +1 ⇔ y = x − 3ax+ a = 0

Получили квадратное уравнение. Если оно должно иметь корни как больше $− 3$ , так и меньшие $− 3$ , то число $− 3$ должно располагаться между корнями, следовательно, так как ветви параболы $y = y(x)$ направлены вверх, $y(−3)<0$ (условие на $D >0$ для существования корней излишне, так как если для параболы с ветвями вверх существует хотя бы одна точка, где ее значение отрицательно, то она автоматически пересекает ось абсцисс в двух точках):

−9− 3√5 −9+ 3√5 9+ 9a+a2 <0 ⇔ ---2----<a < ---2----

Ответ:

$a ∈(9−3√5;9+3√5) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#37043Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметра $a$ уравнение

( 2 2 ) √----- 3x − 2(4a− 3)x +5a − 10a ⋅ x +7 = 0

имеет ровно два решения?

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

⌊ |x( = −7 |||{ 3x2− 2(4a− 3)x+ 5a2− 10a = 0 ⌈ ( x≥ −7

Чтобы данная совокупность имела два решения, нужно:

1) квадратное уравнение имеет один корень, и он удовлетворяет условию $x > −7;$

2) квадратное уравнение имеет два корня, и ровно один из них удовлетворяет условию $x > −7,$ а второй соответственно условию $x≤ −7.$

Найдем дискриминант:

2 ( 2 ) 2 D = 4(4a − 3) − 4⋅3 ⋅5a − 10a = 4(a +3)

Рассмотрим случаи, описанные выше.

1) $a= − 3.$ Тогда единственный корень — это

xв = 4a−-3= − 5 3

Он удовлетворяет условию $x > −7.$ Следовательно, это значение $a$ нам подходит.

2) $a⁄= − 3.$ Тогда у уравнения два корня. Нужно, чтобы число $− 7$ находилось во $II$ или в $III$ местах. Рассмотрим случай, когда оно находится во $II$ месте, отдельно. Значит, один из корней уравнения равен $x1 = − 7.$ Тогда второй должен быть больше $− 7.$

2 3⋅49+ 14(4a − 3) +5a − 10a= 0 21 a = − 5 ; −5

Тогда второй корень по теореме Виета равен

2(4a− 3) x2 =---3----− x1

При $a= −5$ имеем $x2 = − 25 < −7. 3$ Это значение параметра не подходит.

При $21 a= − 5$ имеем $x2 = −6,2> −7.$ Это значение параметра подходит.

Теперь рассмотрим, когда число $− 7$ находится в $III$ месте:

y(−7)< 0 ⇔ a∈ (−5;−4,2)

Заметим, что условие на дискриминант здесь не обязательно. Это так, поскольку если хотя бы в одной точке параболы с ветвями вверх значение функции отрицательно, то автоматически парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Объединяя все найденные значения, получаем

a∈ (−5;−4,2]∪ {−3}

Расшифровка:

$I$ — левее левого корня

$II$ — в левом корне

$III$ — между корнями

$IV$ — в правом корне

$V$ — правее правого корня

Ответ:

$a ∈(−5;−4,2]∪{−3}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Случай $D = 0$ рассмотрен неверно, из-за чего ответ отличается от верного невключением $a = −3$	3

Верно рассмотрен случай $D =0,$ а при рассмотрении $D > 0$ либо есть ошибка, либо решение не завершено	2
ИЛИ
рассмотрен верно только случай $D = 0$

Уравнение сведено к рассмотрению квадратного уравнения с учётом допустимых значений и рассмотрен случай $D =0,$ при этом допускается, что значение параметра $a$ могло быть не найдено или найдено не верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#37044Максимум баллов за задание: 4

При каких $a$ уравнение

∘ ---------- x− 2= 2(a− 1)x+ 1

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

({ ({ x≥ 2 ⇔ x ≥2 ((x− 2)2 = 2(a − 1)x+ 1 (x2− 2(a+1)x+ 3= 0

Чтобы система имела два решения, то подходит: 1) $D = 0$ и этот корень подходит под условие $x≥ 0$ ; 2) $D > 0$ и один корень подходит под условие $x≥ 2$ , а второй $x < 2$ .

D = 4(a+ 1)2− 12= 4((a+ 1)2 − 3)

1) $D = 0$ , следовательно, $√- a =− 1± 3$ . Тогда единственный корень – абсцисса вершины параболы $x =a +1$ . Ни при каком $a$ не удовлетворяет условию $x ≥2$ .

2) $D > 0$ , откуда $√- √- a ∈(−∞; −1− 3)∪(−1+ 3;+∞ )$ . Тогда число $2$ должно попасть в $III$ или $IV$ место. Разберем случай $IV$ отдельно. Тогда $x1 = 2$ – корень уравнения, следовательно,

3 4− 4(a+1)+ 3= 0 ⇔ a = 4

По теореме Виета второй корень равен $x2 = 2(a +1)− x1 = 32$ . Это значение $a$ нам подходит.

Теперь пусть число $2$ попадает только в $III$ место. Тогда

3 y(2)< 0 ⇔ a> 4

Объединяя все найденные ответы, получаем $3 a≥ 4$ .

Ответ:

$a ∈[0,75;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#37045Максимум баллов за задание: 4

Найдите $a$ , при которых уравнение

∘ ---------- x− 2= 2− 2(a+ 2)x

имеет единственный корень.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

({ ({ x≥ 2 ⇔ x ≥2 ((x− 2)2 = 2− 2(a+ 2)x (x2 +2ax+ 2= 0

Пусть $2 y = x +2ax+ 2.$

Чтобы система имела два решения, то подходит: 1) $D = 0$ и этот корень подходит под условие $x≥ 2$ ; 2) $D > 0$ и один корень подходит под условие $x≥ 2$ , а второй — под условие $x< 2$ .

D =4a2− 4⋅2= 4(a2− 2)

1) $D= 0$ , следовательно, $√- a = ± 2$ . Тогда единственный корень – абсцисса вершины параболы $xверш. =−a$ . Ни при каком $a$ не удовлетворяет условию $x ≥2$ .

2) $D > 0$ , откуда $√- √- a ∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ )$ . Тогда число $2$ должно попасть в $III$ или $IV$ место. Разберем случай $IV$ отдельно. Тогда $x2 = 2$ – корень уравнения, следовательно, по теореме Виета произведение корней равно 2, следовательно, $x1 = 1.$ Этот случай удовлетворяет нашим условиям. Найдем $a$ , задающее этот случай: