Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Тема 18. Задачи с параметром

18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#36432Максимум баллов за задание: 4

Решите неравенство при всех $a$

∘------2 x +2a− 2 3ax+ a > 0

Показать ответ и решение

Данное неравенство равносильно

∘------2 2 2 2 3ax+ a < x+ 2a ⇔ 0≤ 4(3ax+ a )<(x+ 2a)

Получаем систему из двух неравенств

(|a (x + a) ≥0 |||{ 3 |x(x− 8a)>0 |||( x +2a> 0

1) Рассмотрим $a> 0$ . Тогда получим

(| a |||{x ≥− 3 |x(x− 8a)>0 |||( x >− 2a

Тогда $− 2a <− a< 0< 8a 3$ , следовательно, решением системы является $∈ [− a;0) ∪(8a;+∞ ) 3$ .

2) Рассмотрим $a= 0$ . Тогда получим

(||x∈ R |{ |||x(x− 0)> 0 ⇔ x > 0 (x> 0

3) Рассмотрим $a< 0$ . Тогда

( |||{x ≤− a3 x(x− 8a)>0 |||( x >− 2a

Тогда $a − 2a >− 3 > 0> 8a$ , следовательно, $x ∈∅$ .

Ответ:

$a >0 ⇒ x∈ [− 1a;0)∪ (8a;+∞) 3$

$a= 0 ⇒ x> 0$

$a< 0 ⇒ x∈ ∅$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#44619Максимум баллов за задание: 4

Решите неравенство

ax− 3> a2− 2x

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Неравенство линейное. Перепишем неравенство в виде

(a+ 2)x> a2+ 3

1.

Пусть $a+ 2 =0 ⇔ a= −2.$

Тогда неравенство имеет вид $0 ⋅x> 7,$ что неверно ни при каком $x.$ Следовательно, решение неравенства в этом случае

x∈ ∅

2.

Пусть $a+ 2 >0 ⇔ a> −2.$

Тогда поделим обе части неравенства на $a+ 2,$ знак неравенства при этом не поменяется:

a2 +3 x> -a+-2

Решением неравенства в этом случае будут

(a2 +3 ) x∈ -a+-2 ;+ ∞

3.

Пусть $a+ 2 <0 ⇔ a< −2.$

Тогда поделим обе части неравенства на $a+ 2,$ знак неравенства при этом поменяется:

2 x< a--+3 a+ 2

Решением неравенства в этом случае будут

( a2+ 3) x∈ − ∞;-a+-2

Ответ:

$( ) a ∈(−∞; −2) ⇒ x ∈ −∞; a2+-3 a+ 2$

$a∈ {−2} ⇒ x ∈∅$

$( 2 ) a∈ (−2;+∞ ) ⇒ x∈ a--+3;+ ∞ a+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#44620Максимум баллов за задание: 4

Решите неравенство

x< a x

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

x− a < 0 ⇔ x2−-a < 0 (⋆) x x

Неравенства данного вида решаются методом интервалов. Для этого нужно найти нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя $x0 = 0,$ нули числителя ищутся из уравнения $x2 = a.$ В зависимости от знака $a$ это уравнение имеет или не имеет решений.

1.

Если $a < 0,$ то уравнение $x2 = a$ не имеет решений. Решим в таком случае неравенство $(⋆) :$

$PICT$

Получим

x∈ (− ∞;0)

2.

Если $a =0,$ то решением уравнения $x2 =a$ будет $x =x0 = 0.$ Решим в таком случае неравенство $(⋆):$

$PICT$

Получим

x∈ (− ∞;0)

3.

Если $a >0,$ то решением уравнения $x2 =a$ будут $x1 = − √a$ и $x2 = √a.$ Заметим, что $x < x , 1 0$ $x >x , 2 0$ следовательно, нули числителя и знаменателя однозначно располагаются друг относительно друга. Решим в таком случае неравенство $(⋆):$

$PICT$

Получим

√ - √- x ∈ (− ∞;− a)∪ (0; a)

Ответ:

$a ∈(−∞; 0] ⇒ x∈ (− ∞;0)$

$√- √- a∈ (0;+ ∞) ⇒ x ∈ (− ∞;− a)∪ (0; a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#72214Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $√x-−-2a-⋅cosx = √x-−-2a⋅sinx$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;π].$

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ уравнения:

x− 2a ≥ 0,

x ≥ 2a.

Найдём корни уравнения:

√------ √------ x − 2a⋅cosx = x − 2a⋅sin x,

√x-−-2a-⋅cosx − √x-−-2a⋅sinx = 0,

√------ x − 2a⋅(cosx− sin x) = 0,

$[ √ ------ x− 2a = 0, cos x− sin x = 0.$

Во второй строке совокупности записано однородное тригонометрическое уравнение первой степени $cosx− sin x = 0$ . Если хотя бы одно слагаемое равно 0, то нулю равно и другое, и мы получаем противоречие с ОТТ.

Следовательно, ни синус, ни косинус не равны 0 и на одну из этих функций можно поделить обе части уравнения. Разделим второе уравнение на $sin x,$ а обе части первого возведём в квадрат.

$[ x− 2a = 0, ctg x− 1 = 0.$

$⌊ x = 2a, ⌈ π- x = 4 +πn, n ∈ ℤ.$

Рассмотрим уравнение $x = 2a.$ Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:

{ 0 ≤ 2a ≤ π, 2a ≥ 2a.

{0 ≤ a ≤ π, 2 a ∈ R.

Таким образом, корень $x = 2a$ нам подходит при $π a ∈ [0;2].$

Рассмотрим уравнение $π x = 4 + πn,n ∈ ℤ.$ Из всех корней данной серии на данный отрезок попадает только $π 4.$ Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:

{ π 0 ≤ 4 ≤ π, π4 ≥ 2a.

{ a ∈ R, π8 ≥ a.

Таким образом, корень $x = π4$ нам подходит при $a ∈ (− ∞; π8].$

Рассмотрим случай совпадения корней:

π 2a = -, 4

a = π. 8

Проанализируем найденные промежутки:

1. При $a ∈ (− ∞; 0)$ требованиям задачи удовлетворяет только один корень $π . 4$ Это часть ответа.

2. При $a ∈ [0; π) 8$ требованиям задачи удовлетворяют оба корня $π 4$ и $2a.$ Это не часть ответа, корней слишком много.

3. При $a = π 8$ корни $π 4$ и $2a$ совпадают и требованиям задачи удовлетворяет только один уникальный корень $π. 4$ Это часть ответа.

4. При $a ∈ (π; π] 8 2$ требованиям задачи удовлетворяет только один корень $2a.$ Это часть ответа.

5. При $a ∈ (π;+∞ ) 2$ требованиям задачи не удовлетворяет ни один корень. Это не часть ответа.

Ответ:

$[ ] a ∈ (− ∞; 0)∪ π-; π 8 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	3

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ	2

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2205Максимум баллов за задание: 4

При всех допустимых значениях параметра $a$ решите неравенство

log-a-(x2 − ax ) ≤ log -a-(ax − a2 + 1) a+1 a+1

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая допустимых значений параметра:

1) $--a--> 1 ⇔ a < − 1 a + 1$ .

В этом случае неравенство равносильно системе:

{ { x2 − ax > 0 x(x − a) > 0 2 2 ⇔ x − ax ≤ ax − a + 1 a − 1 ≤ x ≤ a + 1

Т.к. $a < − 1$ , то решение на вещественной прямой будет выглядеть так:

$PIC$

Таким образом, при $a < − 1$ решение $x ∈ [a − 1;a )$ .

2) $0 < --a---< 1 ⇔ a > 0 a + 1$ .

В этом случае неравенство равносильно системе:

( | a2-−-1 { 2 ||{ x > a т.к. a > 0 ax − a + 1 > 0 ⇔ [ x2 − ax ≥ ax − a2 + 1 || x ≥ a + 1 |( x ≤ a − 1

Т.к. положение точки $a2−1 a$ относительно точек $a − 1$ и $a + 1$ не фиксировано, то рассмотрим случаи:

2.1) $a2−a1 < a − 1 ⇒ 0 < a < 1$ .

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

$PIC$

Значит, в данном случае ответом будут $( a2−-1 ] x ∈ a ;a − 1 ∪ [a + 1;+ ∞ )$ .

2.2) $a2−1 = a − 1 ⇒ a = 1 a$ .

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

$PIC$

Значит, в данном случае ответом будут $x ∈ [a + 1;+ ∞ )$ .

2.3) $2 a − 1 < a-−a1 < a + 1 ⇒ a > 1$ .

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

$PIC$

Значит, в данном случае ответом будут $x ∈ [a + 1;+ ∞ )$ .

2.4) $2 a-−a1 ≥ a + 1 ⇒ a ∈ ∅$ , т.к. $a > 0$ .

Ответ:

при $a ∈ (− ∞; − 1 ) x ∈ [a − 1;a )$

при $( ] a ∈ (0;1) x ∈ a2−1;a − 1 ∪ [a + 1;+ ∞ ) a$

при $a ∈ [1;+ ∞ ) x ∈ [a + 1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2788Максимум баллов за задание: 4

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение $|2x + 8| + |2x − 6 | = a$ .

Показать ответ и решение

Раскроем модули. Нули подмодульных выражений – это $x = − 4$ и $x = 3$ . Следовательно, при $x ≥ 3$ оба модуля раскроются положительно, при $− 4 < x < 3$ первый модуль раскроется положительно, а второй отрицательно, при $x ≤ − 4$ оба модуля раскроются отрицательно.

1) $x ≥ 3$ : $2x + 8 + 2x − 6 = a$ , откуда $x = 0,25(a − 2)$ . Чтобы в этом случае уравнение имело корень, нужно, чтобы $0, 25(a − 2) ≥ 3$ , то есть $a ≥ 14$ . Если $a < 14$ , то $x = 0,25(a − 2)$ не является корнем уравнения.

2) $− 4 < x < 3$ : $2x + 8 − 2x + 6 = a$ , откуда $14 = a$ . Значит, если $a = 14$ , то любой $x$ , удовлетворяющий $− 4 < x < 3$ , является решением уравнения. Если $a ⁄= 14$ , то промежуток $(− 4;3)$ не является решением уравнения.

3) $x ≤ − 4$ : $− 2x − 8 − 2x + 6 = a$ , откуда $x = − 0,25 (a + 2)$ . Аналогично первому случаю, если $− 0,25(a + 2) ≤ − 4$ (откуда $a ≥ 14$ ), то $a = − 0,25(a + 2)$ является корнем, в противном случае – нет.

Подытожив эти три случая, можно сказать, что при $a > 14$ решением исходного уравнения будут $x = 0,25(a − 2)$ , $x = − 0,25(a + 2)$ . Если $a = 14$ , то решением уравнения будут $x = 0, 25(a − 2) = 3$ , $x = − 0,25 (a + 2 ) = − 4$ и $x ∈ (− 4;3)$ (то есть отрезок $[− 4;3 ]$ ). Если $a < 14$ , то уравнение не имеет решений.

Ответ:

$a > 14 ⇒ x = 0,25(a − 2); − 0,25(a + 2)$ ;

$a = 14 ⇒ x ∈ [− 4;3]$ ;

$a < 14 ⇒ x ∈ ∅$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#18384Максимум баллов за задание: 4

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

axx2++22 3x2−x2a+x2+4 3 + 3 = 12

Показать ответ и решение

Выделим целую часть во втором показателе степени:

3(x2 + 2)− ax − 2 ax+ 2 ------2---------= 3 − -2---- x + 2 x + 2

Если сделать замену

ax2+2 3x +2 = t, t > 0 ∀x,a ∈ ℝ.

то уравнение примет вид

27 t+ t- = 12

Домножением обеих частей равенства на $t$ уравнение сводится к квадратному (причем без параметра!), корнями которого являются $t = 3;$ 9. Сделав обратную замену, получим значения для показателя:

⌊ ⌊ ax+2 = 1 x2 − ax = 0 ⌈x2+2 ⇔ ⌈ axx2++22 = 2 2x2 − ax + 2 = 0

Решениями первого уравнения являются (совпадающие при $a = 0$ ) числа $x = 0;a$ . Заметим, что $x = 0$ не является корнем второго уравнения ни при каких $a$ (чтобы в этом убедиться, нужно подставить $x = 0$ , что даст уравнение относительно $a$ , не имеющее решений). То же верно для $x = a$ :