19.10 Последняя цифра числа - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2007Максимум баллов за задание: 4

Найдите последнюю цифру числа $333.$

Показать ответ и решение

Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел 457 и 369. Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть $7⋅9= 63,$ и так последняя цифра у 63 — это 3, то последняя цифра произведения чисел 457 и 369 тоже 3.

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,...

Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры 3, 9, 7, 1 повторяются. Значит, последняя цифра числа $333$ зависит от того, какой остаток будет давать число 33 при делении на 4 (так как блоки по 4 цифры).

Так как остаток 33 при делении на 4 равен 1, то $33 3$ заканчивается на такую же цифру, как и $1 3 .$ Таким образом, последняя цифра числа $33 3$ — это 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2009Максимум баллов за задание: 4

Делится ли число $2723+ 3311$ на 10?

Показать ответ и решение

Найдем последнюю цифру числа $2723+ 3311.$ Будем пользоваться тем, что последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения последних цифр этих чисел. Например, последняя цифра произведения $63⋅27$ равна последней цифре произведения $3 ⋅7= 21,$ то есть равна 1.

Тогда число $271$ заканчивается на 7, $272$ заканчивается на 9, $273$ заканчивается на 3, $274$ заканчивается на 1, $275$ заканчивается на 7 и далее последние цифры циклически повторяются. Выпишем последние цифры всех степеней числа $27$ от $271$ до $2723 :$

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3

Получили, что последняя цифра числа $2723$ равна 3. Аналогично последняя цифра числа $3311$ равна 7.

Значит, последняя цифра числа $23 11 27 + 33$ равна 0. Следовательно, это число делится на 10.

Ответ:

Да, делится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#136642Максимум баллов за задание: 4

Найдите последнюю цифру числа $5757.$

Показать ответ и решение

Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел 457 и 369. Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть $7⋅9= 63,$ и так последняя цифра у 63 — это 3, то последняя цифра произведения чисел 457 и 369 тоже 3.

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней семерки:

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,...

Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры 7, 9, 3, 1 повторяются. Значит, последняя цифра числа $5757$ зависит от того, какой остаток будет давать число 57 при делении на 4 (так как блоки по 4 цифры).

Так как остаток 57 при делении на 4 равен 1, то $57 57$ заканчивается на такую же цифру, как и $1 7.$ Таким образом, последняя цифра числа $57 57$ — это 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#136643Максимум баллов за задание: 4

Найдите последнюю цифру числа $20162016.$

Показать ответ и решение

Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел 457 и 369. Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть $7⋅9= 63,$ и так последняя цифра у 63 — это 3, то последняя цифра произведения чисел 457 и 369 тоже 3.

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней шестерки:

6, 6, 6, 6,...

Заметим, что в этой последовательности все цифры одинаковы и равны 6. Значит, последняя цифра числа $20162016$ — это 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#717Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что все числа вида $n!$ при всевозможных натуральных $n,$ больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

Показать доказательство

При $n ≥ 5$ имеем:

n!= 1⋅2⋅3⋅4 ⋅5⋅...⋅n =120⋅...⋅n

Это число делится на 10, следовательно, последняя цифра равна 0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#838Максимум баллов за задание: 4

Последняя цифра числа $n2$ равна $4$ ( $n ∈ ℕ$ ). Может ли предпоследняя цифра числа $n2$ быть нечётной?

Показать ответ и решение

Так как последняя цифра числа $n2$ равна $4$ , то $n2$ – чётное, следовательно, $n$ – чётное, тогда $n2$ делится на $4$ , что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа $n2$ , делится на $4$ .

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна $4$ , которые и сами делятся на $4$ :

04, 24, 44, 64, 84.

Таким образом, предпоследняя цифра числа $n2$ обязательно чётна.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2008Максимум баллов за задание: 4

Академик Котовский нашел самое большое простое число: $1999876891999 − 1$ . Не перепутал ли чего академик?

Показать ответ и решение

Посмотрим на последнюю цифру числа $1999876891999$ .

Так как число $1999876891$ оканчивается на $1$ , то и число $1999876891999$ тоже оканчивается на $1$ , тогда число $1999876891999 − 1$ оканчивается на $0$ , значит, оно делится на $10$ , следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Ответ: Перепутал

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2010Максимум баллов за задание: 4

Найдите последнюю цифру числа, равного $0!+ 1!+ 2!+ 3!+ ⋅⋅⋅+ 2017!,$ если по определению $0!= 1.$

Показать ответ и решение

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при $n≥ 5$ последняя цифра числа $n!$ равна 0, то все числа вида $n!$ при $n≥ 5$ не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы

0!+ 1!+ 2!+ 3!+4!,

которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа

1 +1 +2 +6 +4 = 14,

которой является цифра 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2125Максимум баллов за задание: 4

Можно ли составить из цифр 1, 2, 8, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 17 раз больше другого?

Показать ответ и решение

Докажем методом от противного: пусть такие числа $m,$ $n$ существуют. Пусть при этом $m = 17⋅n,$ тогда какой может быть последняя цифра числа $m?$

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа $n.$ Рассмотрим все возможные варианты:

1) последняя цифра числа $n$ – это цифра 1, тогда последняя цифра числа $17n$ – это цифра 7, но $m$ не может содержать в своей записи цифру 7.

2) последняя цифра числа $n$ – это цифра 2, тогда последняя цифра числа $17n$ – это цифра 4, но $m$ не может содержать в своей записи цифру 4.

3) последняя цифра числа $n$ – это цифра 8, тогда последняя цифра числа $17n$ – это цифра 6, но $m$ не может содержать в своей записи цифру 6.

4) последняя цифра числа $n$ – это цифра 9, тогда последняя цифра числа $17n$ – это цифра 3, но $m$ не может содержать в своей записи цифру 3.

Таким образом, подходящих $m$ и $n$ не существует.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#718Максимум баллов за задание: 4

Найдите все натуральные $n$ такие, что к десятичной записи числа $n(n + 2)$ справа можно дописать две цифры так, что полученное число будет квадратом некоторого натурального числа.

Показать ответ и решение

n (n + 2) = n2 + 2n.

Дописывание к десятичной записи числа цифр $a$ и $b$ эквивалентно умножению исходного числа на $100$ и прибавлению к нему $10a + b$ :

100(n2 + 2n) + 10a + b = 100(n2 + 2n + 1 ) − 100 + 10a + b = (10n + 10)2 − 100 + 10a + b.

По условию полученное число должно быть равно $N 2$ для некоторого натурального $N$ , тогда:

2 2 2 2 (10n + 10) − 100 + 10a + b = N ⇔ (10n + 10) − N = 100 − 10a − b ⇔ ⇔ (10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = 100 − (10a + b)

Обозначим $100 − (10a + b) = c$ , $1 ≤ c ≤ 100$ – натуральное.

Тогда для того, чтобы $n$ подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального $N$ и некоторого натурального $1 ≤ c ≤ 100$ было выполнено

(10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = c.

Первый множитель $(10n + 10 − N )$ – натуральное число, так как оно целое и его произведение с натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит $100$ , то $10n + 10 + N ≤ 100$ .

Так как $N 2 ≥ 300$ ( $N 2 ≥ n(n + 2 ) ⋅ 100 ≥ 300$ ) и $N ∈ ℕ$ , то $N ≥ 18$ , тогда

28 ≤ 10n + 10 + N ≤ 100.

Таким образом, имеет смысл проверить только $n = 1,2,3, 4,5,6,7$ .

Для $n ∈ {1,2,3,4}$ достаточно положить $N = 10n + 9$ , $c = (10n + 10 + N )$ .

Легко проверить, что при $n = 5$ :

(60 − N )(60 + N ) = c

– не может быть выполнено при $1 ≤ c ≤ 100$ , $N, c ∈ ℕ$ .

Для $n = 6$ и $n = 7$ – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для $n ∈ {1,2,3,4}$ .

Ответ:

$1$ , $2$ , $3$ , $4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2011Максимум баллов за задание: 4

Вася записал число, равное $2016!,$ в десятичной системе исчисления. Затем он стёр 500 последних цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?

Показать ответ и решение

Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны $0$ (в произведении $1⋅2⋅...⋅2016$ есть множители $10$ , $100$ , $1000$ ).

Пусть некоторое число делится на $10N$ , тогда последние $N$ цифр в его десятичной записи равны $0$ .

Число делится на $N 10$ тогда и только тогда, когда оно делится на $N 2$ и на $N 5$ .

Чисел, которые делятся на $5$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016:5]= 403$ (здесь $[a]$ – целая часть $a$ ).
Чисел, которые делятся на $52 = 25$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :25]= 80$ .
Чисел, которые делятся на $53 = 125$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :125]= 16$ .
Чисел, которые делятся на $54 = 625$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :625]= 3$ .
При $n ≥ 5$ чисел, которые делятся на $n 5$ и не превосходят $2016$ нет.

Таким образом, в разложение числа $2016!$ на простые множители число $5$ входит в степени $403 +80 +16+ 3 =502$ .

Чисел, которые делятся на $2$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016:2]= 1008 >502$ .

Тогда $2016!$ делится на $10502$ , следовательно, последние $502$ цифры этого числа равны $0$ . Таким образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на $0$ .

Ответ: 0