.00 №19 из ЕГЭ 2025

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа и дают разные остатки при делении на 4. То есть разность не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.

а) Заметим, что числа 312 и 30032 дают разные остатки при делении на 3. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 2. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 30032, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3. Тогда пусть на доске написаны числа и Число дает остаток 2 при делении на 3, а число дает остаток 0 при делении на 3. Противоречие.

в) Число 30032 дает остаток 2 при делении на 3, остаток 0 при делении на 4, остаток 2 при делении на 5, остаток 2 при делении на 6.

Поймем, что так как все числа различные. Выполним перебор по

так как если число дает остаток 2 при делении на 6, то число даст остаток 4 при делении на 6;

так как число вида будет кратно 3, 5 или же 6, что противоречит описанному выше;

так как если число дает остаток 2 при делении на 5, то число дает остаток 3 при делении на 5;

так как если число дает остаток 2 при делении на 5, то число дает остаток 4 при делении на 5;

так как эти числа кратны 3 и 5 соответственно (они не подойдут по тем же причинам, по которым не подходят числа 3, 5, 6);

так как если число дает остаток 2 при делении на 5, то число дает остаток 1 при делении на 5;

так как если число дает остаток 2 при делении на 3, то число даст остаток 1 при делении на 3;

так как 12 кратно 3.

так как если число дает остаток 2 при делении на 5, то число даст остаток 1 при делении на 5;

так как если число дает остаток 2 при делении на 3, то число даст остаток 1 при делении на 3;

так как 15 кратно 3.

На есть пример:

Здесь Все числа имеют вид То есть дают остаток 2 при делении на 3, остаток 0 при делении на 4, остаток 2 при делении на 5, остаток 2 при делении на 6.

Если сложить чисел с одинаковыми остатками при делении на то получится число, кратное Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.