.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Если число после деления на 2 убрали с доски, то изначально это было число 9. Пусть чисел 9 было штук. Попробуем построить пример, в котором все остальные числа равны В таком случае среднее арифметическое все оставшихся чисел будет равно

Среднее арифметическое оставшихся чисел должно быть больше 18, поэтому Тогда имеем уравнение:

Мы хотим, чтобы был натуральным числом. Числитель точно делится на 30, поэтому сделаем знаменатель по модулю равным 30, выбрав Тогда

Таким образом, получаем пример, подходящий под условие: двадцать четыре «9» и шесть «39».

б) Пусть «9» изначально было других чисел а сумма чисел без «9» равна тогда

Предположим, что такое возможно. Пусть среднее арифметическое чисел, оставшихся доске, будет равно Тогда имеем:

Решим двойное неравенство

Начнём с

Если то

Пересекая полученные множества решений, получаем

Значит, это невозможно, так как — натуральное число.

в) Заметим, что максимальное число, которое могло бы быть записано на доске, это 48. Поэтому получаем:

Далее имеем:

Тогда максимальное значение достигается при

Построим пример. Возьмем двадцать пять «9» и пять «45».

Тогда изначальное среднее арифметическое равно

При этом имеем: