Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.04 Делимость чисел и признаки делимости

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#361Максимум баллов за задание: 4

Верно ли, что если число делится на 8 и на 6, то оно делится и на 48?

Показать ответ и решение

Нет, не верно. Например, число 24 делится на 8 и на 6, но не делится на 48.

Ответ: Нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#362Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что произведение любых трёх последовательных целых чисел делится на 3.

Показать доказательство

Рассмотрим остатки при делении на 3 последовательных целых чисел:

..., 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...

Тогда для трех последовательных остатков возможен один из трех вариантов:

0, 1, 2 1, 2, 0 2, 0, 1

Отсюда видно, что из трех последовательных целых чисел ровно одно имеет остаток 0 при делении на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#363Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на 8.

Показать доказательство

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на 4.

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на 2 и другое число, которое делится на 4, то всё произведение делится на 8.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#364Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что $( )( ) n n2− 4 n2− 1$ делится на 120 при любом $n ∈ℤ.$

Показать доказательство

Преобразуем выражение:

n(n2− 4)(n2− 1)= = n(n − 2)(n+ 2)(n − 1)(n+ 1)= =(n − 2)(n− 1)n(n +1)(n+ 2).

Мы получили произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых последовательных 5 целых чисел всегда есть число, которое делится на 3, есть число, которое делится на 5, а также всегда есть два последовательных чётных числа.

Таким образом, при любом $n∈ ℤ$ число $( )( ) n n2− 4 n2− 1$ делится на 3, делится на 5, делится на 8, следовательно, оно делится и на 120.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1691Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что число $n3− n$ делится на 6 при любом целом $n.$

Показать доказательство

Разложим исходное выражение на множители:

3 2 n − n= n(n − 1)= = n(n− 1)(n +1)= = (n − 1)n(n+ 1)

Это произведение трёх последовательных чисел, следовательно, среди них есть число, которое делится на 2, и есть число, которое делится на 3. Тогда и все произведение делится на 6.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#136988Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что произведение любых пяти последовательных целых чисел делится на 120.

Показать доказательство

Среди любых пяти последовательных целых чисел всегда есть по крайней мере два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на 4. Так как среди пяти последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на 2 и другое число, которое делится на 4, то всё произведение делится на 8.

При этом среди любых пяти последовательных целых чисел есть ровно одно число, кратное 5, и одно или два числа, кратные 3.

Тогда произведение пяти последовательных целых делится на $8⋅5 ⋅3 = 120.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#30644Максимум баллов за задание: 4

Натуральное число $a$ таково, что $a+ 2$ делится на 5. Докажите, что число $7a+ 4$ также делится на 5.

Показать доказательство

Так как $a +2 ≡ 0 (mod 5),$ то $a ≡3 (mod 5).$ Тогда

7a≡ 21≡ 1 (mod 5)

Значит,

7a+ 4≡ 5≡ 0 (mod 5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#30645Максимум баллов за задание: 4

Докажите, что если $a+ b$ делится на 7, то и число $--- aba$ также делится на 7.

Показать доказательство

Заметим, что

--- aba = 100a +10b+ a= 101a+ 10b≡ 3(a + b) (mod 7).

Так как $(a+ b)$ делится на 7, то и $3(a+ b)$ делится на 7. Следовательно, $--- aba$ делится на 7.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#30646Максимум баллов за задание: 4

Число $p> 3$ — простое. Докажите, что $p2− 1$ делится на $24.$

Показать доказательство

Имеем $p2− 1= (p− 1)(p+ 1)$ . Так как $p$ — простое число, большее $2$ , то оно нечетное, следовательно, числа $p± 1$ — четные. Также заметим, что $p− 1$ и $p +1$ — два подряд идущих четных числа, следовательно, одно из них делится не только на $2$ , но и на $4.$ Таким образом, $(p− 1)(p+ 1)...8$ .

Среди трех подряд идущих целых чисел имеется одно число, которое делится на $3$ . Следовательно, среди чисел $p− 1$ , $p$ , $p +1$ есть такое число. Так как этим числом не может быть число $p$ (оно простое, то есть не имеет других делителей, кроме $1$ и $p$ ), то делится на $3$ одно из чисел $p− 1$ или $p +1$ . Следовательно, их произведение делится на $3$ . Таким образом, $(p− 1)(p +1)...(3 ⋅8) =24.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#136644Максимум баллов за задание: 4

Натуральное число $a$ таково, что $a+ 1$ делится на 4. Докажите, что число $6a+ 2$ также делится на 4.

Показать доказательство

Так как $a +1 ≡ 0 (mod 4),$ то $a ≡3 (mod 4).$ Тогда

6a≡ 18≡ 2 (mod 4)

Значит,

6a+ 2≡ 4≡ 0 (mod 4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#572Максимум баллов за задание: 4

Можно ли в числе $1∗21934$ поставить вместо звёздочки цифру так, чтобы полученное число делилось на 11?

Показать ответ и решение

Пусть искомая цифра — $x,$ тогда по признаку делимости на 11 получаем

. (1+ 2+ 9 +4 − (x+ 1+ 3)).. 11

Следовательно, имеем:

(12− x) ... 11

Так как $x$ — цифра, то $x$ может быть равен только 1. Значит, нам подходит только число 1121934.

Ответ:

Да, можно

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1692Максимум баллов за задание: 4

Может ли произведение целого числа и суммы его цифр равняться 90309?

Показать ответ и решение

1) Пусть число делится на 3, тогда по признаку делимости сумма его цифр тоже делится на 3, но тогда произведение этого числа и суммы его цифр делится на 9, а число 90309 не делится на 9 (сумма его цифр не делится на 9).

2) Пусть число не делится на 3, тогда сумма его цифр тоже не делится на 3, тогда произведение этого числа и суммы его цифр не делится на 3, но число 90309 делится на 3.

Ни один из рассмотренных случаев невозможен. Так как других случаев не бывает, то такого и быть не может.

Ответ: Нет, не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1869Максимум баллов за задание: 4

Вставьте вместо звёздочек в числе $2∗ 45 ∗6$ цифры так, чтобы полученное число делилось

а) на 12;

б) на 36.

В ответ запишите все полученные числа.

Показать ответ и решение

а) Для того, чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4. По признаку делимости на 4, две последние цифры числа могут быть 16, 36, 56, 76, 96. Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3 (по признаку делимости на 3):

16: 204516, 234516, 264516, 294516

36: 214536, 244536, 274536

56: 224556, 254556, 284556

76: 204576, 234576, 264576, 294576

96: 214596, 244596, 274596

б) Для того, чтобы число делилось на 36, оно должно делиться на 9 и на 4. По признаку делимости на 4, две последние цифры числа могут быть 16, 36, 56, 76, 96. Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 9 (по признаку делимости на 9):

16: 204516, 294516

36: 274536

56: 254556

76: 234576

96: 214596

Ответ:

а) 204516, 234516, 264516, 294516, 214536, 244536, 274536, 224556, 254556, 284556, 204576, 234576, 264576, 294576, 214596, 244596, 274596

б) 204516, 294516, 274536, 254556, 234576, 214596

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#16124Максимум баллов за задание: 4

У некоторого числа зачеркнули последнюю цифру и сложили с исходным числом, получив в сумме 2013. Найдите все такие числа.

Показать ответ и решение

Обозначим само число через $x$ , а последнюю его цифру через $c.$ Тогда число, получаемое из исходного зачеркиванием последней цифры, равно $(x− c)∕10$ , и условие можно переписать как $x+ (x− c)∕10 = 2013.$ Домножим обе части на 10, получим $11x − c = 20130.$ Заметим, что 20130 делится на 11, как и $11x$ . Значит, $c$ делится на 11, но так как $c$ — цифра, то она равна $0.$ Поэтому $11x = 20130$ , откуда $x = 1830$ .

Ответ:

1830

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#17924Максимум баллов за задание: 4

На доске было написано трехзначное натуральное число. После того, как Дин стер цифру сотен этого числа, оно уменьшилось в $6$ раз. Какое трехзначное число могло быть написано на доске?

Показать ответ и решение

Обозначим оставшееся число через $x$ . Тогда исходное число было равно $6x$ . Разница между числами составляет $6x − x = 5x$ . С другой стороны, вычеркивая из трехзначного числа цифру сотен, мы уменьшаем его на несколько сотен. Поэтому разница $5x$ должна делиться на $100$ . Таким образом, $x$ делится на $20$ . При этом число $x < 100$ . Поэтому все возможные варианты для $x$ — это $20$ , $40$ , $60$ , $80$ и $0$ . Для первых четырех значений есть примеры $120$ , $240$ , $360$ и $480$ . Если же $x = 0$ , то исходное число также равно $0$ , то есть не трехзначное. Поэтому подходят $4$ ответа.

Ответ:

$120$ , $240$ , $360$ и $480$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#36488Максимум баллов за задание: 4

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно $23021377− 1.$ Не опечатка ли это? Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само это число.

Показать ответ и решение

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность $23021377− 1$ оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом, так как делится на 10.

Ответ: Опечатка

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#36489Максимум баллов за задание: 4

На вопрос: «В каком году Вы родились?» Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на $5.$ Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?

Показать ответ и решение

Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на 100. Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него 5, мы получим число, оканчивающееся на 95. Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на 95. Это либо 1995, либо 1895, либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только 1995 год.

Ответ: В 1995

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#36492Максимум баллов за задание: 4

Является ли число 123456789012345 квадратом натурального числа?

Показать ответ и решение

Применим признаки делимости на 5 и на 25. С одной стороны, это число оканчивается на цифру 5, то есть делится на 5.

С другой, число дает при делении на 25 такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае число, образованное последними двумя цифрами, — это 45. Оно не делится на 25, значит, и исходное число не делится на 25.

Итак, число делится на 5, но не делится на 25. Отсюда следует, что квадратом оно быть не может.

Ответ:

Нет, не является

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#36493Максимум баллов за задание: 4

Может ли натуральное число, записываемое одними двойками, делиться на натуральное число, записываемое одними четверками?

Показать ответ и решение

По признаку делимости на 4 натуральное число дает при делении на 4 такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. Натуральное число, записываемое одними двойками, кроме числа 2, оканчивается на 22. Это число дает остаток 2 при делении на 4, то есть на 4 не делится. Число 2 также не делится на 4, значит, никакое число, записываемое только двойками, не делится на 4.

Меж тем любое число, записываемое одними четверками, кроме самого числа 4, оканчивается на 44, и по признаку делимости на 4 делится на 4. Само число 4 также, естественно, делится на 4. Итак, любое число, записываемое одними четверками, делится на 4. Но число, не делящееся на 4 (то есть число, записываемое одними двойками), не может делиться на число, которое делится на 4 (то есть число, записываемое одними четверками).

Ответ:

Нет, не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#36494Максимум баллов за задание: 4

Можно ли в числе 123456789 переставить цифры так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр? В ответ запишите «Да» или «Нет».

Показать ответ и решение

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры 2 и 5. Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна делиться на 5, то есть быть равной либо 0, либо 5.

При этом чтобы число делилось также и на 2, последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра 0. Но в данном в условии числе нет цифры 0, поэтому добиться одновременной делимости на 2 и на 5 нельзя. Следовательно, ответ «Нет».

Ответ: Нет