Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.25 Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2738

Известно, что при некоторых действительных m  и n  числа m2 −  n2   и 2mn  – натуральные. Обязательно ли m  и n  целые?

Показать ответ и решение

Обозначим a = 2mn  , b = m2 − n2   , тогда

                    2                                 2
     -a-          a---   2               2 2     2   a--
m  = 2n ,     b = 4n2 − n      ⇒       (n ) +  bn  −  4  = 0.
Решая полученное биквадратное уравнение на n  , находим:
       -------------
    ∘  √ -------
       --a2 +-b2 −-b
n =         2      ,
тогда
      ---------a----------
m  =  √-- ∘ √---2---2----.
       2 ⋅    a  + b  − b

Пусть, например, a = b = 1  , тогда     ∘ --------
       √2-− 1
n =    -------
          2  ,            1
m =  √---∘--√------
       2 ⋅    2 − 1  – не являются целыми числами (например,  2   -1--
n  = √2--− 0,5  – явно не целое).

Ответ: Нет

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!