19.04 Делимость чисел и признаки делимости

а) Да. Пусть дано число Тогда по признаку делимости на 11 должно делиться на 11. Из условия следует, что Проверяем число : кратно 11. Подходит.

б) Возьмем число Пусть Так как число делится на 11, то Заметим, что из и из того, что — цифры, следует, что Следовательно, то есть то есть Значит откуда что невозможно, так как — цифра.

в) Пусть имеется число Заметим, что если нам удастся расставить на местах цифры то полученное число будет наибольшим возможным, так как у него на первом месте стоит самая большая из возможных цифр — 9, на втором — вторая по убыванию цифра 7, на третьем — третья по убыванию цифра 6.

Если число делится на 11, то делится на 11. Оценим это выражение. Наименьшее его значение достигается, когда и равно -1. Наибольшее — когда и равно 11. Следовательно, это выражение равно 0 или 11, поскольку все число делится на 11. Заметим, что — нечетное, следовательно, любая алгебраическая сумма цифр — нечетное число. Следовательно, может равняться только 11. А это достигается, напомним, когда Тогда наибольшее возможное число равно 97635241.