№19 из ЕГЭ 2025

Пусть изначально было юношей и девушек. Пусть парней из послали по 21 письму девушкам.

а) Если юношей отправили по 21 письму, то юношей отправили по 4 письма. Всего было отправлено писем. Если каждая девушка получила по 7 писем, то всего писем было получено Значит,

При равенство выполняется. Значит, если девушек и юношей было по 17 и 3 юноши отправили по 21 письму, а 14 — по 4, то каждая девушка получила по 7 писем. Действительно,

б) Пусть каждая девушка получила по писем. В предыдущем пункте мы получили, что всего писем было отправлено тогда выполняется равенство:

Докажем, что не может быть меньше 17. Пусть это не так.

По условию юношей, отправивших по 4 письма, хотя бы 2, то есть юношей, отправивших по 21 письму, хотя бы 2, то есть поэтому Из предположения поэтому получаем:

Число — натуральное, поэтому делит

Так как 17 — простое число и то должно делиться на но Противоречие. Значит,

Пример на 17 девушек был приведен в пункте а).

в) Если девушки получили разное количество писем, то полученное количество писем больше или равно суммарному количеству писем от 0 до Девушка с наименьшим количеством писем получила хотя бы 0 писем, следующая по количеству писем получила хотя бы 1, …, девушка с наибольшим количеством писем получила хотя бы письмо. Тогда можем записать неравенство:

Заметим, что поэтому:

Найдем решения этого неравенства:

Значит,

Значит, может быть не более 41. Пример для

Суммарно 41 девушка получила 827 писем: первые 40 девушек получили разное количество писем от 0 до 39, последняя получила 47 писем. При этом 39 юношей отправили по 21 письму, 2 юноши отправили по 4 письма.

а) Пусть изначально было несколько классов. Рассмотрим класс под номером Есть два варианта. Если в этом классе мальчиков и девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно то общее количество одиннадцатиклассников равно Тогда количество одиннадцатиклассников в таком классе кратно 9.

Если в этом классе мальчиков и девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно то общее количество одиннадцатиклассников равно Тогда количество одиннадцатиклассников и в таком классе кратно 9.

Можем сделать вывод, что в любом классе школы количество одиннадцатиклассников кратно 9, а значит, и общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Аналогично можно доказать, что если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек равно или то общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Но если изначально количество одиннадцатиклассников было кратно 9, то после принятия в школу 7 новых одиннадцатиклассников оно не будет делиться на 9. Получается, что после перевода ещё четырёх мальчиков и трёх девочек разбить классы нужным образом не удастся.

б) Пусть в параллели 11 классов было 7 классов: 4 класса, в которых было 2 мальчика и 7 девочек, и 3 класса, в которых было 7 мальчиков и 2 девочки.

Тогда пусть в классы первого вида зачислили по одному мальчику. Теперь в них стало по 3 мальчика и по 7 девочек, то есть отношение стало равно

Также пусть в классы второго вида зачислили по одной девочке. Тогда в них стало по 7 мальчиков и по 3 девочки, то есть отношение стало равно

в) Рассмотрим класс, в котором отношение количества мальчиков к количеству девочек было равно Тогда в нем мальчиков хотя бы на 5 больше, чем девочек, значит, после принятия в параллель одиннадцатых классов еще 4 мальчиков в этом классе все равно мальчиков было больше. Таким образом, отношение могло измениться только на отношение

Аналогично, так как всего в параллель одиннадцатых классов приняли 3 девочки, то отношение могло измениться только на отношение

Пусть изначально было одиннадцатиклассников. В школу приняли 7 одиннадцатиклассников, значит, их стало

С другой стороны, если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек стало равно или то общее количество одиннадцатиклассников кратно 10, то есть равно

Значит, Таким образом, число оканчивается на 3, следовательно, число оканчивается на 7.

Пусть Тогда всего одиннадцатиклассников ровно

Таким образом, в неполной группе будет 70 одиннадцатиклассников.

Такое действительно могло быть, если взять пример из пункта б). В нем в школе в итоге всего 70 одиннадцатиклассников, которых отправили на экскурсию в неполной группе.