19.10 Последняя цифра числа

Дописывание к десятичной записи числа цифр и эквивалентно умножению исходного числа на и прибавлению к нему : По условию полученное число должно быть равно для некоторого натурального , тогда:

Обозначим , – натуральное.

Тогда для того, чтобы подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального и некоторого натурального было выполнено

Первый множитель – натуральное число, так как оно целое и его произведение с натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит , то .

Так как () и , то , тогда

Таким образом, имеет смысл проверить только .

Для достаточно положить , .

Легко проверить, что при :

– не может быть выполнено при , .

Для и – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для .