.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Приведем пример. Пусть тогда

б) Заметим, что выражение для можно переписать в следующем виде:

Сделаем замену Тогда и формула примет вид

Тогда сводим первоначальную задачу к новой, а именно, нас интересует, можно ли найти такие чтобы было выполнено равенство:

Так как квадраты натуральных чисел дают остатки 0 или 1 при делении на 4, то рассмотрим данное равенство по модулю 4. Заметим, что 58 имеет остаток 2 при делении на 4. Возникают следующие случаи.

• — четные. Тогда
• — нечетные. Тогда

• — разной четности. В данной ситуации возможны два подслучая: или В каждом из них получаем, что данное выражение сравнимо либо с 1, либо с 3 по модулю 4:

  

Таким образом, получаем, что не существует таких чисел а следовательно, и

в) Будем считать, что При этом если и — фиксированные, то рассмотрим следующую функцию:

Заметим, что это парабола с ветвями вверх. Тогда данная функция на отрезке будет достигать наибольшего значения в левой или правой граничной точках. Более того, это значение равно

Таким образом, мы понимаем, что для максимизации необходимо максимизировать разность а значение взять равным или

Выполним перебор сверху по разности

• Пусть Тогда получаем

  

  Но это число не делится на 4, значит, не подходит.

• Пусть Тогда получаем

  

  Это число кратно 4, а значит, оно и является наибольшим.