№19 из ЕГЭ 2025 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125976

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 23 до 92 включительно. Среди них 4 числа, кратных 23: это 23, 46, 69, 92. При этом кратных 20 чисел ровно 3: 40, 60, 80. Данный набор соответствует условию.

б) Предположим, что среди чисел действительно нашлось 10, кратных 20. Тогда кратных 23 чисел среди них не менее 11. Тогда всего чисел не менее чем $23⋅10+ 1 =231,$ поскольку среди 23 подряд идущих чисел ровно одно число может быть кратно 23.

Тогда наименьшее значение $k,$ при котором возможно наличие 11 чисел, кратных 23, достижимо, только если имеется 10 полных отрезков по 23 числа и одно число, кратное 23.

Но среди 231 подряд идущих чисел не менее $231−-19= 10,6 > 10 20$ чисел, кратных 20. Разберемся, откуда взялась оценка на $231−-19. 20$ Разобьем числа, начиная с самого первого, на блоки по 20 чисел. В каждом таком блоке ровно одно число, кратное 20. Тогда таких полных блоков не менее 11 и вне блоков может остаться не более 19 чисел.

Примечание для лучшего понимания оценки.

Пронумеруем числа $a1$ , $a2$ , $a3.$ .., $ak.$ Выделим блоки $a1− a20$ , $a21− a40$ и так далее. Поймем, что в каждом таком блоке ровно одно число, кратное 20, так как среди подряд идущих 20 чисел однозначно встречается ровно 1 число, кратное 20. Тогда попробуем понять, сколько чисел останется в конце, когда мы поделим все на блоки.

На самом деле, в конце не может остаться более 19 чисел, так как иначе мы сможем добавить еще один блок размера 20. Тогда получается, что блоков будет $k-−-a 20$ , где $a ≤19.$ Тогда чисел, кратных 20, будет не менее чем $k−-19 20 .$ Здесь мы подставили нашу оценку на 231 число вместо $k$ и получили $231 − 19 ---20--.$

в) Пусть чисел, кратных 20, $a$ штук. Тогда аналогично предыдущему пункту чисел, кратных 23, не менее чем $a+ 1,$ а $k ≥ 23⋅a+ 1.$ Причем чисел, кратных 20, не менее

23⋅a+-1-− 19 = 23⋅a−-18. 20 20

Тогда имеем неравенство

a ≥ 23a−-18 20 20a ≥23a− 18 18 ≥3a a ≤ 6.

Тогда чисел, кратных 20, не более 6 штук. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям пункта б), получаем, что

k ≤ 20⋅a+ 19≤ 20⋅6 +19 =139.

Приведем пример. Пусть последовательность начинается с числа 161 и заканчивается числом 299. Чисел в последовательности ровно

299− 161+ 1= 139.

Числа, кратные 23 — это числа вида $23⋅n,$ где $n$ лежит в промежутке от 7 до 13 (числам 7 и 13 соответствуют «граничные» числа 161 и 299). Этих чисел ровно

13 − 7 +1 = 7.

При этом числа, кратные 20, — это числа 180, 200, $...$ , 280. Они имеют вид $20⋅m,$ где $m$ лежит в промежутке от 9 то 14. Этих чисел ровно

14 − 9 +1 = 6.

Условие выполняется. Тогда максимально возможное значение $k$ равняется 139.

Ответ:

а) Да, могло

б) Нет, не могло

в) 139

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125977

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.

a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 29 до 116 включительно. Среди них 4 числа, кратных 29: это 29, 58, 87, 116. При этом кратных 25 чисел ровно 3: 50, 75, 100. Данный набор соответствует условию.

б) Предположим, что среди чисел действительно нашлось 10, кратных 25. Тогда кратных 29 чисел среди них не менее 11. Тогда всего чисел не менее чем $29⋅10+ 1 =291,$ поскольку среди 29 подряд идущих чисел ровно одно число может быть кратно 29.

Тогда наименьшее значение $k,$ при котором возможно наличие 11 чисел, кратных 29, достижимо, только если имеется 10 полных отрезков по 29 чисел и одно число, кратное 29.

Но среди 291 подряд идущих чисел не менее $291−-24= 10,68 >10 25$ чисел, кратных 25. Разберемся, откуда взялась оценка на $291−-24. 25$ Разобьем числа, начиная с самого первого, на блоки по 25 чисел. В каждом таком блоке ровно одно число, кратное 25. Тогда таких полных блоков не менее 11 и вне блоков может остаться не более 24 чисел.

Примечание для лучшего понимания оценки.

Пронумеруем числа $a1$ , $a2$ , $a3.$ .., $ak.$ Выделим блоки $a1− a25$ , $a26− a50$ и так далее. Поймем, что в каждом таком блоке ровно одно число, кратное 25, так как среди подряд идущих 25 чисел однозначно встречается ровно 1 число, кратное 25. Тогда попробуем понять, сколько чисел останется в конце, когда мы поделим все на блоки.

На самом деле, в конце не может остаться более 24 чисел, так как иначе мы сможем добавить еще один блок размера 25. Тогда получается, что блоков будет $k-−-a 25$ , где $a ≤24.$ Тогда чисел, кратных 25, будет не менее чем $k−-24 25 .$ Здесь мы подставили нашу оценку на 291 число вместо $k$ и получили $291 − 24 ---25--.$

в) Пусть чисел, кратных 25, $a$ штук. Тогда аналогично предыдущему пункту чисел, кратных 29, не менее чем $a+ 1,$ а $k ≥ 29⋅a+ 1.$ Причем чисел, кратных 25, не менее

29⋅a+-1-− 24 = 29⋅a−-23. 25 25

Тогда имеем неравенство

a ≥ 29a−-23 25 25a ≥29a− 23 23 ≥4a a ≤ 5.

Тогда чисел, кратных 25, не более 5 штук. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям пункта б), получаем, что

k ≤ 25⋅a+ 24≤ 25⋅5 +24 =149.

Приведем пример. Пусть последовательность начинается с числа 551 и заканчивается числом 699. Чисел в последовательности ровно

699− 551+ 1= 149.

Числа, кратные 29 — это числа вида $29⋅n,$ где $n$ лежит в промежутке от 19 до 24 (числам 19 и 24 соответствуют числа 551 и 696). Этих чисел ровно

24− 19+ 1= 6.

При этом числа, кратные 25, — это числа 575, 600, $...$ , 675. Они имеют вид $25⋅m,$ где $m$ лежит в промежутке от 23 то 27. Этих чисел ровно

27− 23+ 1= 5.

Условие выполняется. Тогда максимально возможное значение $k$ равняется 149.

Ответ:

а) Да, могло

б) Нет, не могло

в) 149

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125979

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 7.

а) Заметим, что числа 563 и 1417 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 563, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $12 = 1$ при делении на 4.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4≡ 0$ при делении на 4.
4.: Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $32 = 9≡ 1$ при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n ,$ то $2 n$ дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем $2 n ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел не дают остаток 1 при делении на 4. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 7.

| 3 |2 5 |4 7 |0 9 |4 1113 |21

Число 13 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 29, 57, 85, 113, 141, 169, 197, 225, 253.

Все эти числа имеют вид $28⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 7 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Нет, не могут

б) Нет, не может

в) 13

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125980

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 602 и 1512?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 602?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 5. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 5. Тогда рассмотрим 5 чисел $a, c, d, e, f.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 5.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e, f.$ Их сумма также должна быть кратна 5. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 5. То есть разность $(a+ c+ d+ e+ f)− (b +c+ d +e+ f)= a − b$ не делится на 5. Но разность двух чисел, кратных пяти, должна делиться на 5. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 6.

а) Заметим, что числа 602 и 1512 дают разные остатки при делении на 6. Первое число дает остаток 2, второе — остаток 0. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 602, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 5. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 5.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 5, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 5.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 5, возвести в квадрат, то получится число с остатком $12 = 1$ при делении на 5.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 5, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4$ при делении на 5.
4.: Если число, дающее остаток 3 при делении на 5, возвести в квадрат, то получится число с остатком $32 = 9≡ 4$ при делении на 5.
5.: Если число, дающее остаток 4 при делении на 5, возвести в квадрат, то получится число с остатком $2 4 = 16≡ 1$ при делении на 5.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 2 при делении на 5. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $n2,$ то $n2$ дает остаток 1 при делении на 5 и остаток 1 при делении на 6. Причем $n2 ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел не дают остаток 1 при делении на 6. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остатки его квадратов при делении на 5 и на 6.

| | 3 |4 |3 5 |0 |1 79 |41 |13 11 |1 |1

Число 11 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, 211, 241, 271.

Все эти числа имеют вид $30⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 5 и остаток 1 при делении на 6. Причем сумма любых 5 чисел даст остаток 0 при делении на 5 как сумма 5 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 6 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Нет, не могут

б) Нет, не может

в) 11

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125982

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30035.

а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 325?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 7?

в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом $n.$ Найдите наименьшее возможное значение $n.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.

а) Заметим, что числа 325 и 30035 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 1, второе — остаток 3. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 30035, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Тогда пусть на доске написаны числа $a$ и $7a.$ Число $a$ дает остаток 3 при делении на 4, а число $7a$ дает остаток $7 ⋅3 = 21,$ то есть остаток 1 при делении на 4. Противоречие.

в) Число 30035 дает остаток 2 при делении на 3, остаток 3 при делении на 4, остаток 0 при делении на 5, остаток 5 при делении на 6.

Поймем, что $n> 1,$ так как все числа различные. Выполним перебор по $n :$

$n⁄= 2,$ так как если число $a$ дает остаток 5 при делении на 6, то число $2a$ даст остаток 4 при делении на 6;

$n⁄= 3, 4, 6,$ так как число вида $na$ будет кратно 3, 4 или же 6, что противоречит описанному выше;

$n⁄= 5,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $5a$ дает остаток 1 при делении на 3;

$n⁄= 7,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 4, то число $7a$ дает остаток 1 при делении на 4;

$n⁄= 8, 9,$ так как эти числа кратны 4 и 3 соответственно (они не подойдут по тем же причинам, по которым не подходят числа 3, 4, 6);

$n⁄= 10,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 4, то число $10a$ дает остаток 2 при делении на 4;

$n⁄= 11,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $11a$ даст остаток 1 при делении на 3;

$n⁄= 12,$ так как 12 кратно 4.

На $n= 13$ есть пример:

155, 2015, 30035, 515, 875, 1235, 1595, 1955, 2315, 2675.

Здесь $2015= 155⋅13.$ Все числа имеют вид $155+ 60⋅k.$ То есть дают остаток 2 при делении на 3, остаток 3 при делении на 4, остаток 0 при делении на 5, остаток 5 при делении на 6.

Если сложить $n$ чисел с одинаковыми остатками при делении на $n,$ то получится число, кратное $n.$ Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 13

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125985

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30032.

а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 6?

в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом $n.$ Найдите наименьшее возможное значение $n.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.

а) Заметим, что числа 312 и 30032 дают разные остатки при делении на 3. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 2. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 30032, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3. Тогда пусть на доске написаны числа $a$ и $6a.$ Число $a$ дает остаток 2 при делении на 3, а число $6a$ дает остаток 0 при делении на 3. Противоречие.

в) Число 30032 дает остаток 2 при делении на 3, остаток 0 при делении на 4, остаток 2 при делении на 5, остаток 2 при делении на 6.

Поймем, что $n> 1,$ так как все числа различные. Выполним перебор по $n :$

$n⁄= 2,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 6, то число $2a$ даст остаток 4 при делении на 6;

$n⁄= 3, 5, 6,$ так как число вида $na$ будет кратно 3, 5 или же 6, что противоречит описанному выше;

$n⁄= 4,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 5, то число $4a$ дает остаток 3 при делении на 5;

$n⁄= 7,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 5, то число $7a$ дает остаток 4 при делении на 5;

$n⁄= 9, 10,$ так как эти числа кратны 3 и 5 соответственно (они не подойдут по тем же причинам, по которым не подходят числа 3, 5, 6);

$n⁄= 8,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 5, то число $8a$ дает остаток 1 при делении на 5;

$n⁄= 11,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $11a$ даст остаток 1 при делении на 3;

$n⁄= 12,$ так как 12 кратно 3.

$n⁄= 13,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 5, то число $13a$ даст остаток 1 при делении на 5;

$n⁄= 14,$ так как если число $a$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $14a$ даст остаток 1 при делении на 3;

$n⁄= 15,$ так как 15 кратно 3.

На $n= 16$ есть пример:

152, 2432, 30032, 272, 392, 512, 632, 752, 872, 992.

Здесь $2432= 152⋅16.$ Все числа имеют вид $152 +120⋅k.$ То есть дают остаток 2 при делении на 3, остаток 0 при делении на 4, остаток 2 при делении на 5, остаток 2 при делении на 6.

Если сложить $n$ чисел с одинаковыми остатками при делении на $n,$ то получится число, кратное $n.$ Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125987

а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 206, 835, 930.

б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 247, 345, 586, 812?

в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50, вычеркивая цифры.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим число 2893506. Если вычеркнуть цифры 8, 9, 3, 5, получится число 206. Если вычеркнуть цифры 2, 9, 0, 6, получится число 835. Если вычеркнуть цифры 2, 8, 5, 6, получится число 930.

б) Заметим, что среди представленных чисел, используются 8 цифр от 1 до 8. Тогда каждая цифра используется по 1 разу. Заметим, что 2 должна стоять раньше 4, так как иначе число 247 не получить, 4 должна стоять раньше 5, так как иначе число 345 не получить, 5 должна стоять раньше 8, так как иначе число 586 не получить, 8 должна стоять раньше 2, так как иначе число 812 не получить. Но получается, что 2 стоит раньше 4, раньше 5, раньше 8, раньше 2. То есть 2 стоит раньше 2. Противоречие.

в) Поймем, каждая из цифр 1, 2, 3, 4 встречается не менее двух раз, так как каждое число вида $aa < 50$ , если $a< 5.$ Цифр от 5 до 9, а еще ноль, должно быть минимум по одной. Таким образом, итоговое число должно содержать не менее 14 цифр. Давайте предоставим пример на 14 цифр: 12341234506789.

Докажем, что это в целом наименьшее число. Поймем, что цифра 0 точно стоит где-то после цифры 1, 2, 3, 4, 5 так как иначе числа 10, 20, 30, 40, 50 не получить. Также повторяющиеся цифры должны быть разнесены с разных сторон от 4, так как иначе нельзя будет получить оба числа вида $-- -- 4a,a4.$ Далее расставим цифры по возрастанию. Получим 12341234506789.

Видим, что каждая цифра встречается в числе, то есть числа 1-9 получить можно. После каждой цифры от 1 до 4 стоит каждая цифра от 1 до 9, то есть числа вида $ab,a <5,b⁄= 0$ можно получить. Также 0 стоит после цифр 1, 2, 3, 4, 5, то есть числа 10, 20, 30, 40, 50 можно получить.

Ответ:

а) 2893506

б) Нет, не существует

в) 12341234506789

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125163

В парке $n$ аттракционов. С 11 до 12 часов дня парк посетило только $n$ детей. Стоимость посещения каждого аттракциона составляет 10 рублей. Каждый ребёнок потратил или 30, или 140 рублей, причём не все дети потратили поровну денег. Один аттракцион можно посетить много раз.

а) Может ли выручка каждого аттракциона составить ровно 80 рублей?

б) Какое наименьшее количество детей могло быть, если известно, что все аттракционы получили одинаковую выручку?

в) Любые два аттракциона имеют разную выручку (возможно, нулевую). Каково наибольшее возможное количество посетивших парк детей?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна, 26.05

Показать ответ и решение

а) Общая выручка парка равна $80n.$ Пусть $a$ детей потратили 30 рублей, $b$ детей — 140 рублей. При этом $a+ b= n.$ Тогда

80n = 30a +140b 8n= 3(a + b)+ 11b 8n= 3n+ 11b 5n= 11b

Тогда $n = 11,$ $a= 6,$ $b= 5$ — решение.

Таким образом, построили пример: 11 аттракционов, 6 детей потратили по 30 рублей, 5 детей потратили по 140 рублей. Тогда в общем они потратили $6 ⋅30 +5 ⋅140 =880$ рублей.

А так как стоимость посещения любого аттракциона 10 рублей, то эту сумму действительно можно распределить поровну между всеми 11 аттракционами, и каждый аттракцион заработает по 80 рублей.

б) Пусть каждый аттракцион посетили $x$ раз, то есть выручка каждого аттракциона равна $10x$ рублей. Тогда общая выручка парка равна $10xn$ рублей. Отсюда получаем:

10xn= 30a+ 140b xn= 3a+ 14b xn= 3(a+ b)+ 11b xn= 3n+ 11b

Заметим, что $xn ...n$ и $3n...n,$ следовательно, $11b...n.$ Так как по условию $0 <b < n,$ то $b$ не делится на $n$ . Тогда 11 и $n$ имеют общий множитель. Отсюда $. n ..11.$ То есть наименьшее возможное $n= 11.$ Пример на $n = 11$ приведен в пункте а).

в) Найдем минимальную сумму выручки. Она будет тогда, когда каждый аттракцион заработает как можно меньше, то есть когда полученные суммы в рублях образуют арифметическую прогрессию, начиная с 0:

0, 10, 20, ..., 10(n − 1)

Таким образом, выручка в рублях не может быть меньше чем

0+-10(n-− 1) 2 ⋅n= 5(n − 1)n.

Найдем теперь максимальную сумму выручки. Она будет тогда, когда только один ребенок потратит 30 рублей, а остальные по 140 рублей.

То есть выручка в рублях не может быть больше чем

140⋅(n − 1) +30⋅1 = 140n − 110.

Отсюда получаем неравенство:

5(n− 1)n ≤ 140n − 110 5n2− 145n + 110 ≤ 0 n2− 29n+ 22≤ 0 √--- 29±--753- n1,2 = 2 (29− √753-29 +√753-) n ∈ ----2---;----2---- √--- n ≤ 29+--753< 29-+28-= 28 1 2 2 2 n≤ 28

Построим пример на $n = 28$ . Из рассуждений понятно, что должно быть 27 детей, которые потратили по 140 рублей и 1 ребенок, который потратил 30 рублей. Тогда всего потрачено $27⋅140+ 30= 3810$ рублей.

Если аттракционы выручили соответственно $0, 10,..., 260, 270$ рублей, то общая прибыль парка в рублях составит:

0+-270-⋅28= 3780. 2

Тогда чтобы значения прибыли совпали, достаточно, чтобы последний аттракцион заработал не 270, а 300 рублей:

0-+260 2 ⋅27 +300= 3810.

Ответ:

а) Да, может

б) 11

в) 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#39640

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Показать ответ и решение

Пусть изначально было $x$ юношей и $x$ девушек. Пусть $a$ парней из $x$ послали по 21 письму девушкам.

а) Если $a$ юношей отправили по 21 письму, то $x− a$ юношей отправили по 4 письма. Всего было отправлено $21 ⋅a + 4⋅(x − a) = 17a +4x$ писем. Если каждая девушка получила по 7 писем, то всего писем было получено $7x.$ Значит,

17a+ 4x= 7x ⇔ 17a =3x

При $a= 3, x =17$ равенство выполняется. Значит, если девушек и юношей было по 17 и 3 юноши отправили по 21 письму, а 14 — по 4, то каждая девушка получила по 7 писем. Действительно, $3⋅21 +14⋅4 = 17 ⋅7= 119.$

б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. В предыдущем пункте мы получили, что всего писем было отправлено $17a + 4x,$ тогда выполняется равенство:

17a xn= 17a+ 4x ⇔ x(n− 4)= 17a ⇔ n− 4 = x--

Докажем, что $x$ не может быть меньше 17. Пусть это не так.

По условию юношей, отправивших по 4 письма, хотя бы 2, то есть $x − a≥ 2;$ юношей, отправивших по 21 письму, хотя бы 2, то есть $a ≥ 2,$ поэтому $x≥ 4.$ Из предположения $x < 17,$ поэтому получаем: $a< x, 3< x <17.$

Число $n − 4= 17a x$ — натуральное, поэтому $x$ делит $17a.$

Так как 17 — простое число и $x > 1, x< 17,$ то $a$ должно делиться на $x,$ но $a < x.$ Противоречие. Значит, $x≥ 17.$

Пример на 17 девушек был приведен в пункте а).

в) Если девушки получили разное количество писем, то полученное количество писем больше или равно суммарному количеству писем от 0 до $x− 1.$ Девушка с наименьшим количеством писем получила хотя бы 0 писем, следующая по количеству писем получила хотя бы 1, …, девушка с наибольшим количеством писем получила хотя бы $x − 1$ письмо. Тогда можем записать неравенство:

17a+ 4x≥ x(x−-1) ⇒ 34a+ 8x≥ x2− x 2

Заметим, что $a ≤ x− 2,$ поэтому:

2 2 x − x≤ 34a+ 8x≤ 34(x− 2)+8x = 42x − 68 ⇒ x − 43x + 68 ≤ 0

Найдем решения этого неравенства:

[ √ ---- √----] D =432− 4⋅68 =1577 ⇒ x ∈ 43-−--1577; 43+-1577 2 2

Значит,

√ ---- √---- x≤ 43-+--1577 < 43+--1600 = 43+-40= 41,5 2 2 2

Значит, $x$ может быть не более 41. Пример для $x =41 :$

39⋅40+ 47= 21⋅39+ 4⋅2 2

Суммарно 41 девушка получила 827 писем: первые 40 девушек получили разное количество писем от 0 до 39, последняя получила 47 писем. При этом 39 юношей отправили по 21 письму, 2 юноши отправили по 4 письма.

Ответ:

а) Да, могло

б) 17

в) 41

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#127722

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A,$ среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B.$ При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A+ B --2--.$

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $A-+-B. 2$

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $A+ B --2--.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Среднее арифметическое всех чисел равно

5⋅10+-4⋅10+-3⋅10- 30 = 4

Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «4» и «3». Тогда имеем:

A= 5-⋅10 = 5 10 B = 4⋅10+-3⋅10= 3,5 20 A-+-B = 5+-3,5-= 4,25 >4 2 2

Таким образом, получили подходящий пример.

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой: сумма чисел в первой группе равна $S1,$ а во второй группе — $S2.$ Тогда имеем:

A = S1 15 B = S2 15 S1 S2 A+-B-= -15-+-15 = S1+-S2 2 2 30

Получившееся выражение как раз и есть среднее арифметическое всех 30 чисел.

в) Оценим выражение $A+-B-. 2$

Рассмотрим случай, когда в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5». Пусть в первой группе количество «3» равно количеству «5» и равно $x,$ а количество «4» равно $y.$ Тогда

3x+ 4y+ 5x 8x + 4y A = --2x-+y---= 2x+-y-= 4.

Аналогично получаем, что $B = 4.$

Тогда имеем:

A= B = 4 ⇒ A-+-B = 4 2

Пусть теперь в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это первая группа. Заметим, что в ней не более 29 чисел, значит, знаменатель числа $A$ не более 29.

Среди дробей, меньших 4 и знаменатель которых не превосходит 29, наибольшая дробь — это $328, 29$ то есть $A$ не превосходит $328. 29$ При этом $B$ не может быть больше 5, поскольку все числа во второй группе не превышают 5. Тогда имеем оценку

328 +5 A+-B-≤ -29----= 414 2 2 29

Приведем пример. Если в одной группе одно число «5», а в другой — все остальные числа, то

5⋅9+-4⋅10+-3⋅10- 28- A = 29 =3 29 B = 5 328 +5 A+-B-= -29----= 414 2 2 29

Ответ:

в) $4 14- 29$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127782

Для любых трёх натуральных чисел $a, b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d = a2 +b2+ c2− ab− bc − ac.$

а) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 19?

б) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 58?

в) Какое наибольшее значение может принимать $d,$ если $a, b$ и $c$ — двузначные числа и $d$ делится на 4?

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

а) Приведем пример. Пусть $a = 6, b= 3, c= 1,$ тогда

d= 36+ 9+ 1− 18− 3− 6= 19

б) Заметим, что выражение для $d$ можно переписать в следующем виде:

d = a2+b2+ c2− ab− bc− ac = = 1(a2− 2ab +b2+ b2− 2bc +c2+ a2− 2ac+ c2)= 2 = 1((a− b)2+ (b− c)2+ (a− c)2) 2

Сделаем замену $x = a− b, y = b− c.$ Тогда $x +y = a− c$ и формула примет вид

1 ( 2 2 2) 2 2 d= 2 x +y +(x+ y) = x + xy+ y

Тогда сводим первоначальную задачу к новой, а именно, нас интересует, можно ли найти такие $x, y,$ чтобы было выполнено равенство:

x2+ xy +y2 = 58

Так как квадраты натуральных чисел дают остатки 0 или 1 при делении на 4, то рассмотрим данное равенство по модулю 4. Заметим, что 58 имеет остаток 2 при делении на 4. Возникают следующие случаи.

$x, y$ — четные. Тогда $x2+ xy+ y2 ≡4 0.$
$x, y$ — нечетные. Тогда $x2+ xy+ y2 ≡4 1+ 1+ 1= 3.$
$x, y$ — разной четности. В данной ситуации возможны два подслучая: $xy ≡4 0$ или $xy ≡4 2.$ В каждом из них получаем, что данное выражение сравнимо либо с 1, либо с 3 по модулю 4:
$x2+ xy+ y2 ≡4 0+ 0+ 1 или x2 +xy +y2 ≡4 0 +2 +1$

Таким образом, получаем, что не существует таких чисел $x, y,$ а следовательно, и $a, b, c.$

в) Будем считать, что $a ≤ b≤ c.$ При этом если $a$ и $c$ — фиксированные, то рассмотрим следующую функцию:

2 2 2 f(b)= (a− b) + (b− c) + (a− c) f(b) = 2b2+ b(−2a− 2c)+ ... остал◟ь◝ны◜е◞члены

Заметим, что это парабола с ветвями вверх. Тогда данная функция на отрезке $[a;c]$ будет достигать наибольшего значения в левой или правой граничной точках. Более того, это значение равно

f(a)= f(c)= 2(a− c)2

Таким образом, мы понимаем, что для максимизации $d$ необходимо максимизировать разность $(a − c),$ а значение $b$ взять равным $a$ или $c.$

Выполним перебор сверху по разности $(a− c).$

Пусть $a =10, c= 99, b= 10.$ Тогда получаем
$1 d= 2 ⋅2⋅(99 − 10)2 = 892 = 7921$
Но это число не делится на 4, значит, не подходит.
Пусть $a =10, c= 98, b= 10.$ Тогда получаем
$1 2 2 d= 2 ⋅2⋅(98 − 10) = 88 = 7744$
Это число кратно 4, а значит, оно и является наибольшим.

Ответ:

а) Да, существуют

б) Нет, не существуют

в) 7744

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#127880

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A,$ среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B.$ При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A+ B --2--.$

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $A-+-B. 2$

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $A+ B --2--.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Среднее арифметическое всех чисел равно

5⋅8+-4⋅8+-3⋅8- 24 = 4

Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «4» и «3». Тогда имеем:

A = 5⋅8-=5 8 B = 4⋅8+-3⋅8-=3,5 16 A-+-B = 5+-3,5-= 4,25 >4 2 2

Таким образом, получили подходящий пример.

б) Пусть числа разбиты на две группы по 12 чисел в каждой: сумма чисел в первой группе равна $S1,$ а во второй группе — $S2.$ Тогда имеем:

A = S1 12 B = S2 12 S1 S2 A+-B-= -12-+-12 = S1+-S2 2 2 24

Получившееся выражение как раз и есть среднее арифметическое всех 24 чисел.

в) Оценим выражение $A+-B-. 2$

Рассмотрим случай, когда в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5». Пусть в первой группе количество «3» равно количеству «5» и равно $x,$ а количество «4» равно $y.$ Тогда получаем:

3x+ 4y+ 5x 8x + 4y A = --2x-+y---= 2x+-y-= 4.

Аналогично получаем, что $B = 4.$

Тогда имеем:

A= B = 4 ⇒ A-+-B = 4 2

Пусть теперь в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это первая группа. Заметим, что в ней не более 23 чисел, значит, знаменатель числа $A$ не более 23.

Среди дробей, меньших 4 и знаменатель которых не превосходит 23, наибольшая дробь — это $322, 23$ то есть $A$ не превосходит $322. 23$ При этом $B$ не может быть больше 5, поскольку все числа во второй группе не превышают 5. Тогда имеем оценку

322 +5 A+-B-≤ -23----= 411 2 2 23

Приведем пример. Если в одной группе одно число «5», а в другой — все остальные числа, то

5⋅7+-4⋅8+-3⋅8- 22 A= 23 = 323 B = 5 322 +5 A+-B-= -23----= 411 2 2 23

Ответ:

в) $4 11- 23$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#127881

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A,$ среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B.$ При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A+ B --2--.$

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $A-+-B. 2$

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $A+ B --2--.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Среднее арифметическое всех чисел равно

5⋅10+-4⋅10+-3⋅10- 30 = 4

Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «4» и «3». Тогда имеем:

A= 5-⋅10 = 5 10 B = 4⋅10+-3⋅10= 3,5 20 A-+-B = 5+-3,5-= 4,25 >4 2 2

Таким образом, получили подходящий пример.

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой: сумма чисел в первой группе равна $S1,$ а во второй группе — $S2.$ Тогда имеем:

A = S1 15 B = S2 15 S1 S2 A+-B-= -15-+-15 = S1+-S2 2 2 30

Получившееся выражение как раз и есть среднее арифметическое всех 30 чисел.

в) Оценим выражение $A+-B-. 2$

Рассмотрим случай, когда в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5». Пусть в первой группе количество «3» равно количеству «5» и равно $x,$ а количество «4» равно $y.$ Тогда

3x+ 4y+ 5x 8x + 4y A = --2x-+y---= 2x+-y-= 4.

Аналогично получаем, что $B = 4.$

Тогда имеем:

A= B = 4 ⇒ A-+-B = 4 2

Пусть теперь в одной из групп количество «3» меньше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе больше 4. Можно считать, что это первая группа. Заметим, что в ней не более 29 чисел, значит, знаменатель числа $A$ не более 29.

Среди дробей, больших 4 и знаменатель которых не превосходит 29, наименьшая дробь — это $4 1-, 29$ то есть $A$ не превосходит $4-1. 29$ При этом $B$ не может быть меньше 3, поскольку все числа во второй группе не меньше 3. Тогда имеем оценку

4-1 +3 A+-B-≥ -29----= 315 2 2 29

Приведем пример. Если в одной группе одно число «3», а в другой — все остальные числа, то

5⋅10+-4⋅10+-3⋅9- 1- A = 29 =4 29 B = 5 4-1 +3 A+-B-= -29----= 315 2 2 29

Ответ:

в) $3 15- 29$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#120330

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько одиннадцатых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $7 :2$ или как $2 :7.$ После этого в параллель одиннадцатых классов школы приняли ещё четырёх мальчиков и трёх девочек.

а) Удастся ли теперь разбить всех одиннадцатиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $5:4$ или $4 :5?$

б) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $7 :3$ или $3:7.$ Могло ли при этом получиться ровно семь классов?

в) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $7 :3$ или $3:7.$ Было решено отправить всех одиннадцатиклассников на экскурсию группами по 90 человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было одиннадцатиклассников?

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Пусть изначально было несколько классов. Рассмотрим класс под номером $i.$ Есть два варианта. Если в этом классе $7xi$ мальчиков и $2xi$ девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно $7 :2,$ то общее количество одиннадцатиклассников равно $7xi+ 2xi = 9xi.$ Тогда количество одиннадцатиклассников в таком классе кратно 9.

Если в этом классе $2xi$ мальчиков и $7xi$ девочек, то есть отношение количества мальчиков к количеству девочек равно $2:7,$ то общее количество одиннадцатиклассников равно $2x + 7x = 9x . i i i$ Тогда количество одиннадцатиклассников и в таком классе кратно 9.

Можем сделать вывод, что в любом классе школы количество одиннадцатиклассников кратно 9, а значит, и общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Аналогично можно доказать, что если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек равно $5:4$ или $4:5,$ то общее количество одиннадцатиклассников кратно 9.

Но если изначально количество одиннадцатиклассников было кратно 9, то после принятия в школу 7 новых одиннадцатиклассников оно не будет делиться на 9. Получается, что после перевода ещё четырёх мальчиков и трёх девочек разбить классы нужным образом не удастся.

б) Пусть в параллели 11 классов было 7 классов: 4 класса, в которых было 2 мальчика и 7 девочек, и 3 класса, в которых было 7 мальчиков и 2 девочки.

Тогда пусть в классы первого вида зачислили по одному мальчику. Теперь в них стало по 3 мальчика и по 7 девочек, то есть отношение стало равно $3 :7.$

Также пусть в классы второго вида зачислили по одной девочке. Тогда в них стало по 7 мальчиков и по 3 девочки, то есть отношение стало равно $7 :3.$

в) Пусть изначально было $9x$ одиннадцатиклассников. В школу приняли 7 одиннадцатиклассников, значит, их стало $9x+ 7.$

С другой стороны, если во всех одиннадцатых классах школы отношение количеств мальчиков и девочек стало равно $7:3$ или $3:7,$ то общее количество одиннадцатиклассников кратно 10, то есть равно $10y.$

Значит, $9x+ 7= 10y.$ Таким образом, число $9x$ оканчивается на 3, следовательно, число $x$ оканчивается на 7.

Пусть $x = 10z + 7.$ Тогда всего одиннадцатиклассников ровно

9x+ 7= 9⋅(10z+ 7)+7 = 90z +63 +7 = 90z +70.

Таким образом, в неполной группе будет 70 одиннадцатиклассников.

Такое действительно могло быть, если взять пример из пункта б). В нем в школе в итоге всего 70 одиннадцатиклассников, которых отправили на экскурсию в неполной группе.

Ответ:

а) Нет, не удастся

б) Да, могло

в) 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126260

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 15, меньше, чем чисел, делящихся на 17.

a) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 15?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 15?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 17 до 68 включительно. Среди них 4 числа, кратных 17: это 17, 34, 51, 68. При этом кратных 15 чисел ровно 3: 30, 45, 60. Данный набор соответствует условию.

б) Предположим, что среди чисел действительно нашлось 10, кратных 15. Тогда кратных 17 чисел среди них не менее 11. Тогда всего чисел не менее чем $17⋅10+ 1 =171,$ поскольку среди 17 подряд идущих чисел ровно одно число может быть кратно 17.

Тогда наименьшее значение $k,$ при котором возможно наличие 11 чисел, кратных 17, достижимо, только если имеется 10 полных отрезков по 17 чисел и одно число, кратное 17.

Но среди 171 подряд идущих чисел не менее $171−-14= 10-7 > 10 15 15$ чисел, кратных 15. Разберемся, откуда взялась оценка на $171−-14. 15$ Разобьем числа, начиная с самого первого, на блоки по 15 чисел. В каждом таком блоке ровно одно число, кратное 15. Тогда таких полных блоков не менее 11 и вне блоков может остаться не более 14 чисел.

Примечание для лучшего понимания оценки.

Пронумеруем числа $a1$ , $a2$ , $a3.$ .., $ak.$ Выделим блоки $a1− a15$ , $a16− a30$ и так далее. Поймем, что в каждом таком блоке ровно одно число, кратное 15, так как среди подряд идущих 15 чисел однозначно встречается ровно 1 число, кратное 15. Тогда попробуем понять, сколько чисел останется в конце, когда мы поделим все на блоки.

На самом деле, в конце не может остаться более 14 чисел, так как иначе мы сможем добавить еще один блок размера 15. Тогда получается, что блоков будет $k-−-a 15$ , где $a ≤14.$ Тогда чисел, кратных 15, будет не менее чем $k−-14 15 .$ Здесь мы подставили нашу оценку на 171 число вместо $k$ и получили $171 − 14 ---15--.$

в) Пусть чисел, кратных 15, $a$ штук. Тогда аналогично предыдущему пункту чисел, кратных 17, не менее чем $a+ 1,$ а $k ≥ 17⋅a+ 1.$ Причем чисел, кратных 15, не менее

17⋅a+-1−-14= 17a-− 13. 15 15

Тогда имеем неравенство

a≥ 17a-− 13 15 15a≥ 17a− 13 13≥ 2a a≤ 13 ⇒ a≤ 6. 2

Тогда чисел, кратных 15, не более 6 штук. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям пункта б), получаем, что

k ≤ 15⋅a+ 14≤ 15⋅6 +14 =104.

Приведем пример. Пусть последовательность начинается с числа 16 и заканчивается числом 119. Чисел в последовательности ровно

119 − 16 +1 = 104.

Числа, кратные 17 — это числа вида $17⋅n,$ где $n$ лежит в промежутке от 1 до 7. Этих чисел ровно

7− 1+ 1= 7.

При этом числа, кратные 15, — это числа 30, 45, $...$ , 105. Они имеют вид $15⋅m,$ где $m$ лежит в промежутке от 2 то 7. Этих чисел ровно

7− 2+ 1= 6.

Условие выполняется. Тогда максимально возможное значение $k$ равняется 104.

Ответ:

а) Да, могло

б) Нет, не могло

в) 104

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126261

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 431 и 2031?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 431?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 431 и 2031 дают одинаковые остатки при делении на 4 и 5, то есть противоречий не возникает. Приведем пример:

431, 2031, 31, 131, 231, 331, 531, 631, 731, 831

б) Если на доске есть число 431, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $2 1 = 1$ при делении на 4.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4≡ 0$ при делении на 4.
4.: Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $2 3 = 9≡ 1$ при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $n2,$ то $n2$ дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем $n2 ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел дают остаток 0 при делении на 4, а квадраты нечетных чисел — остаток 1. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

| 3 |4 5 |0 7 |4 9 1

Число 9 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 81, 21, 41, 61, 101, 121, 141, 161, 181.

Все эти числа имеют вид $20⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Да, могут

б) Нет, не может

в) 9

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126262

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 567?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 7.

а) Заметим, что числа 567 и 1414 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 2. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 567, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $12 = 1$ при делении на 4.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4≡ 0$ при делении на 4.
4.: Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $32 = 9≡ 1$ при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n ,$ то $2 n$ дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем $2 n ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел дают остаток 0 при делении на 4, а квадраты нечетных чисел — остаток 1. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 7.

| 3 |2 5 |4 7 |0 9 |4 1113 |21

Число 13 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 29, 57, 85, 113, 141, 169, 197, 225, 253.

Все эти числа имеют вид $28⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 7. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 7 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Нет, не могут

б) Нет, не может

в) 13

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126263

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 305 и 1511?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 305?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 3. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 3. Тогда рассмотрим 3 числа $a, c, d.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 3.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d.$ Их сумма также должна быть кратна 3. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 3. То есть разность $(a+ c+ d) − (b+ c+ d)= a− b$ не делится на 3. Но разность двух чисел, кратных трем, должна делиться на 3. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 305 и 1511 дают разные остатки при делении на 5. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 305, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 3.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 3.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком $2 1 = 1$ при делении на 3.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4≡ 1$ при делении на 3.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 2 при делении на 3. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $n2,$ то $n2$ дает остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем $n2 ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

2 |4 3 |4 4 |1

Также $42 = 16$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n =4$ подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 16, 31, 46, 61, 76, 91, 106, 121, 136.

Все эти числа имеют вид $15⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 3 чисел даст остаток 0 при делении на 3 как сумма 3 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Нет, не могут

б) Нет, не может

в) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#126264

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 403 и 2013?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 403?

в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 403 и 2013 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 403, то все числа на доске дают остаток 3 при делении на 4. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 4.

1.: Если число, дающее остаток 0 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 4.
2.: Если число, дающее остаток 1 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $12 = 1$ при делении на 4.
3.: Если число, дающее остаток 2 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $22 = 4≡ 0$ при делении на 4.
4.: Если число, дающее остаток 3 при делении на 4, возвести в квадрат, то получится число с остатком $32 = 9≡ 1$ при делении на 4.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и $2 n ,$ то $2 n$ дает остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем $2 n ⁄=1,$ так как 1 уже записано на доске. Будем идти по квадратам нечетных чисел, так как квадраты четных чисел дают остаток 0 при делении на 4, а квадраты нечетных чисел — остаток 1. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

| 3 |4 5 |0 7 |4 9 1

Число 9 подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

1, 81, 21, 41, 61, 101, 121, 141, 161, 181.

Все эти числа имеют вид $20⋅k+ 1,$ то есть дают остаток 1 при делении на 4 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 4 чисел даст остаток 0 при делении на 4 как сумма 4 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.

Ответ:

а) Нет, не могут

б) Нет, не может

в) 9

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#126265

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30033.

а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 303?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 31?

в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом $n.$ Найдите наименьшее возможное значение $n.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4. Действительно, положим обратное. Пусть числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. Тогда рассмотрим 4 числа $a, c, d, e.$ Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 4.

А теперь рассмотрим набор из чисел $b, c, d, e.$ Их сумма также должна быть кратна 4. Но числа $a$ и $b$ дают разные остатки при делении на 4. То есть разность $(a +c +d +e)− (b+ c+ d+ e) = a− b$ не делится на 4. Но разность двух чисел, кратных четырем, должна делиться на 4. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 3, 5, 6.

а) Заметим, что числа 303 и 30033 дают разные остатки при делении на 4. Первое число дает остаток 3, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 30033, то все числа на доске дают остаток 1 при делении на 4. Тогда пусть на доске написаны числа $a$ и $31a.$ Число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, а число $31a$ дает остаток $31⋅1 = 31 ≡4 3,$ то есть остаток 3 при делении на 4. Противоречие.

в) Число 30033 дает остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.

Поймем, что $n> 1,$ так как все числа различные. Выполним перебор по $n :$

$n⁄= 2,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 6, то число $2a$ даст остаток 0 при делении на 6;

$n⁄= 3,$ так как если число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, то число $3a$ даст остаток 3 при делении на 4;

$n⁄= 4, 5, 6,$ так как число вида $na$ будет кратно 3, 4 или же 6, что противоречит описанному выше;

$n⁄= 7,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 5, то число $7a$ дает остаток 1 при делении на 5;

$n⁄= 8,$ так как 8 кратно 4, следовательно число вида $na$ будет кратно 4;

$n⁄= 9,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 5, то число $9a$ дает остаток 2 при делении на 5;

$n⁄= 10,$ так как если число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, то число $10a$ дает остаток 2 при делении на 4;

$n⁄= 11,$ так как если число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, то число $11a$ даст остаток 3 при делении на 4;

$n⁄= 12,$ так как 12 кратно 4;

$n⁄= 13,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 5, то число $13a$ даст остаток 4 при делении на 5;

$n⁄= 14,$ так как если число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, то число $14a$ даст остаток 2 при делении на 4;

$n⁄= 15,$ так как 15 кратно 5;

$n⁄= 16,$ так как 16 кратно 4;

$n⁄= 17,$ так как если число $a$ дает остаток 3 при делении на 5, то число $17a$ даст остаток 1 при делении на 5;

$n⁄= 18,$ так как 18 кратно 6;

$n⁄= 19,$ так как если число $a$ дает остаток 1 при делении на 4, то число $19a$ даст остаток 3 при делении на 4;

$n⁄= 20,$ так как 20 кратно 4;

На $n= 21$ есть пример:

33, 693, 30033, 93, 153, 213, 273, 333, 393, 453.

Здесь $693= 33⋅21.$ Все числа имеют вид $33+ 60 ⋅k.$ То есть дают остаток 0 при делении на 3, остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 5, остаток 3 при делении на 6.

Если сложить $n$ чисел с одинаковыми остатками при делении на $n,$ то получится число, кратное $n.$ Поэтому условие задачи на то, что среднее арифметическое любых 3, 4, 5, 6 чисел является целым числом, выполняется.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 21

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4