.00 №19 из ЕГЭ 2018

а) Предположим, что существуют такие что

Рассмотрим самый простой случай, когда то есть числа взаимно просты. Тогда

Так как то получаем Заметим, что

Следовательно, нужно составить из множителей такие числа и чтобы их НОД был равен 1, и они удовлетворяли уравнению

Перебором убеждаемся, что подходят и

б) Выпишем решения уравнения в натуральных числах. Выразим

Для того, чтобы было натуральным, число должно быть целым. Это возможно только тогда, когда делится без остатка на 7.

Все возможные остатки при делении на 7 — это Заметим, что нам подходит только случай, когда при делении на 7 дает остаток 5, то есть Тогда имеем:

Таким образом, решением уравнения при будут

Предположим, что существуют такие что Рассмотрим несколько случаев.

1) Если то Следовательно, аналогично пункту а) Заметим, что так как то

Следовательно, не может быть равным 2. Получили противоречие.

2) Пусть Следовательно, можно записать где — натуральные. Тогда уравнение перепишется как

Тогда, так как — натуральные числа, то 73 должно делиться на Но 73 — простое число и делится только на 1 или на 73. Следовательно, Тогда имеем:

Полученное уравнение также можно решить в натуральных числах и при получить решения

Следовательно, при получаем

Тогда справедлива оценка

С другой стороны,

Следовательно, также получили противоречие.

в) Заметим, что в пункте б) мы доказали, что существует лишь два варианта, чему может быть равно либо 1, либо 73.

Рассмотрим оба случая.

1) Если то Значит,

То есть минимальное значение для

2) Если то Значит,

То есть минимальное значение для равно 36.

Таким образом, мы видим, что минимально возможное значение для равно 5.

Приведем пример. Этот минимум мы получили из случая, когда и при

Следовательно, пример: