19.25 Уравнения в целых числах

Так как в равенстве

все слагаемые, кроме первого, делятся на , то и первое слагаемое должно делиться на .

Докажем от противного, что если при целом , то :
Пусть не делится на . Если не делится на , то не делится на , что неверно. Если делится на , то , где – целое нечётное, тогда , но – нечётное, следовательно, не делится на – противоречие.

Таким образом, во всех решениях имеет вид , где – целое. Но все ли вида подходят? Выразим при условии :

– целое при , следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида , .