Уравнения в целых числах —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#735

Решите уравнение $x − y = 1$ в целых числах.

Показать ответ и решение

Выразим $y$ :

y = x − 1.

Таким образом, при любом $x ∈ ℤ$ получим, что $y = x − 1$ – целое число, то есть ответом будет множество всевозможных пар вида $(x;x − 1)$ , где $x ∈ ℤ$ , то есть ${ (x; x − 1)$ | $x ∈ ℤ}$ .

Ответ:

${(x; x − 1)$ | $x ∈ ℤ}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#737

Докажите, что если НОД $(n;m ) > 1$ , где $n,m ∈ ℕ$ , то не существует целых чисел $p$ и $q$ , таких что $pn + qm = 1$ .

Показать ответ и решение

$n$ и $m$ делятся на НОД $(n;m )$ , следовательно, $pn + qm$ делится на НОД $(n;m ) > 1$ , следовательно, $pn + qm$ не может быть равно 1.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#738

Решите уравнение

x2 + 8y = 32

в целых числах.

Показать ответ и решение

Так как в равенстве

x2 + 8y = 32

все слагаемые, кроме первого, делятся на $8$ , то и первое слагаемое должно делиться на $8$ .

Докажем от противного, что если $x2...8$ при целом $x$ , то $x...4$ :
Пусть $x$ не делится на $4$ . Если $x$ не делится на $2$ , то $x2$ не делится на $2$ , что неверно. Если $x$ делится на $2$ , то $x = 2y$ , где $y$ – целое нечётное, тогда $2 2 x = 4y$ , но $2 y$ – нечётное, следовательно, $2 x$ не делится на $8$ – противоречие.

Таким образом, $x$ во всех решениях имеет вид $x = 4k$ , где $k$ – целое. Но все ли $x$ вида $x = 4k$ подходят? Выразим $y$ при условии $x = 4k$ :

16k2 + 8y = 32 ⇔ y = 4 − 2k2

– целое при $k ∈ ℤ$ , следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида $(4k;4 − 2k2 )$ , $k ∈ ℤ$ .

Ответ:

${(4k; 4 − 2k2)$ | $k ∈ ℤ}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#747

Решите уравнение в целых числах

2 2 x = 5+ y

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно

2 2 x − y = 5 ⇔ (x − y)(x + y) = 5

Так как $x$ и $y$ целые, то и $x − y,$ $x+ y$ – целые, тогда возможны следующие случаи:

$pict$

В этих случаях решениями будут соответственно $(3;− 2),$ $(3;2),$ $(− 3;2),$ $(− 3;− 2).$

Таким образом ответ: $(3;− 2),$ $(3;2),$ $(− 3;2),$ $(− 3;− 2).$

Ответ: (3; -2), (3; 2), (-3; 2), (-3; -2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2026

Найдите какие-нибудь $p,q ∈ ℤ$ такие, что НОД $(9;5 ) = 9p + 5q$ .

Показать ответ и решение

НОД $(9;5 ) = 1$ .

НОД $(9;5 ) =$ НОД $(9 − 5 = 4;5 ) =$ НОД $(9 − 5 = 4;5 − (9 − 5) = 1)$ , таким образом, $1 = 5 − (9 − 5) = 2 ⋅ 5 + (− 1) ⋅ 9$ .

Ответ:

$p = − 1$ , $q = 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2027

Докажите, что для любых натуральных чисел $n$ и $m$ существуют целые числа $p$ и $q$ , такие что НОД $(n; m ) = pn + qm$ .

Показать ответ и решение

Убедимся, что любой общий делитель всякой пары натуральных чисел $(n;m )$ является также и общим делителем пары $(m; n − m )$ : если уменьшаемое делится на число $k$ , то оно имеет вид $n = ak$ , если вычитаемое делится на число $k$ , то оно имеет вид $m = bk$ , тогда

n − m = ak − bk = (a − b)k,

то есть их разность также делится на число $k$ .

Аналогично доказывается, что любой общий делитель пары $(m; n − m )$ является общим делителем пары $(n;m )$ , следовательно,

Н О Д(n; m ) = Н О Д(m; n − m ).

Пусть $n > m$ . Можно свести НОД $(n; m )$ к наибольшему общему делителю другой пары чисел, в которой наибольшее из чисел окажется меньше, чем $n$ , а именно: НОД $(n;m ) =$ НОД $(m; n − m )$ .

Таким образом, можно получить последовательность равенств вида $...=$ НОД $(k;0)$ или вида $...=$ НОД $(k; k)$ , но НОД $(k;k) =$ НОД $(k;0)$ .

Такую последовательность действительно можно получить, так как при $n > m$ получается, что $n > m$ и $n > n − m$ , то есть в равенстве НОД $(n;m ) =$ НОД $(m; n − m )$ максимум из чисел под знаком НОД в правой части с каждым таким шагом уменьшается по крайней мере на 1, но числа $n$ и $m$ – конечны, следовательно, через конечное число преобразований можно получить цепочку равенств вида $...=$ НОД $(k; 0)$ .

$∙$ Назовём выражение вида $an + bm$ , где $a,b ∈ ℤ$ линейной комбинацией над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ . Ясно, что сумма линейных комбинаций над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ снова линейная комбинация над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ , разность линейных комбинаций над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ снова линейная комбинация над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ .

Последнее полученное равенство можно продолжить:

...= Н О Д(k; 0) = k.

При этом число $k$ получалось последовательным вычитанием из линейной комбинации над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ линейных комбинаций над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ , то есть $k$ есть линейная комбинация над $ℤ$ чисел $n$ и $m$ , следовательно, существуют целые числа $p$ и $q$ , такие что $k = pn + qm$ .

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2738

Известно, что при некоторых действительных $m$ и $n$ числа $m2 − n2$ и $2mn$ – натуральные. Обязательно ли $m$ и $n$ целые?

Показать ответ и решение

Обозначим $a = 2mn$ , $b = m2 − n2$ , тогда

2 2 -a- a--- 2 2 2 2 a-- m = 2n , b = 4n2 − n ⇒ (n ) + bn − 4 = 0.

Решая полученное биквадратное уравнение на $n$ , находим:

------------- ∘ √ ------- --a2 +-b2 −-b n = 2 ,

тогда

---------a---------- m = √-- ∘ √---2---2----. 2 ⋅ a + b − b

Пусть, например, $a = b = 1$ , тогда $∘ -------- √2-− 1 n = ------- 2$ , $1 m = √---∘--√------ 2 ⋅ 2 − 1$ – не являются целыми числами (например, $2 -1-- n = √2--− 0,5$ – явно не целое).

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#16127

Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины с костями?

Показать ответ и решение

Обозначим через $x$ килограммов массу костей в одном килограмме говядины с костями. Тогда за них должно быть заплачено $x ⋅15$ рублей.

Чистого мяса в килограмме говядины с костями остается $1 − x$ килограммов. Тогда за него платится $90 ⋅(1− x)$ рублей.

Так как по условию суммарная стоимость составляет 78 рублей, то получаем уравнение

15x +90(1− x)= 78 90− 75x= 78 90-− 78 x= 75 x = 0,16

Тогда в килограмме говядины с костями 160 граммов костей.

Ответ: 160

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16128

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. Cколько скамеек при отъезде поезда насчитал третий?

Показать ответ и решение

Пронумеруем математиков, считая с головы поезда. Тогда первый проехал большую часть перрона, чем второй, а второй большую, чем третий. Значит, первый насчитал скамеек не меньше, чем насчитал второй, который, в свою очередь, насчитал не меньше, чем третий. Из этого получаем, что первый насчитал 15, второй — 12, третий — 7. Здесь третий никак не связан с третьим из вопроса задачи, там подразумевается просто «оставшийся».

Обозначим количество оставшихся непосчитанными скамеек $x,$ это те скамейки, до которых не доехал даже первый. Тогда общее число скамеек на перроне $15+ x,$ то есть все скамейки складываются из посчитанных и непосчитанных.

Очевидно, что каждый из математиков суммарно при подъезде и отъезде насчитал общее число скамеек на перроне, то есть $15+ x.$

Значит, при отъезде первый математик насчитал количество скамеек, равное

15 +x − 15 = x

Второй математик насчитал количество скамеек, равное

15+ x− 12= x+ 3

Третий математик насчитал количество скамеек, равное

15 +x − 7 = x+ 8

Возможны три случая с учетом того, что $x$ — целое неотрицательное.

1) При отъезде второй насчитал втрое больше, чем первый:

3x = x+ 3 ⇒ x= 1,5

Такое невозможно.

2) При отъезде третий насчитал втрое больше, чем второй:

3(x+ 3)= x+ 8 ⇒ x = −0,5

Такое невозможно.

3) При отъезде третий насчитал втрое больше, чем первый:

3x =x + 8 ⇒ x= 4

Тогда «оставшийся» второй насчитал $x +3 = 7$ скамеек.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16129

В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?

Показать ответ и решение

Обозначим искомое количество учеников $k,$ их средний возраст $d.$ Тогда возраст учителя равен $T =d +24,$ сумма возрастов учеников $d ⋅k.$ Для среднего возраста всех присутствующих в классе имеем уравнение:

$pict$

Тогда в классе пять учеников.

Ответ:

5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16130

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй — 2, третий — 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

Показать ответ и решение

Обозначим $k$ количество людей за столом. Тогда количество семечек взятых на первом круге равно сумме чисел от 1 до $k$

k (k + 1) 1+ 2+ ...+ k =------- 2

На втором круге количества взятых семечек это числа от $k + 1$ до $2k$ , их количество можно посчитать как сумму чисел от 1 до $2k$ за вычетом суммы чисел от 1 до $k$ , которую мы уже посчитали

(k+ 1)+ (k+ 2)+ ...+ 2k = (1+ 2 +...+ 2k)− (1+ 2+ ...+ k) = 2k-⋅(2k+-1)− k(k-+-1)= k-(3k + 1) 2 2 2

Разница между второй и первой посчитанными величинами равна 100, осталось решить уравнение.

$pict$

Ответ:

10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16131

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Показать ответ и решение

Пусть в одном подъезде $k$ квартир. Тогда $k > 9$ , потому что $105 ≤ 2k$ , т.к. 105я кввартира во втором подъезде, а также очевидно $k < 1000$ . Разберем два случая (везде далее будем считать, что одна цифра номера стоит одну условную единицу):

1.: $k < 100$ , то есть в первом подъезде нет квартир с трехзначными номерами. Тогда в первом подъезде количество цифр в номерах $S1 = 9 + 2⋅(k− 9) = 2k − 9$ (все номера кроме первых 9 — двузначные), а во втором $S2 = 2⋅(99− k)+ 3⋅(2k− 99) = 4k− 99$ (номера с $k+ 1$ по 99 двузначные, остальные — трехзначные). Запишем условие
$pict$
2.: $k ≥ 100$ , то есть в первом подъезде есть хотя бы один трехзначный номер, а втором все трехзначные. Тогда в первом подъезде количество цифр в номерах $S1 = 9+ 2⋅90 + 3⋅(k− 99) = 3k − 108$ , а во втором $S2 = 3k$ . Запишем условие
$pict$

Однако по условию квартира 105 находится во втором подъезде, значит, этот случай не удовлетворяет условию.

Единственный возможный ответ $k = 72$ .

Ответ:

72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#20275

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б — больше 50, но меньше 60.

Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше. Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?

Показать ответ и решение

Пусть автобус модели А вмещает $a$ человек, а автобус модели Б — $b$ человек. Если автобусов модели Б было 4, то автобусов модели А было 5.

Тогда общее число детей можно посчитать двумя способами:

5a =4b

Отсюда следует, что $a$ делится на 4, а $b$ делится на 5. Тогда при $k ∈ℕ$ числа $a$ и $b$ имеют вид

a= 4k, b= 5k

При $k = 11$ имеем $a =44,$ $b = 55,$ а всего детей 220.

Ответ: Да, может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#20290

Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов. На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?

Показать ответ и решение

Пусть Оля ответила правильно на $a$ вопросов, неправильно — на $b$ вопросов, не ответила — на $c$ вопросов, где $a,$ $b$ и $c$ — целые неотрицательные числа.

Поскольку Оля получила в результате 35 баллов, то

8a − 8b− 3c= 35

Поскольку на викторине было 24 вопроса, то

a+ b+ c= 24

Получили систему уравнений, из которой можно исключить переменную $b:$

{ { 8a − 8b − 3c = 35 8a− 8b− 3c = 35 a+ b+ c = 24 ⇔ 8a+ 8b+ 8c = 192 16a +5c =227 ⇔ 16a= 227− 5c

Заметим, что $227− 5c$ имеет остаток 2 при делении на 5, значит, и число $16a$ при делении на 5 должно давать остаток 2. Число 16 имеет остаток 1 при делении на 5. Таким образом, чтобы число $16a$ имело остаток 2 при делении на 5, число $a$ тоже должно иметь остаток 2 при делении на 5. Тогда его можно выразить так:

a =2 +5k

Здесь число $k$ — целое неотрицательное.

Следовательно,

16a= 227− 5c ⇒ 16(2+ 5k)= 227− 5c 5c = 227 − 32 − 80k ⇔ 5c= 195− 80k c =39 − 16k

Поскольку $c≥ 0,$ то имеем:

39− 16k ≥ 0 ⇔ 39≥ 16k 39 16 ≥ k ⇒ 2≥ k

Тогда $k$ может быть равно 0, 1 или 2.

Если $k = 0,$ то $c =39 − 16 ⋅0 = 39.$ Такое невозможно, так как $c≤ 24.$
Если $k = 1,$ то $c = 39 − 16 ⋅1 = 39− 16= 23,$ а $a= 2+ 5⋅1 = 7.$ Такое невозможно, так как $a+ c≤ 24.$
Значит, $k = 2.$ Тогда имеем:
$a= 12, c= 7, b= 24− 12− 7= 5$

Проверим полученные значения, подставив их в уравнение общего числа очков:

8⋅12− 8⋅5− 3⋅7 = 35

Результат сходится с условием, значит, Оля верно ответила на $a= 12$ вопросов.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20294

Сторона квадрата на 2 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — натуральные числа.

а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 6?

б) Может ли длина прямоугольника быть равной 9?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ см — ширина прямоугольника, $y$ см — длина прямоугольника, $(x + 2)$ см — сторона квадрата. Тогда площадь прямоугольника равна $xy см2,$ площадь квадрата равна $(x+ 2)2$ см $2.$ Поскольку площади фигур равны, то имеем равенство

(x+ 2)2 =xy

а) По условию дано, что $x = 6,$ тогда получим уравнение

2 64 8 = 6y ⇔ y =-6

Получившееся $y$ не является целым числом. Следовательно, ширина прямоугольника не может быть равной 6.

б) По условию дано, что $y = 9,$ тогда получим уравнение

$pict$

Оба корня целые, значит, оба подходят по условию. Следовательно, длина прямоугольника может быть равной 9.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Да, может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1338

Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ , удовлетворяющие равенству

--- ab = ab + 23

В левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа $a$ перед десятичной записью числа $b$ .

Показать ответ и решение

Пусть $k$ – количество знаков числа $b$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

a ⋅ 10k + b = ab + 23

Рассмотрим случаи:

1) Пусть $a = 1$ . Тогда уравнение примет вид:

10k + b = 1 + 23 ⇔ 10k = 24 − b

Так как $b$ – натуральное число, то $24 − b ≤ 23$ . Так как $k$ – натуральное число, то $k 10 ≥ 10$ . Следовательно, полученное уравнение может иметь решения, если обе части равны $10$ . Тогда $k = 1$ , а $b = 14$ . Получили противоречие (в числе $14$ два знака).

2) Пусть $b = 1$ . Тогда $k = 1$ . Тогда уравнение примет вид:

10a + 1 = a + 23 ⇔ 9a = 22

Данное уравнение не имеет целого решения.

3) Пусть $a ≥ 2$ и $9 ≥ b ≥ 2$ , то есть $k = 1$ . Тогда:

10a + b = ab + 23 ⇔ a(10 − ab−1) = 23 − b

Если $b = 2$ , то уравнение примет вид

2 a − 10a + 21 = 0

Откуда получаем $a = 3$ и $a = 7$ . Следовательно, пары решений: $a = 3,b = 2$ и $a = 7,b = 2$ .
Если $b = 3$ , то уравнение примет вид

2 a(10 − a ) = 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 1

Данное уравнение нужно решить в натуральных числах. Число $a$ может быть равно лишь $2$ (иначе выражение в скобках будет отрицательным), но $a = 2$ не подходит.
Если $b = 4$ , то уравнение примет вид

3 a (10 − a ) = 19

Очевидно, оно также не имеет решения в натуральных числах.
Рассмотрим уравнение при $5 ≤ b ≤ 9$ :

a(10 − ab− 1) = 23 − b

Тогда $14 ≤ 23 − b ≤ 18$ , а $b−1 5− 1 10 − a < 10 − 2 = − 6$ , то есть левая часть отрицательна, а правая – положительна. Следовательно, решений нет.

4) Докажем, что уравнение не имеет решений ни при каких $a$ и $b$ так, что $a ≥ 2$ , $b ≥ 10$ , $k ≥ 2$ .
Заметим, что для произвольного $k$ можно сказать, что $k− 1 k 10 ≤ b < 10$ .

ab + 23 = 10ka + b

Предположим, что уравнение имеет решения.

$b b b−1 b−1 a + 23 > a = a ⋅ a ≥ 2 ⋅ a$

$10ka + b < 10ka + 10ka = 2a ⋅ 10k$

Следовательно, должно быть выполнено: